3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

3.2.2. Построение доверительного интервала для дисперсии

При построении доверительного интервала для дисперсии используется случайная величина χ2 (читается: "хи-квадрат"),

которая имеет так называемое распределение Пирсона (по имени английского математика и биолога К.Пирсона), или χ2–распределение ("хи- квадрат-распределение").

Плотность распределения случайной величины χ2 описывается уравне-

нием

где Г(m/2) – гамма – функция; m – число степеней свободы (при построении доверительного интервала m = n-1).

На рис.3.3 приведены кривые f(χ2) для различных значений m. Эти кривые асимметричны, причем асимметрия особенно резко выражена при малых значениях параметра m. Так, при m =1 и χ2=0 кривая уходит в бесконечность, а

при m = 2 и χ2=0 она достигает максимального значения, равного 0,5. При m>2

кривые имеют максимум при χ2max = m - 2. При больших значениях m (m>30) χ2-

распределение переходит в нормальное со средним значением f (χ2 ) = 2m −1

и дисперсией σ2=1.

Для построения доверительного интервала для дисперсии рассмотрим соотношение

и с учетом (3.32) решим стоящее в скобках неравенство относительно σx2 :

62

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

есть доверительный интервал для дисперсии σx2 с доверительной вероятно-

стью P= P2 - P1=1-α.

а

f(χ2)

б

F(χ2)

m=1

1,0

Рис.3.3. Плотность распределения (а) и функция распределения (б)

χ2

63

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Как и при построении доверительного интервала для математического ожидания в технических приложениях обычно принимают P1=α/2 и P2=1-α/2, а α выбирают равным 0,1 или 0,05, реже 0,01.

Квантили распределения Пирсона находят по таблицам (см. [11] или табл. П.3), а в Microsoft Excel для этого используется функция ХИ2ОБР.

Границы доверительного интервала для среднего квадратичного отклонения σx находятся путем извлечения квадратного корня из значений доверительных границ для дисперсии.

В примере 3.1 по трем выборочным значениям 351, 370 и 365, SHB2 = 97

при α = 0,05 (P1=0,05/2=0,025 и P2=1-0,05/2=0,975; ХИ2ОБР(0,025;2) = 7,377779

и ХИ2ОБР(0,975;2) = 0,050636) доверительный интервал для дисперсии твердости составит

тельный интервал для среднего квадратичного отклонения будет равен

5 <σ < 62 .

3.2.3. Определение необходимого количества опытов при построении интервальной оценки для математического ожидания

Увеличение количества измерений (числа проб, образцов и т.п.), как видно из выражений (3.27) и (3.31) даже при неизменной их точности (σx = const), может увеличить доверительную вероятность P или сузить доверительный ин-

тервал ±δ для определения действительного значения измеряемой величины (математического ожидания).

Необходимое количество измерений (образцов, проб и т.п.) n для достижения требуемой точности δ при заданной доверительной вероятности Р можно

определить заранее в том случае, когда известно действительное значение

среднеквадратичного отклонения σx, а экспериментальные данные (измерения)

подчиняются нормальному закону распределения.

64

3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Действительно, при этих допущениях число измерений можно определить из выражения (3.27)

где ε = σx /δ.

Таким образом, число измерений n определяется требуемой довери-

тельной вероятностью Р =1- α и относительным (по отношению к среднеквадратичному отклонению) значением половины ширины доверительного интервала δ, т.е. требуемой точностью определения измеряемой величины. Так, при Р=0,95, z0,975 = 1,96 и при δ=σx число измерений равно 4. При увеличении необходимой точности измерений в 2 раза, т.е. сужении доверительного интервала

до величины δ=(1/2)σx, необходимое число измерений составит 16. Нетрудно

заметить, что необходимое число измерений с увеличением точности возрас-

тает в квадратичной зависимости.

Как правило, действительное значение среднеквадратичной ошибки (σx)

неизвестно, а имеется только ее оценка (Sx). В этом случае следует воспользо-

ваться соотношением (3.31), т.е. критерием Стьюдента, и необходимое число измерений определять из соотношения

где ε = Sx/δ.

При расчетах по этому уравнению следует иметь в виду, что значение

критерия Стьюдента зависит не только от α, но и от числа степеней свободы m, последние же определяются числом измерений. В связи с этим уравнение (3.38) следует решать методом последовательных приближений. В качестве

начального приближения можно задать, в частности, число измерений, рассчитанных по формуле (3.37). Так, если решить последнее уравнение методом последовательных приближений, то можно показать, что при P=0,95 (α=0,05) для определения доверительного интервала с точностью δ=Sx требуется 7 измере-

ний, а с точностью δ=0,5Sx – 19. С повышением необходимой точности различие

65