Юсупова Лекции

Если ошибки происходят только в одном разряде кодовой комбинации, то такие ошибки называются однократными. При наличии ошибок в двух, трех и т.д. разрядах ошибки называются двукратными, трехкратными и т.д.

Для указания мест в кодовой комбинации, где имеются искажения символов, используется вектор ошибки

_

искаженных символов кодовой комбинации. Например, если для пятиразрядного кода вектор ошибки имеет e =01100, то это значит, что имеют место ошибки в третьем и четвертом разрядах кодовой комбинации.

Вес вектора ошибки e характеризует кратность ошибки. Сумма по модулю для искажений кодовой

комбинации и вектора ошибки дает исходную неискаженную комбинацию.

Помехоустойчивость кодирования обеспечивается за счет введения избыточности в кодовые комбинации. Это значит, что из n символов кодовой комбинации для передачи информации используется k<n символов.

Если на приемной стороне установлено, что принятая комбинация относится к группе разрешенных, то считается, что сигнал пришел без искажений. В противном случае делается вывод, что принятая комбинация искажена. Однако это справедливо лишь для таких помех, когда исключена возможность перехода одних разрешенных комбинаций в другие.

В общем случае каждая из N разрешенных комбинаций может трансформироваться в любую из N0 возможных комбинаций, т.е. всего имеется N*N0 возможных случаев передачи (рис.1), из них N случаев безошибочной передачи (на рис. 1 обозначены жирными линиями), N(N-1) случаев перехода в другие разрешенные комбинации (на рис. 1 обозначены пунктирными линиями) и N(N0- N) случаев перехода в запрещенные комбинации (на рис. 7.3 обозначены штрих пунктирными линиями).

Таким образом, не все искажения могут быть обнаружены. Доля обнаруживаемых ошибочных комбинаций составляет

Для использования данного кода в качестве исправляющего множество запрещенных кодовых комбинаций разбивается на N непересекающихся подмножеств Mk . Каждое из множеств Mk ставится в соответствие одной из разрешенных комбинаций.

Если принятая запрещенная комбинация принадлежит подмножеству Mi , то считается, что передана комбинация Ai (рис. 7.3).

Способ разбиения на подмножества зависит от того, какие ошибки должны исправляться данным кодом.

16

Непосредственные вычисления кодовых расстояний у рассмотренного выше кода, построенного методом контрольных сумм, дают следующие значения показателей: dmin=3 и dmax=7.

Очевидно, что t -кратная ошибка приводит к тому, что искаженная кодовая комбинация отодвигается от исходной на расстояние d t . В то же время ошибка не может быть обнаружена, если она переводит одну разрешенную кодовую комбинацию в другую, тоже разрешенную. Следовательно, способность кода обнаруживать все ошибки некоторой кратности зависит от минимального расстояния между разрешенными кодовыми словами: чем больше минимальное кодовое расстояние, тем большей кратности требуется ошибка для перевода любой разрешенной кодовой комбинации в другую разрешенную. Код с минимальным кодовым расстоянием dmin способен обнаруживать любые ошибки кратностью

tdmin 1.

Урассмотренного выше кода dmin=3, следовательно, он может обнаруживать любые однократные и двукратные

ошибки.

Способность кода исправлять обнаруженные ошибки состоит в возможности однозначного отнесения запрещенной кодовой комбинации к единственной разрешенной. Для этого необходимо, чтобы минимальное кодовое расстояние превышало расстояние, порождаемое действием двух любых ошибок. Действительно, в этом случае запрещенные кодовые комбинации, получающиеся в результате ошибок из одного кодового слова, никогда не совпадут с запрещенными комбинациями, получающимися в результате ошибок из любого другого кодового слова, а тем более – с другими разрешенными кодовыми словами. Таким образом, необходимо, чтобы

У рассмотренного выше кода, построенного методом контрольных сумм, dmin=3, следовательно, он может исправлять только любые однократные ошибки.

Рассмотрим n-разрядный код, основанный на n-кратном повторении каждого передаваемого символа. У него dmin= n. Следовательно, максимальная кратность обнаруживаемых ошибок равна n-1, что соответствует случаю искажения всех символов, кроме одного. Максимальная кратность исправляемых ошибок равна (n-1)/2, что соответствует искажению «почти» половины всех символов. Это соответствует фиксации ошибки при обнаружении хотя бы одного неодинакового символа и исправлению ошибки на основе определения, каких значений больше.

Рассмотрим n-разрядный код, основанный на введении одного разряда контроля четности. У него dmin= 2, и, следовательно, максимальная кратность обнаруживаемых ошибок равна 1, а исправляемых – 0 (код не способен исправлять ошибки).

Граница Хэмминга. Рассмотрим задачу немного иначе. Возьмём n-разрядный код и зададимся вопросом о том, сколько контрольных разрядов должно быть в каждом кодовом слове, чтобы код мог исправлять все ошибки заданной максимальной кратности t (разумеется, t n ).

Возьмём какое-либо разрешенное кодовое слово и подсчитаем общее число кодовых комбинаций,

одну (исходную комбинацию). Все однократные ошибки, искажающие 1 из n разрядов, очевидно, порождают n

формулу для числа кодовых комбинаций, приходящихся на каждое разрешенное кодовое слово:

порождаемые из одного разрешенного кодового слова, не переходили в комбинации, порождаемые из другого, и могли быть исправлены, необходимо, чтобы число разрешенных кодовых слов Q удовлетворяло условию

Это есть так называемая граница Хэмминга для числа разрешенных кодовых слов.

Граница Хэмминга позволяет определить минимальное число контрольных разрядов, необходимых для исправления ошибок с заданной максимальной кратностью. Пусть в n-разрядном коде k информационных

18

Величина n-k, как раз и есть минимальное число контрольных разрядов.

Коды, у которых число контрольных разрядов в точности совпадает с границей Хэмминга, называются совершенными. Совершенные коды обладают минимальной избыточностью при заданном уровне способности исправлять ошибки. В построенном выше примере 7-разрядного кода, исправляющего все однократные ошибки, использовалось 3 контрольных разряда. Подставляя параметры кода в полученную формулу, убеждаемся, что 3 – это минимальное количество контрольных разрядов, необходимое для решения задач, следовательно, код совершенный. Для более сложных случаев (большей кратности ошибок) не всегда удается построить совершенный код.

4. Методы помехоустойчивого кодирования.

Рассмотрим простые практические способы построения кодов, способных обнаруживать и исправлять ошибки. Ограничимся рассмотрением двоичных каналов и равномерных кодов.

Метод контроля четности. Это простой способ обнаружения некоторых из возможных ошибок. Будем использовать в качестве разрешенных половину возможных кодовых комбинаций, а именно те из них, которые имеют четное число единиц (или нулей). Однократная ошибка при передаче через канал неизбежно приведет к нарушению четности, что и будет обнаружено на выходе канала. Очевидно, что трехкратные, пятикратные и вообще ошибки нечетной кратности ведут к нарушению четности и обнаруживаются этим методом, в то время как двукратные, четырехкратные и вообще ошибки четной кратности – нет.

Практическая техника кодирования методом контроля четности следующая. Из последовательности символов, подлежащих передаче через канал, выбирается очередной блок из k-1символов, называемых информационными, и к нему добавляется k-й символ, называемый контрольным. Значение контрольного символа выбирается так, чтобы обеспечить четность получаемого кодового слова, т.е. чтобы сделать его разрешенным.

Метод контроля четности представляет значительную ценность и широко применяется в тех случаях, в которых вероятность появления более одной ошибки пренебрежимо мала (во многих случаях, если наверняка знать, что кодовое слово принято с ошибкой, имеется возможность запросить повторную передачу). В то же время избыточность кода увеличивается минимально и незначительно при больших k(в k/( k-1)раз).

Метод контрольных сумм. Рассмотренный выше метод контроля четности может быть применен многократно для различных комбинаций разрядов передаваемых кодовых слов – и это позволит не только обнаруживать, но и исправлять определенные ошибки.

Пример:

Будем из входной последовательности символов брать по четыре информационных символа а1а2а3а4, дополнять их тремя контрольными символами а5а6а7 и получившееся семисимвольное слово посылать в канал. Контрольные символы будем подбирать так, чтобы были четными следующие суммы:

s1= а1 +а2 +а3 + a5, s2= а1 +а2 +а4 + a6, s3= а1 +а3 +а4 + a7.

В каждую сумму входит по оному контрольному символу, поэтому данное требование всегда выполнимо. Благодаря «маленьким хитростям», предусмотренным при формировании контрольных сумм, проверка их

четности на выходе канала позволяет однозначно установить, была ли допущена при передаче однократная ошибка и какой из разрядов был при этом искажен (ошибками большей кратности пренебрегаем).Действительно, если один из семи символов был искажен, то по крайней мере одна из сумм обязательно окажется нечетной, т.е. четность всех контрольных сумм s1, s2, s3 свидетельствует об отсутствии однократных ошибок. Далее, лишь одна сумма будет нечетной в том, (и только в том) случае, если искажен входящий в эту сумму один из трех контрольных символов (a5, a6 или a7). Нечетность двух или трех сумм означает, что искажен тот из информационных символов а2, а3 или а4, который входи в обе эти суммы. Наконец, нечетность всех трех сумм означает, что неверно принят входящий во все суммы символ а1.

Итак, в данном примере метод контрольных сумм, увеличивая длину кода в 7/4=1,75 раза за счет введения избыточности, позволяет исправить любую однократную ошибку (но не ошибку большей кратности).

19

Основываясь на этой идее, в принципе, можно построить коды, исправляющие все ошибки большей (но всегда ограниченной) кратности.

5. Классификация корректирующих помехоустойчивых кодов.

Математическая теория корректирующих кодов бурно развилась в 50-60-х годах XX века в обширную и практически важную самостоятельную науку, базирующуюся на казавшихся самыми абстрактными и далекими от практики разделах современной математики.

У большинства известных в настоящее время корректирующих кодов помехоустойчивость обеспечивается за счет их алгебраических свойств, в связи с чем их называют алгебраическими кодами.

Алгебраические коды подразделяются на два больших класса: блоковые и непрерывные (реккурентные). В случае блоковых кодов кодирование заключается в сопоставлении каждому символу сообщения блока

из n символов. Различают разделимые и неразделимые блоковые коды. В разделимых кодах четко разграничены информационные и контрольные (проверочные) символы. В неразделимых кодах все символы выполняют функции как информационных, так и контрольных.

Непрерывными (рекуррентными ) называются такие коды, в которых введение избыточных символов в кодируемую последовательность осуществляется без разделения её на блоки. Непрерывные коды также могут быть разделимыми и неразделимыми.

Большой класс разделимых кодов составляют систематические коды, у которых значения проверочных символов определяются в результате линейных операций над определенными информационным символами. Для случая двоичных кодов каждый проверочный символ выбирается таким, чтобы его сумма по модулю 2 с определенными информационными символами стала равной нулю, т.е. обеспечивалась четность некоторой контрольной суммы. Проверочные символы могут располагаться на любом месте кодовой комбинации. Их число и соответствующие проверочные равенства (контрольные суммы) определяются тем, какие и сколько ошибок должен обнаруживать или исправлять код.

6. Примеры систематичеких кодов.

20

математический аппарат, используемый для анализа детерминированных сигналов, гораздо проще аппарата анализа случайных сигналов;

выводы, полученные в результате исследований детерминированных сигналов, могут быть во

многих случаях использованы для анализа случайных сигналов.

В зависимости от методов анализа информационных систем применяются те или иные способы представления сигналов. К основным относятся:

1)представление сигнала в виде некоторой функции времени x(t);

2)представление сигнала в операторной форме x(p);

3)представление сигнала в виде некоторой функции частоты.

Вчастотном виде могут представляться как периодические, так и непериодические детерминированные сигналы.

Необходимо заметить, что в реальных условиях периодические сигналы не существуют, т.к. идеальный периодический сигнал бесконечен во времени, в то время как всякий реальный сигнал имеет начало и конец. Однако во многих случаях конечностью времени действия сигнала можно пренебречь и для его анализа допустимо использовать аппарат, пригодный для идеальных периодических сигналов.

1.Периодические сигналы

Функция x(t) называется периодической, если при некотором постоянном Т выполняется равенство: x(t)=x(t+nT),

где Т – период функции, n – любое целое (положительное или отрицательное) число, а аргумент t принимает значение из области определения этой функции.

x(t)

Периодическая функция x(t) с периодом Т обладает следующим свойством: интеграл от этой функции, взятый на интервале длиной Т, не изменяется при изменении пределов интегрирования при условии, что длина интервала интегрирования остается равной Т.

В общем случае сигнал представляет собой сложное колебание, поэтому возникает необходимость представить сложную функцию x(t), определяющую сигнал через простые функции.

Для представления сигналов в частотной области широко используют два частных случая разложения функции в ортогональные ряды: тригонометрическая форма разложения и комплексная.

Рассмотрим их.

1.1.Тригонометрическая форма

Любой периодический сигнал x(t), удовлетворяющий условию Дирихле (x(t) – ограниченая, кусочнонепрерывная, имеет на протяжении периода конечное число экстремумов), может быть представлен в виде ряда Фурье по тригонометрическим функциям:

Это выражение указывает на то, что периодическая функция x(t), имеющая период Т может быть разложена по sin и cos углов, кратных углу t .

Если период функции x(t) равен Т, то основная круговая частота будет 2T , тогда в формуле разложения x(t) значения коэффициентов a0, ak, bk определяется формулами:

23

k= 1, 2, 3

Зная коэффициенты ak и bk , можно определить значения амплитуды и начальной фазы k-й гармоники.

Для практического анализа частотных свойств применяется формула (1.7), так как показывает, какой частоте сигнала соответствует определенная амплитуда

1.2.Комплексная форма

Вматематическом отношении удобнее оперировать комплексной формой ряда Фурье. Её получают, применяя преобразование Эйлера

24

является комплексной амплитудой k-й гармоники для k=0, 2, 3,…

Формулы (1.10) и (1.11) именуются парой преобразования Фурье. Формула (1.10) даёт временное описание сигнала x(t), если известны комплексные амплитуды Ck её гармонических составляющих. Совокупность операций, в результате выполнения которых могут быть определены гармоники периодической функции x(t), называется гармоническим анализом.

1.3.Определение погрешности

При разложении периодических функций на сумму гармоник на практике часто ограничиваются несколькими первыми гармониками, а остальные не учитываются. Приближенно представляя функцию x(t) с помощью тригонометрического многочлена вида

квадратичной погрешности , определяемой для периодической функции x(t) с периодом T=2 равенством:

1.4.Спектр

Совокупности коэффициентов ak, bk, k=1, 2, 3,…, разложения периодической функции x(t) в ряд Фурье называется частотными спектрами этой функции.

спектральные

линии

Характерной особенностью спектра периодического сигнала является его прерывистость (дискретность). Расстояние между соседними спектральными линиями одинаковое и равно частоте основной гармоники.

2. Непериодические сигналы

Всякий непериодический сигнал можно рассматривать как периодический, период изменения которого равен . В связи с этим спектральный анализ периодических процессов может быть обобщен и на непериодический сигнал.

x(t)

25