1 семестр МП / Лабы / Lab11

Лабораторная работа № 11

Колебания маятника

Цель работы: изучение зависимости периода колебаний маятника от угла отклонения.

Оборудование: установка, электронный миллисекундомер.

Продолжительность работы - 4 часа.

Теоретическая часть. Описание установки

Ф

Рис.1. Физический маятник

изическим маятником называется твердое тело, которое может качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Точка пересечения ее с вертикальной плоскостью, проходящей через центр масс маятника, называется точкой подвеса маятника (точка А на рис.1). Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения его от положения равновесия . Кинетическая энергия качающегося физического маятника определяется выражением

,

где - момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через точку A; - угловая скорость. Потенциальная энергия маятника равна , где - высота подъема центра масс C над его самым нижним положением. Обозначим - расстояние между центром масс C и точкой подвеса A. Тогда

,

и полная механическая энергия

. (1)

Если силами трения и сопротивления можно пренебречь, то механическая энергия остается постоянной, а следовательно, . Продифференцировав (1), получим:

Отсюда имеем дифференциальное уравнение

, (2)

где .

В случае малых колебаний , и в этом приближении из (2) получается дифференциальное уравнение

, (3) общее решение которого имеет вид:

. (4)

Не зависящие от времени величины (угловая амплитуда колебаний) и (начальная фаза) определяются начальными условиями, т.е. углом отклонения и угловой скоростью при . Колебания, описываемые формулой (4), называются гармоническими, а уравнение (3) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Таким образом, малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими с циклической частотой

и периодом

. (5)

Период колебаний (5) не зависит от амплитуды - такие колебания называются изохронными. Мы видим, что малые колебания физического маятника изохронны.

При больших амплитудах колебаний решение уравнения (2) не удается выразить в элементарных функциях. В подобных случаях обычно используют численные методы и компьютерные расчеты.

Рис.2. Зависимость угла отклонения физического маятника от времени

при различных угловых амплитудах колебаний

На рис.2 приведены результаты численного решения уравнения (2) для нескольких значений амплитуды .

Видно, что при 10^○ и 30^○ период колебаний практически одинаков и примерно равен периоду малых колебаний , определяемому формулой (5). При 90^○ период колебаний превышает почти на 20%, а при 150^○ это превышение уже составляет 75%. Таким образом, изохронность колебаний маятника при больших амплитудах резко нарушается.

Заметим, что форма колебаний остается близкой к синусоидальной даже при очень больших амплитудах. Даже при 150^○ отклонение от синусоидальной формы весьма незначительно (пунктирная кривая на рис.2 рассчитана по формуле 150^○, а при 90^○ отклонений от синусоидальной зависимости при выбранном на рис.2 масштабе вообще не заметно. Итак, колебания остаются близкими по форме к синусоидальным по крайней мере при 90^○, но зависимость периода колебаний от амплитуды выражена достаточно отчетливо.

Получим приближенную формулу для периода колебаний, предположив, что колебания имеют синусоидальную (или близкую к ней) форму:

(6)

Неизвестную частоту можно было бы искать из условия обращения уравнения (2) в тождество при подстановке частного решения (6). Но так как синусоидальный закон (6) выполняется лишь приближенно, тождества при подстановке (6) в (2) не получится. Будем искать такое значение неизвестной частоты при котором отклонение левой части уравнения (2) от нуля минимально. Вычислим левую часть уравнения (2), обозначив ее :

.

Разложим в ряд:

(здесь дан в радианах). Поскольку при ряд быстро сходится, ограничимся двумя первыми членами. Применив тригонометрическое тождество

,

после простых преобразований получим:

.

Можно показать, что среднее квадратичное отклонение функции от нуля

( - период колебаний) минимально при

.

Отсюда следует

.

Воспользовавшись разложением в ряд

при <<,

получим:

. (7)

Кривая, рассчитанная по формуле (7), изображена на рис.3 пунктирной линией, а график зависимости от , построенный по ре-

Рис.3. Зависимость периода колебаний от угловой амплитуды

зультатам точного численного решения уравнения (2), - сплошной линией. Видно, что при приближенная формула (7) дает значения периода, очень близкие к результатам точного расчета.

Выражение (7) проверяется в данной работе экспериментально.

Маятник представляет собой стальной шарик, подвешенный на двух нитях, которые фиксируют плоскость колебаний. К шарику прикреплен небольшой стержень, пересекающий в ходе колебаний луч света, падающий на фотодатчик. Электрический сигнал с фотодатчика управляет электронным секундомером. Секундомер включается при первом пересечении маятником светового луча фотодатчика и выключается при третьем пересечении. Этим достигается измерение периода колебаний. Точность электронного секундомера равна 0,001 с.

Заметим, что формула (7) получена в предположении, что колебания незатухающие, т.е. нет потерь механической энергии. В реальных условиях на маятник действует сила сопротивления воздуха, которую можно считать пропорциональной скорости движения маятника. Однако оценки показывают, что в условиях нашего эксперимента влияние силы сопротивления на период колебаний пренебрежимо мало.

Экспериментальная часть

Измерьте периоды колебаний маятника для пяти значений угла отклонения в диапазоне от 10^○ до 40^○. Для этого отклоните маятник и, убедившись, что он совершает колебания с нужной амплитудой, нажмите кнопку Сброс - произойдет измерение периода колебаний. Проведите не менее трех измерений для каждого угла.

Обработку экспериментальных данных проведите в следующем порядке.

1. Постройте график зависимости от (напомним, что измеряется в радианах). Как следует из уравнения (7), эта зависимость должна быть линейной:

. (8)

Убедитесь в этом.

2. Продлите график до пересечения с осью ординат и найдите значение периода при . Как следует из (8), это значение равно .

3. Отклонив маятник на угол 5^○, найдите экспериментальное значение . Сравните его со значением, полученным из графика.

4. Определите значение углового коэффициента полученной прямой. Как следует из (8), угловой коэффициент должен быть равен

.

При известном Т₀ рассчитайте теоретическое значение углового коэффициента и сравните с экспериментальным.

Литература

1. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. - М.: Физматлит, 2001. - § 6.1.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Астрель, 2001. - Т. 1. - §§ 8.1, 8.4, 8.5.

81