Исследование функции и Построение графика
1. Возрастание и убывание функции. Точки экстремума
Говорят, что функция возрастает (убывает) на интервале , если для любых различных точек,изсправедливо неравенство, т.е. если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.
Теорема 1. Если функция f(x) дифференцируема на (a; b) и () для любого, то f(x) возрастает (убывает) на (a, b).
Точка x0 называется точкой максимума (минимума) функции f(x), определённой в некоторой окрестности x0, если существует некоторая окрестность (x0 – ; x0 + ) этой точки, такая, что для любого x(x0 – ; x0 + ), x x0 справедливо неравенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)); при этом f(x0) называют максимумом (минимумом) функции. Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума.
Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в промежутке (a,b) и x0(a, b) является точкой экстремума f(x), то .
Точки, в которых , называютсястационарными точкамиf(x). Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в окрестности стационарной точки x0. Если при переходе через точку x0 меняет свой знак, то x0 является точкой экстремума. А именно, если при переходе через точку x0 :
а) меняет свой знак с минуса на плюс (т.е. при достаточно малых значениях), то x0 является точкой минимума;
б) меняет свой знак с плюса на минус (т.е. при достаточно малых значениях), то x0 является точкой максимума функции;
в) не меняет своего знака, то x0 не является точкой экстремума.
Иногда удобно пользоваться другим достаточным условием экстремума.
Теорема 4 (второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 – стационарная точка функции f(x), дважды дифференцируемой в точке x0. Если , то x0 является точкой экстремума. Точнее говоря, если: а) , то x0 – точка минимума; б) , то x0 – точка максимума.
Точкой экстремума f(x) может оказаться и точка, в которойне определена. Стационарные точки и точки, в которыхне определена, называюткритическими точкамифункции.
Пример 1. Найти точки экстремума функции .
Решение. Наша функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём стационарные точки. . Стационарными точками являются. При переходе через точкуне меняет своего знака, поэтому эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точкуменяет свой знак с «–» на «+», следовательно,– точка минимума (на рисунке получается «впадина»).
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке находят значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на концах отрезка, после чего сравнивают эти значения и выбирают наибольшее и наименьшее.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–1; 3].
Решение. Функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём стационарные точки
.
Стационарными точками являются x1 = –2, x2 = 0, x3 = 2; из них лишь x2 = 0 и x3 = 2 принадлежат промежутку [–1; 3] . Найдём значения функции в точках x = 0, x = 2, а также на концах отрезка: f(0) = 0,
f(2) =16 – 32 = –16, f(–1) = 1 – 8 = –7, f(3) = 81 – 72 = 9. Сравнив полученные значения, находим:
, .