Реферат / 31. Градиент потенциала. Связь между потенциалом и напряжённостью электростатического поля
.doc31. Градиент потенциала. Связь между потенциалом и напряжённостью электростатического поля
Рассмотрим в однородном электрическом поле две точки 1 и 2 (рис.13) и предположим, что заряд (+1) переходит из 1 в 2 вдоль прямолинейного отрезка Dl. Работу электрических сил DА при перемещении можно выразить, во-первых, через напряжённость поля: DА = Еl Dl.
С другой стороны - через разность потенциалов DU12.
Введем теперь приращение потенциала при перемещении `Dl, т.е. разность потенциалов DU21 точки 2 (конец пути) и точки 1 (начало пути), и будем обозначать его просто DU. Тогда
DU =DU21 = -DU12
Приравнивая оба выражения для работы, получим дня напряжённости электрического поля выражение:
Еl = -DU/Dl.
В общем случае неоднородного поля обе точки 1 и 2 нужно выбирать достаточно близко друг от друга, строго говоря, бесконечно близко, чтобы можно было считать E на Dl постоянной. В пределе при Dl®0,
Еl = -dU/dl. т.е.
проекция вектора напряжённости электрического поля на данное направление равна быстроте изменения потенциала в этом направлении, взятой с обратным знаком.
Или используя понятие градиента скалярной величины grad U:
`= - grad U,
т.е. напряженность в какой-либо точке электростатического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком.
В общем случае потенциал U - функция всех трёх декартовых координат рассматриваемой точки поля, причём
grad U = (U/X)+ (U/Y) + (U/Z) .
Поэтому проекции вектора на оси координат связаны с потенциалом поля т.o.:
Ex = - U/X; EY = - U/Y; EZ = - U/Z;
Если заряд перемещается в направлении dl, перпендикулярном силовой линии, т.е. перпендикулярно `, то соs (Е,dl) = 0, Еl = 0 и dU/dl = 0 или U=const.
Следовательно, во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал одинаков.