Лабораторная работа № 14

Изучение стоячих волн

Цель работы: изучение колебаний гибкой однородной струны; наблюдение стоячих волн; определение собственных частот струны и линейной плотности материала струны.

Оборудование: установка, грузы.

Продолжительность работы - 4 часа.

Теоретическая часть. Описание установки

Если на каком-то участке натянутой струны создать возмущение (например, оттянуть ее и отпустить), то это возмущение будет перемещаться вдоль струны с некоторой скоростью. Возникнет так называемая бегущая волна. Смещение участков струны перпендикулярно направлению ее распространения. Такая волна называется поперечной. В случае, когда возмущение имеет гармонический характер, вдоль струны будет распространяться поперечная синусоидальная волна. Смещение некоторой точки струны от положения равновесия описывается выражением

(1) где - амплитуда смещения;- циклическая частота; - волновое число; - длина волны; - начальная фаза колебаний;- координата рассматриваемой точки (ось направлена вдоль струны).

Скорость, с которой колебания распространяются вдоль струны, называется фазовой скоростью распространения волны. Эта скорость постоянна во времени и определяется линейной плотностью материала струны и ее натяжением . (2)

Если волна распространяется в струне, концы которой закреплены, то достигнув закрепленных концов, волна отражается и начинает распространяться в противоположную сторону. В результате происходит сложение двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Уравнения этих волн имеют вид:

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим:

(3) Чтобы упростить это выражение, выберем начало отсчета времени так, чтобы в этот момент времени фаза равнялась нулю, а начало отсчета так, чтобы в этой точке фаза равнялась (). Кроме того, заменим волновое число его значением . Тогда уравнение (3) примет вид:

(4)

Уравнение (4) есть уравнение стоячей волны. Из него видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда зависит от :

Амплитуда

В точках, координаты которых удовлетворяют условию (0, 1, 2, …), (5)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Из (5) получаются значения координат узлов: (n = 0, 1, 2, …). (6)

В точках, координаты которых удовлетворяют условию

(n = 0, 1, 2,…),

амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны.

В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз. Отсюда вытекает условие (см. формулу (6)):

или (7) где - целое положительное число; - длина струны.

Длинам волн, определяемым выражением (7), соответствуют частоты

(8) которые называются собственными частотами струны. Подставив в (8) выражение (2), получим уравнение

(9) описывающее зависимость собственных частот от параметров натянутой струны.

В этой работе справедливость выражения (9) проверяется на установке, изображенной на рисунке. Один конец горизонтальной струны

Схема установки

жестко закреплен а к другому концу, перекинутому через блок, прикреплена платформа с грузом. Магнит М, расположенный вблизи струны, и генератор переменного напряжения Г предназначены для возбуждения колебаний. При протекании по струне переменного тока частотой на участок струны, расположенный вблизи магнита, действует сила Ампера, пропорциональная силе тока и индукции магнитного поля. Эта сила меняется по синусоидальному закону с частотой  и при выполнении условия (9) возбуждает стоячие волны.

Экспериментальная часть

Упражнение 1. Наблюдение собственных колебаний струны.

Включите генератор, поставьте переключатель ″Нагрузка″ в положение ″5″, переключатель ″Множитель частоты″ - в положение ″1″ и установите максимальное выходное напряжение. Подвесьте к струне пустую платформу (массой, равной примерно 0,5 кг). Проследите, чтобы платформа в процессе измерений не раскачивалась.

Меняя частоту тока, добейтесь возникновения таких стоячих волн, чтобы на длине струны укладывались две полуволны (). При установленном натяжении струны эта частота лежит в пределах 35 - 45 Гц.

Внимание! Резонанс ″острый″, поэтому ручку настройки частоты надо вращать очень медленно.

Зафиксируйте по лимбу генератора значение частоты.

Повторите измерения для трех различных натяжений струны. Постройте график зависимости от , который, как следует из (9), должен представлять прямую линию. По найденному из графика угловому коэффициенту рассчитайте линейную плотность струны.

Определите линейную плотность струны также прямым методом. Для этого взвесьте кусок проволоки, из которой изготовлена струна, длиной 5 м. Сравните значения , определенные прямым методом и графическим. С помощью формулы (2) оцените величину скорости волны.

Упражнение 2. Определение собственных частот колебания струны.

Используя найденное в упражнении 1 значение линейной плотности струны , рассчитайте по формуле (9) значения собственных частот колебания (= 1, 2, 3, 4) для одной из сил натяжения струны. Затем установите выбранную силу натяжения струны и, меняя частоту тока, добейтесь возникновения стоячей волны для = 1, 2, 3, 4. Сравните полученные значения частоты с рассчитанными по формуле (9).

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. - М.: Наука, 1989. - Т. 2. - §§ 64, 65, 72.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Астрель, 2001. - Т. 4. -

§§ 1.1, 1.4, 1.5, 1.7, 1.8.

99