Момент инерции твердого тела относительно постоянной оси вращения. Определение.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения определяется как величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния от этой точки до оси вращения: .

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения – мера инертности твердого тела во вращательном движении (аналог массы в поступательном движении), определяется как величина, равная сумме моментов инерции достаточно малых фрагментов твердого тела. Достаточно малым фрагментом твердого тела является фрагмент, размеры которого малы по сравнению с расстоянием от фрагмента до оси вращения. Таким образом, этот фрагмент может быть назван материальной точкой и его момент инерции подсчитывается по формуле: ,

а момент инерции всего твердого тела относительно постоянной оси вращения, по формуле: .

Для вычисления интеграла необходимо свести подинтегральное выражение к одной переменной величине. Это достигается, в частности, учетом как характера распределения массы тела по его объему, так и симметрии формы тела.

Момент инерции твердого тела относительно постоянной оси вращения. Теорема о параллельных осях (теорема Штейнера).

Теорема связывает момент инерции относительно произвольной оси с моментом инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс твердого тела: . Здесь m - масса тела, a – расстояние между осями.

Момент инерции твердого тела относительно постоянной оси вращения. Теорема о взаимно перпендикулярных осях.

Момент инерции плоского тела относительно произвольной оси Z, перпендикулярной его плоскости, равен сумме моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей X и Y, лежащих в плоскости тела и пересекающихся с осью Z: .

Уравнение вращательного движения твердого тела вокруг постоянной оси.

Уравнение записано в проекции на совмещенную с осью вращения координатную ось Z.

СЕМИНАР 5 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.

Момент импульса твердого тела.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси Z, или проекция вектора момента импульса на координатную ось Z, совпадающую с осью вращения, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси вращения на проекцию вектора угловой скорости на координатную ось Z.

Сохранение момента импульса системы твердых тел.

Для того чтобы момент импульса системы тел относительно некоторой оси сохранялся, необходимо чтобы суммарный момент внешних сил относительно этой оси был равен нулю.

Собственный момент импульса твердого тела относительно постоянной оси вращения.

-вычисляется относительно системы отсчета центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела вращающегося вокруг постоянной оси.

Кинетическая энергия твердого тела в случае плоского движения.

В этом случае кинетическая энергия складывается из собственной энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и энергии поступательного движения со скоростью центра масс.

СЕМИНАР 6 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. Собственные колебания

Гармоническими колебаниями материальной точки называется движение, при котором смещение x от положения устойчивого равновесия зависит от времени по закону , или .

Здесь .

Определение амплитуды смещения и начальной фазы колебаний смещения через начальное смещение и начальную скорость.

Если используется закон движения в виде , то .

Если же закон движения имеет вид , то .

Определение частоты или периода колебаний смещения колеблющегося тела от положения устойчивого равновесия.

Сначала убеждаемся в том, что у рассматриваемого тела или системы тел имеется положение устойчивого равновесия. Для этого положения записываем условие статики. Далее используем уравнение движения или закон сохранения механической энергии. В итоге приходим к уравнению гармонического осциллятора

Затухающие колебания Уравнение затухающих колебаний

.

Здесь , .

Решение уравнения .

Амплитуда затухающих колебаний . Коэффициент затухания и циклическая частота затухающих колебаний . Время релаксации , декремент и логарифмический декремент . Число колебаний за время релаксации .

Добротность . Зависимость энергии затухающих колебаний от времени .

Вынужденные колебания

Уравнение вынужденных колебаний

Решение уравнения .

Амплитуда вынужденных колебаний

Тангенс разности фаз колебаний вынуждающей силы и колебаний смещения материальной точки от положения равновесия .

Частота колебаний вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс смещения .

Добротность, как отношение смещения при резонансе к смещению при постоянной вынуждающей силе .