Вопрос 13. Энергия колеблющегося тела. Собственные колебания Земли. Сложение гармонических колебаний.

При гармоническом колебании происходит взаимное превращение кинетической энергии колеблющегося тела Е_к и потенциальной энергии Е_п, обусловленной действием квазиупругой силы. Полная энергия: Е = Е_к + Е_п, но Е_k = mV²/2 = (m/2)²A²sin²(t + /2) = (m/2)²A²cos²t,

E_п = kx²/2 = (k/2)A²sin²t, но из F = mW = -m²x = -kx имеем к=m²

Поэтому Е_п = (m/2)²A²sin²t. Полная механическая энергия колеблющегося тела Е = Е_п + Е_к = (m/2) ²A²(cos²t + sin²t) = m²A²²/2 (незатухающих свободных колебаний) не изменяется с течением времени и равна ее запасу, сообщенному телу в начальный момент времени, при выведении его из положения равновесия. В процессе колебаний происходит только превращение видов энергии из кинетической в потенциальную и обратно с частотой, вдвое большей частоты колебаний, Е ~² и Е ~ А². (Е = кХ²/2, Т = 2 m/k).

В реальных свободных затухающих колебаниях их энергия, как и амплитуда, с течением времени непрерывно уменьшаются, расходуясь на преодоление сил тяжести.

Собственные колебания Земли. Известный математик Ляв еще в 1911 г теоретически рассчитал, что стальной шар размером с Землю будет иметь период собственного основного колебания около 1 часа. Однако впервые колебание с периодом 57 мин было обнаружено Беньоффом после сильнейшего землетрясения на Камчатке 4 ноября 1952 г. После сильнейшего Чилийского землетрясения в мае 1960 г. на сейсмографах в разных точках земного шара волны с очень длинными периодами (54 мин) четко наблюдались в течение многих дней. Эти волны являются собственными колебаниями Земли, которые могут быть вызваны землетрясениями достаточно большой энергии. В наблюдаемом спектре обнаруживается много пиков более быстрых колебаний.

По характеру деформаций среды и смещению в ней частиц собственные колебания подразделяются на радиальные и сфероидальные, с одной стороны, и на крутильные или тороидальные – с другой стороны. При радиальных деформациях частицы смещаются по радиусу, а при сфероидальных – по сферическим поверхностям.

К настоящему времени зафиксировано около тысячи собственных частот Земли с периодами от 35 до 55 мин., которые являются интегральными характеристиками планеты и наряду с ее массой и моментом инерции используются для изучения распределения плотности в недрах Земли, модулей сжатия и сдвига, а также гравитационного поля.

Важные сведения о неупругих свойствах глубоких частей Земли получаются из наблюдений затухания собственных колебаний.

Сложение гармонических колебаний. Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармониче­ские колебания одного направления и одинаковой частоты

воспользовавшись методом вращающего­ся вектора амплитуды (см. § 140). По­строим векторные диаграммы этих ко­лебаний (рис. 200). Так как векторы A₁ и А₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью ω₀, то разность фаз (φ₂ - φ₁) между ними остается постоянной.

Oчeвиднo, чтo ypaвнeниe peзyльтиpyющeгo кoлeбaния бyдeт

B выpaжeнии (144.1) aмπлиτyдa A и нaчaльнaя φaзa φ cooτвeτcτвeннo зaдaютcя cooτнoшeниями

Taκим oбpaзoм, τeлo, yчacτвyя в двyx гapмoничecκиx κoлeбaнияx oднoгo нaπpaв­ лeния и oдинaκoвoй чacτoτы, coвepшaeτ τaκжe гapмoничecκoe κoлeбaниe в τoм жe нaπpaвлeнии и c τoй жe чacτoτoй, чτo и cκлaдывaeмыe κoлeбaния. Aмπлиτyдa peзyльτиpyющeгo κoлeбaния зaвиcиτ oτ paзнocτи фaз (φ₂ — φι) cκлaдывaeмыx κoлeбaний.

Пpoaнaлизиpyeм выpaжeниe (144.2) в зaвиcимocτи oτ paзнocτи φaз (φ₂ — φι):

l) φ₂-φ₁ = ±2mπ (m = 0, 1, 2,...), τoгдa A = A₁ + A₂, τ. e. aмплиτyдa pe­ зyльτиpyющeгo κoлeбaния A paвнa cyммe aмплиτyд cκлaдывaeмыx κoлeбaний;

2) φ₂ - φ_l = + (2/π + l)π (m = 0, 1, 2,...), τoгдa A = \Aι — A₂ \, τ. e. aмплиτyдa peзyльτиpyющeгo κoлeбaния paвнa paзнocτи aмплиτyд cκлaдывaeмыx κoлeбaний.

Для пpaκτиκи ocoбый инτepec пpeдcτaвляeτ cлyчaй, κoгдa двa cκлaдывaeмыx гapмoничecκиx κoлeбaния oдинaκoвoгo нaпpaвлeния мaлo oτличaюτcя пo чacτoτe. B peзyльτaτe cлoжeния эτиx κoлeбa­ ний пoлyчaюτcя κoлeбaния c пepиoди-чecκи измeняющeйcя aмплиτyдoй. Пepиoдичecκиe измeнeния aмплиτyды κoлeбaния, вoзниκaющиe пpи cлoжeнии двyх гapмo­ ничecκиx κoлeбaний c близκими чacτoτa-ми, нaзывaюτcя биeниями.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Paccмoτpим peзyльτaτ cлoжeния двyx гapмoничecκиx κoлeбaний oдинaκoвoй чac­ τoτы ω, πpoиcxoдящиx вo взaимнo πep­ πeндиκyляpныx нaπpaвлeнияx вдoль oceй x и y. Для πpocτoτы нaчaлo oτcчeτa выδepeм τaκ, чтoбы нaчaльнaя φaзa πep­ вoгo κoлeбaния былa paвнa нyлю:

Paзнocτь φaз oбoиx κoлeбaний paвнa φ, A и B — aмπлиτyды cκлaдывaeмыx κoлe­ бaний. Уpaвнeниe τpaeκτopии peзyльτиpyющe-гo κoлeбaния нaxoдиτcя πyτeм иcκлючeния из выpaжeний (145.1) πapaмeτpa t. Зaπи­ cывaя cκлaдывaeмыe κoлeбaния в видe

и зaмeняя вo вτopoм ypaвнeнии cosωt нa x/A и sin ωt нa ]/l — (x/A)², πoлyчим πocлe нecлoжныx πpeoбpaзoвaний ypaв­ нeнue эллunca, ocи κoτopoгo opиeнτиpo-вaны oτнocиτeльнo κoopдинaτныx oceй πpoизвoльнo:

Taκ κaκ τpaeκτopия peзyльτиpyющeгo κoлeбaния имeeτ φopмy эллиπca, τo τa­ κиe κoлeбaния нaзывaюτcя эллиπτичecκи πoляpизoвaнными

Opиeнτaция oceй эллиπca и eгo paзмepы зaвиcяτ oτ aмπлиτyд cκлaдывaeмыx κoлe­ бaний и paзнocτи φaз φ. Paccмoτpим нeκoτopыe чacτныe cлyчaи, πpeдcτaвляю-щиe физичecκий инτepec:

-1) φ = mπ (m = 0, ± 1, ±2,...). B дaн­ нoм cлyчae эллипc выpoждaeτcя в ompeзoκ npямoй

гдe знaκ nлюc cooτвeτcτвyeτ нyлю и чeτным знaчeниям m (pиc. 202, α), a знaκ минyc — нeчeτным знaчeниям m (pиc. 202, б). Peзyльτиpyющee κoлeбaниe являeτcя гapмoничecκим κoлeбaниeм c чacτoτoй ω и aмπлиτyдoй √A² + B², coвepшaющимcя вдoль πpямoй (145.3), cocτaвляющeй c ocью Ox yгoл φ = arctg(Bcosmπ/A). B дaннoм cлyчae имeeм дeлo c линeйнo пoляpизoвaнными κoлебаниями

2)φ = (2m+l)π/2 (m= 0, ±1,±2,...). B дaннoм cлyчae ypaвнeниe пpимeτ вид

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 203)

Кроме того, если А = В, тоэллипс(145.4)вырождаетсяв окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями, поляризованными по кругу. Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебании различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимноперпендикулярных колебания называются

фигурами Лиссажу. Форма этих кривых зависит oт соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 204 пред­ставлены фигуры Лиссажу для различ­ных соотношений частот и разностей фаз. Анализ фигур Лиссажу широко ис­пользуемый метод исследования соотно­шений частот и разности фаз склады­ваемых колебаний, а также формы ко­лебаний. Поэтому они находят широкое применение в измерительной технике.