Теоретические обоснования

Теорема 2.10. Замыкание обладает следующими свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Доказательство. Справедливость утверждения (1) непосредственно следует из определения замыкания, поскольку всякая функция реализуется формулой в виде символической записи самой функции.

Справедливость утверждения (2) вытекает из индуктивного определения формулы: всякая функция из задается некоторой формулой над , а тогда всякая функция из , которая задается формулой над , задается также некоторой формулой над .

Утверждение (3) очевидно, поскольку, если подмножество , то любая формула над является также формулой над .

Докажем утверждение (4). Возьмем произвольную функцию . Согласно определению объединения множеств, или , т.е. можно задать формулой над или формулой над . Но любая формула над () будет формулой и над . Следовательно, , что и требовалось доказать. ■

Теорема 2.11. Классы Поста , , , , являются замкнутыми множествами.

Доказательство. Надо доказать, что классы Поста совпадают со своими замыканиями. Для этого нужно доказать два утверждения: 1) каждый класс Поста принадлежит своему замыканию и 2) замыкание каждого класса Поста принадлежит самому классу.

Справедливость первого утверждения непосредственно вытекает из первого свойства замыкания.

Второе утверждение сводится к тому, что любая функция, заданная формулой через функции класса Поста, также принадлежит этому классу. Справедливость этого утверждения несложно установить индукцией по построению формул.

Базис индукции. Тождественная функция принадлежит всем классам Поста, значит, когда формула есть переменная, утверждение справедливо.

Индуктивный переход. 1. Покажем, что функция , если :

.

2. Покажем, что функция , если :

.

3. Покажем, что функция , если :

.

4. Покажем, что функция , если .

Возьмем два произвольных набора и значений переменных таких, что . Тогда в силу монотонности функций имеем:

;

;

……………………………

.

Следовательно, , и в силу монотонности

.

Или

.

Таким образом, для любых наборов и таких что , выполняется неравенство , что и требовалось доказать.

5. Покажем что функция , если .

Пусть

……………………………………….

.

Подставим правые части этих равенств в формулу для :

.■

18