Задача с использованием смо с неограниченным ожиданием.
Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров (n=3) для обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью = 30 чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного вкладчика tобс = 3 мин. Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.
Решение. Интенсивность потока обслуживания = 1/ tобс = 1/3 = 0,333, интенсивность нагрузки 5,1 .
1. Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня:
2. Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:
3. Вероятность очереди:
4. Среднее число заявок в очереди:
24
5. Среднее время ожидания заявки в очереди:
6. Среднее время пребывания заявки в СМО:
tсмо = 0,472 + 3 = 3,472 мин
7. Среднее число свободных каналов:
nсв = 3 – 1,5 = 1,5
8. Коэффициент занятости каналов обслуживания:
9. Среднее число посетителей в сберкассе:
z 0,236 + 1,5 = 1,736 чел.
Ответ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего времени, вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,472 мин.
25 Вывод
Системы массового обслуживания имеют огромное практическое применение в наше время. СМО разделяются на большое количество типов. Первые задачи ТМО (Теории Массового Обслуживания) были рассмотрены сотрудником Копенгагенской телефонной компании, ученым Агнером Эрлангом, в период между 1908 и 1922 годами. Стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств.
За последние десятилетия в самых разных областях народного хозяйства возникла необходимость в решении вероятностных задач, связанных с работой систем массового обслуживания. Математическая дисциплина, изучающая модели реальных систем массового обслуживания, получила название теории массового обслуживания. Задача теории массового обслуживания – установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что требование будет обслужено; математического ожидания числа обслуженных требований и т.д.) от входных показателей (количество приборов в системе, параметров входящего потока требований и т.д.). Установить такие зависимости в формульном виде можно только для простых систем массового обслуживания. Изучение же реальных систем проводится путем имитации, или моделирования их работы на ЭВМ с привлечением метода статистических испытаний. Анализ СМО упрощается, если в системе протекает марковский процесс, тогда систему можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а предельные вероятности – линейными алгебраическими уравнениями. В дальнейшем планируется не только составить уравнения Колмогорова, но и решить их с помощью ППП Matlab для задачи моделирования транспортного потока на нерегулируемом пересечении. А также вычислить основные характеристики: средние длины очередей, вероятность не застать мест для ожидания в очереди, среднее время ожидания в очереди. И провести анализ характеристик при различных значениях интенсивности.
26
Список литературы:
1.Павский В.А. Теория массового обслуживания: учебное пособие/ КемТИПП. – Кемерово, 2008
2.Павский В.А. Лекции по теории вероятностей и элементам математической статистики: учеб. пособие для студентов / КемТИПП. – Кемерово, 2005
3. Боровков А.А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. – М.: Наука, 1972
27