Вопрос 21. Барометрическая формула и распределение Больцмана.

Если на молекулы газа не действуют никакие внешние силы, то вследствие теплового движения они равномерно распределяются по всему объему сосуда, так что в каждой единице объема содержится в среднем одинаковое число молекул. При одинаковой во всех частях объема температуре в газе устанавливается всюду одинаковое давление Р = nkT = const (в соответствии с законом Паскаля).

Иначе обстоит дело, когда газ находится в некотором силовом поле, в котором на каждую частицу газа действует внешняя сила, толкающая ее в определенном направлении. Под действием такой силы молекулы будут собираться преимущественно в тех областях пространства, куда их заталкивают внешние силы, и там концентрация частиц, а значит, и давление газа будут возрастать. Т.е. действие внешних сил на молекулы газа противоположно тому действию, которое оказывает на них беспорядочное тепловое движение.

В результате одновременного действия внешних сил и теплового движения молекул в газе при заданной температуре устанавливается некоторое неравномерное распределение молекул в пространстве, не изменяемое во времени. Это значит, что при действии внешних сил плотность идеального газа, находящегося в равновесных условиях, будет различной в различных местах пространства, т.е. она будет некоторой функцией координат n= n(X,Y,Z).

Примером внешних сил является поле силы тяжести, а примером газа в таком силовом поле является земная атмосфера. Молекулы газов, составляющие атмосферный воздух, под влиянием теплового движения рассеялись бы в мировом пространстве, если бы отсутствовала сила тяжести. Напротив, если бы отсутствовало тепловое движение молекул, то под действием силы тяжести все молекулы воздуха упали бы на землю, и весь воздух собрался бы тончайшим слоем у поверхности Земли. Таким образом, само существование атмосферы является результатом одновременного действия силы притяжения молекул к Земле и их теплового движения. При этом в атмосфере устанавливается некоторое неравномерное распределение молекул воздуха по высоте. Соответственно этому распределению молекул устанавливается и определенный закон изменения давления с высотой.

Если бы земная атмосфера находилась в состоянии теплового равновесия, т.е. температура атмосферы была бы одинаковой на всех высотах, то в ней бы установилось так называемое барометрическое распределение плотности и давления с высотой.

Для определения барометрического закона изменения давления и плотности идеального газа с высотой рассмотрим вертикальный столб газа с площадью поперечного сечения S = 1, находящийся при постоянной температуре, рис.1.

Обозначим давление газа на некотором нулевом уровне Z = 0 (уровне моря, поверхности земли, дне сосуда и т.д.) через Р₀, а давление на высоте Z над нулувым уровнем через Р. При увеличении высоты на dZ давление газа уменьшится на некоторую величину dР. Это уменьшение давления равно весу столба газа высотой dZ с площадью основания S = 1

dP = - g dZ, (1)

где -  - плотность газа. На основании уравнения состояния идеального газа, его плотность  равна  = P/RT (2)

Следовательно, dP = - (P/RT)g dZ, откуда dP/P = - (/RT)g dZ.

Интегрируя это выражение, находим

р z

 dP/P = - /R  g dZ/Т

p₀ 0

или z

ln P/P₀ = - /R  g dZ/Т (3)

0

На небольших высотах над поверхностью земли ускорение силы тяжести g можно считать постоянным, не зависящим от высоты Z, и вынести его за знак интеграла . Кроме тего, если газ находится в тепловом равновесии при постоянной, не зависящей от высоты Z температуре Т, то и Т можно вынести за знак интеграла. В этом случае получим ln P/P₀ = - gZ/RT, откуда Р/Р₀ = е ^{- gZ/RT} или Р = Р₀ е ^{- gZ/RT}. (4)

Формула (4) характеризует изменение давления газа с высотой и называется барометрической формулой. Она показывает, что давление газа с высотой убывает по экспоненциальному закону. Характер этого убывания графически можно представить следующим образом, рис.2.

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром). Принцип его действия основан на использовании формулы (4). Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.

Принимая во внимание, что  = mN_A и R = k N_A , мы можем переписать барометрическую формулу в виде Р = Р₀ е ^{- mgZ/ kT}.

Так как P = nkT, то эта барометрическая формула выражает также закон убывания плотности газа с высотой n = n₀ е ^{- mgZ/ kT} (5)

где n и n₀ – числа молекул в единице объема газа в точках, разность высот между которыми равна Z. Ввиду чрезвычайно малой массы газовых молекул убывание плотности газа и его давления заметно только при значительных изменениях высоты. В случае небольшого изменения высоты изменение давления и плотности газа оказываются весьма малыми. Поэтому в случае газа, заключенного в сосуд небольшой высоты, действием силы тяжести на молекулы газа можно пренебречь. Поскольку температура атмосферы Земли не постоянна и изменяется с высотой, то для более точного описания изменений ее давления и плотности с высотой в формулы (4) и (5) необходимо вводить соответствующие поправки на изменение температуры.

Поскольку входящая в формулу (5) величина mgZ представляет собой потенциальную энергию молекул в поле тяготения, то эту формулу можно переписать в виде n = n₀ е ^{– U(Z) /kT} (6) т.е. она выражает закон распределения молекул идеального газа по величине их потенциальной энергии в поле тяготения. Причем величина n₀ имеет смысл числа частиц с потенциальной энергией равной нулю (n = n₀ при U = 0).

В середине 19 века Больцман показал, что для идеального газа, находящегося в любом силовом поле, число частиц, обладающих заданной потенциальной энергией U, определяется формулой, имеющей тот же вид, что и формула (6). Поскольку, в произвольном силовом поле потенциальная энергия частицы может зависеть от всех трех координат, характеризующих ее положение в пространстве, а не только от одной, как это имело место в частном случае поля тяготения, т.е. n = n(X,Y,Z) и соответственно этому U = U(X,Y,Z). Таким образом, в любом силовом поле распределение частиц в пространстве выражается законом n(X,Y,Z) = n₀ е ^{– U(X,Y,Z) / kT} - закон Больцмана (7)

где U(X,Y,Z) – потенциальная энергия частиц во внешнем силовом поле, зависящая от координат той точки, в которой находится частица; n(X,Y,Z) – концентрация частиц в точке с координатами X,Y,Z; n₀ – число частиц в единице объема (концентрация) в том месте пространства, где их потенциальная энергия равна 0.

Больцман показал, что при постоянной Т концентрация частиц убывает с ростом U и возрастает с убыванием U, т.е. частицы концентрируются преимущественно в местах с меньшей потенциальной энергией.

Закон Больцмана является весьма общим законом, применимым не только к идеальному газу, но и ко многим другим системам невзаимодействующих частиц.