Добавил:

kabisali Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет управления

Предмет:

Методы оптимальных решений

Файл:

srs-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2017

Размер:

370.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

0.1. Графический метод

Ответ: xmin = (2; 1), fmin = 2, xmax = (4; 4) и fmax = 25.

Пример 0.4. Теперь на той же области допустимых решений:

8		x1	+ 2x2		4;
>	x1		+ x2		3;
>				4;
<	x1			4;
>
:

найдем наибольшее и наименьшее значения целевой функции f = x1 + x22 2x2. Множество уровня функции f высоты h:

f(x1; x2) j x1 + x22 2x2 = hg = Mh

задает на плоскости параболу с вершиной в точке (h + 1; 1) и ветвями, направленными в сторону противоположную направлению оси Ox1. При изменении высоты уровня h вершина параболы перемещается вдоль прямой, заданной уравнением x2 = 1. Чтобы выяснить, что происходит с параболой при изменении высоты уровня h построим множество уровня нулевой высоты h = 1. Найдем точки расположенные на этом уровне. Если взять x2 = 0, то координата x1 определяется однозначно из уравнения уровня x1 + x22 2x2 = 1 и

равна 0. Таким образом точка (0; 1) 2 M0. Аналогично, находим вторую точку p

( 2; 1 2), выбрав x1 = 2. В каждой точке вычислим градиент целевой функции равен

rf(x1; x2) = (1; 2x2	2):
	p	p
целевой функции. Тогда получим rf(0; 1) = (1; 0) и rf( 2; 1 2) = (1; 2		2).

Теперь из чертежа приведенного на рисунке 7 видно, что при перемещении вершины параболу вдоль прямой x2 = 1 в направлении оси Ox1 высота возрастает. Наименьшее значение целевой функции достигается в точке касания параболы x1 + x22 2x2 = h прямой (1), заданной уравнением x1 + x2 = 3. В точке касания векторы rf(x1; x2) и a = (1; 1) должны быть параллельны, так как они ортогональны общей касательной. Кроме того, точка принадлежит как параболе, так и прямой. Следовательно, координаты точки удовлетворяют системе уравнений

11 = 2x11 2;		2x2 = h;
8 x1 + x22
>

: x1 + x2 = 3:

Система легко решается: x1 = x2 = 1:5 и h = 0:75. Высота h = 0:75 - минимальная высота среди всех высот уровней, на которых есть точки в области допустимых решений. Следовательно, xmin = (1:5; 1:5) и fmin = 0:75.

	x2
	5					(3)
	4
x1 + x22 2x2 = 1	3					x1 + x22 2x2 = 12
(2)	2		xmin
(2)		rf	xmin
	1	rf							2	= 7
								x1 + x2 2x2		= 7
6 5 4 3 2 1		0 1	2	3	4	5	6	7	x1
6 5 4 3 2 1		0 1	2	3	4	5	6	7
	1					(1)
x1 + x22 2x2 = 0:75	2					(1)
x1 + x22 2x2 = 0:75	2

rf	3
Рис. 7: Графическое решение примера 0.4.

В силу теоремы Вейерштрасса3 на замкнутом ограниченном множестве любая непрерывная функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Поэтому найдется такое число hmax, что пересечение линии уровня высоты hmax не пусто, любого уровня большей высоты пусто. Из чертежа видно, что на параболе, соответствующей уровню максимальной высоты расположена по крайней мере одна из точек, определенных пересечениями прямых (1) и (2) с прямой (3). Найдем координаты этих точек, решая системы уравнений:

x1	= 4:		и	x1 = 4:
x1	+ x2	= 3;		x1 + 2x2	= 4;

Первая имеет координаты (4; 1), а вторая - (4; 4). Вычислим значения целевой функции в этих точках:

f(4; 1) = 7 и f(4; 4) = 12:

Отсюда следует, что на уровне максимальной высоты находится только точка

(4; 4) и fmax = hmax = 12.

Ответ: xmin = (1:5; 1:5), fmin = 0:75, xmax = (4; 4) и fmax = 12.

3Вейерштрасс, Карл - немецкий математик, 1815-1897.

0.1. Графический метод

Упражнения и задачи

1. Для каждого значения h 2 (1; +1) найдите множество точек уровня Mh высоты h функции f, принадлежащих области допустимых решений, заданной

на плоскости Ox1x2 системой неравенств

1) f = x2

2) f = x2

3) f = x2

14;

8 x1

+ x2

8 x1

+ 5x2

2x1

+ x2

< x1 x2

3x1 x2 3:

2x1 + x2 1:

2.>

Решите задачи

2) f = 5x1 + 5x2 ! max

3) f = 7x1 + 3x2 ! max

1) f = 6x1 + x2 ! max

8 x1

+ x2

8 x1

+ 5x2

14;

2x1

+ x2

< x1 x2 5:

3x1 x2 3:

2x1 + x2 1:

+ 3x

max

+ 2x

max

+ 4x

max

4) f = 4x

5) f = 5x

6) f = 5x

8 2x1

8 x1

4x2

8 x1

4x2

3x1

+ 2x2

5x1 + 2x2

15;

3x1

< x1 2x2 2:

x1 + x2

2x1 + 3x2 6:

+ 5x

max

+ x

max

7) f =

8) f =

9) f = 6x

8 x1 + 2x2

8 5x1

+ x2

3x1

+ 2x2

3x1

3x1 x2 6:

2x1 + 3x2 9:

3x1 + 4x2 12:

3.>

Решите задачи

2) f = x1 + x2 ! min

3) f = 2x1 + 5x2 ! min

1) f = 2x1 + 5x2 ! min

8 x1

8 7x1

8 2x1

3x1

+ 2x2

x1 + x2

2x2

3x1 + 5x2 15:

< x1 7x2 0:

2x1 + 3x2 6:

+ 3x

min

+ x

min

4) f = 4x

5) f = 4x

6) f = x

8 x1

2x1

+ 5x2

10;

+ x2

3x1

2x2

x2 0:

< x2 0:

x1 + x2

+ 3x

min

+ x

min

7) f = 2x

8) f =

13;

9) f = 3x + 3x

8 x1

4x2

8 4x1

+ x2

8 4x1

+ x2

5x1

+ 3x2

15;

3x1

+ 5x2

5x1 x2 4:

< x1 + 2x2 5:

< x2 0:

4.>Для каждого значения

(

; +

)

найдите

множество точек уровня M

высоты h функции f, принадлежащих области допустимых решений, заданной

на плоскости Ox1x2 неравенством или системой неравенств

1) f = x2

2) f = x2

3) f = x2

4) f = x2

x12

+ x22 4:

x12

x1x2 1:

x1x2

5) f = x

6) f = x

7) f = x

8) f = x

x12 + x22 2;

x12 + x22 5;

x12 + x22 1;

x12 + x22 3;

x1 x2 0:

x1x2

x1 x2 1:

x12 x2 1:

5. Найдите значения высот h линий уровня функции f и координаты (x1; x2) точек, в которых линии уровня касаются прямой линии, заданной уравнением

g(x1; x2) = 0.		3) f = x12 x2
1) f = x12 + x22;	2) f = x1x2	3) f = x12 x2
g = x1 + 3x2 10:	g = 3x1 + 5x2 30:	g = 4x1 + x2 4:

6. Найдите значения высот h линий уровня функции f и координаты (x1; x2) точек, в которых линии уровня касаются кривой линии, заданной уравнением

g(x1; x2) = 0.		3) f = x12 x22
1) f = 6x1 + x2;	2) f = x1 + 4x2	3) f = x12 x22
g = x12 3x2 4:	g = x1x2 x2 1:	g = x12 4x1 + x22 + 3:

7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на области допустимых решений

1) f = x12 + x22

11;

2) f = x12 + x22

3) f = x12 + x22

8 x1

+ 3x2

8 x1

2x2

8 2x1

4x2

+ x2

2x1 x2

2x1 x2 2:

< x1 + x2 1:

4) f = x2 + x2

5) f = x

6) f = x2 + x2

8 x1

+ 5x2

14;

8 x1

2x2

x1 x2

x12

+ x22

2x1

+ 3x2

2x1 + x2 1:

< x1 + x2 1:

3x1 + x2 9:

7) f = x + x

8) f =

x2 + x2

x12

+ x22

2x2

(x1

x2)(x1

+ x2)

+ x2

+ 2x2

+ x2 4x1

2x2

8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на области допустимых решений

0.1. Графический метод

1) f = x1x2

>< x1 + 3x2

x1 1;

> x 2:

4) f = x1x2

>< x1 4x2

x1 + 2x2

> x x

1 2

2) f = x1x2 + 2x1

3) f = x1x2

3x11

x22

10;

x + x

3x1

+ 2x2

< x1 x2 0:

1 2

5) f = x x

12;

6) f = x x

4x1

3x2

8 x1

+ 2x2

3x1

+ 4x2

12;

4x2

< x1

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на области допусти-

мых решений

1) f = x21 + x2

8 3x11 x22				2;
>	x	x			0;

< x1 + x2				3:
>			1	2
:				x2
4) f = x					2:
x1		+ x2
	x1x2				1;

2) f = x1 x2

3) f = x12 + 2x1 x2

8 2x1

+ 3x2

8 x1

x12

+ x22

< x1

< x2

: x12 + x22

: x12

+ x22

5) f = 2x

6) f = x + x

x1x2

10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на области допу-

стимых решений

1) f = 5x1 + 5x2 2x4 + 3x5

= 3;

2) f = 3x1 + 2x2

= 8;

8 x1

+x2

+x4

8 x1 1

+8x2

= 3;

2x +5x2

= 10;

+x5 = 2;

7x1 +x2

x5 = 7;

x3; x4;

x3; x4; x5

1 + 2

4) f = x1

+ x2

3) f = x

+x4

= 70;

x12 6x1+ x22 8x2+ x3 = 0;

8 5x1

+2x2

+x3

3x1

+4x2

= 84;

2x1 +3x2

x5 = 6;

5)> f1= x

6) f = x

x ;

x1+

2x2

+x4 =

x1+ x2

= 2;

x12

2x1

2x2

+x3

= 1;

x12

4x1+ x22 +x3

= 0;

x3;

Ответы

1. 1) Mh = ; при h 2= [ 4; 3], Mh = [ 1+27 h ; 9+5h ] fhg при h 2 [ 4; 2], Mh = [ 1+27 h ; 7 23h ] fhg при h 2 (2; 3]; 2) Mh = ; при h 2 ( 1; 1), Mh = [1 2h ; 2 + h] fhg при h 2 [ 1; +1); 3) Mh = [1 2h ; +1) fhg при h 2 ( 1; 1], Mh = [1 + h; +1) fhg при h 2 ( 1; +1). 2. 1)

xmax = (3; 1), fmax = 17; 2) xmax = (2:5; 4:5), fmax = 35; 3) xmax = (4; 2), fmax = 34; 4) ;;

5) xmax = (4; 2), fmax = 24; 6) fmax = +1; 7) xmax = ( 1; 3), fmax = 16; 8) xmax = ( 3; 1),

fmax = 16; 9) fmax = +1. 3. 1) xmin = (1:2; 1:2), fmin = 8:4; 2) fmin = 1; 3) xmin = (67 ; 67 ),

fmin = 627 ; 4) xmin = (0; 2), fmin = 6; 5) xmin = (0; 0), fmin = 0; 6) xmin = (t; 3 t); t 2 [1; 2:4],

fmin = 3; 7) ;; 8) xmin = (3; 1), fmin = 2; 9) xmin = (1915 ; 1916 ), fmin = 1993 . 4. 1) Mh = ; при
		p			p
			2			2
h 2= [ 2; 2], Mh = [			4 h		;	4 h ] fhg при h 2 [ 2; 2]; 2) Mh = ; при h 2 ( 1; 1),
Mh = [ p	1 + h; p			] fhg при h 2 [ 1; +1); 3) M0 = ;, Mh = ( 1; h1 ] fhg при
		1 + h

h 2 ( 1; 0), Mh = [h1 ; +1) fhg при h 2 (0; +1); 4) M0 = ( 1; +1) f0g, Mh = ( 1; 0]

fhg при h 2 ( 1; 0), Mh = [0; +1) fhg при h 2 (0; +1); 5) Mh

= ; при h 2= [ 1; p

2],

Mh = [

2 h

; h] fhg при h 2 [ 1; 1], Mh = [

2 h ;

2 h

] fhg при h 2 (1; 2]; 6)

Mh = ; при h 2= [ 2; 1][[1; 2], Mh = [h2 ; p

] fhg при h 2 [1; 2], Mh = [ p

; h2 ] fhg

5 h2

при h 2 [ 2; 1]; 7) Mh

= ; при h 2= [ 3; 1], Mh = [ p

1 h; 1 + h] fhg при h 2 [ 3; 0], Mh =

[ 1 h;

1 h] fhg при h 2 (0; 1]; 8) Mh = ; при h 2= [ 1;

3], Mh = [ 1 + h;

1 + h]

fhg при h 2 [ 1; 1], Mh = [ p

; p

] fhg при h 2 (1; p

3 h2

3]. 5. 1) 10; (3; 1); 2) 15; (3; 5);

3) 8; ( 2; 12). 6. 1) 20; ( 6; 16); 2) 5; (3; 0:5); 3) 1; (1; 0) и 3; (3; 0). 7. 1) xmin = (1; 1), fmin = 2, p

xmax = (5; 2), fmax = 29; 2) xmin = (1; 1), fmin = 2, fmax = +1; 3) ;; 4) xmin = (1; 0), fmin = 1,

xmax = (4; 2),

fmax = 16; 5) xmin = ( 0:5; 0:5),

fmin = 0:5,p

max =p

(0; 2), fmax = 4;p

xmin = (3; 0), fmin = 15, xmax = (0; 2), fmax = 4;

7) xmin = (

; 1

2), fmin = 1 2 2,

xmax = (

1), fmax = 2

1; 8) xmin = (1; 1), fmin = 2, xmax = (2; 2), fmax = 8. 8. 1)

xmin = (1; 1), fmin = 1, xmax = (4; 2), fmax = 8; 2) xmin = (3; 1), fmin = 5, xmax = (4; 4), fmax = 24; 3) xmin = (0; t); t 2 [0; 3], и xmin = (s; 0); s 2 [0; 2], fmin = 0, xmax = (1; 1:5), fmax = 1:5; 4) xmin = (1; 1), fmin = 1, xmax = (4:5; 2:25), fmax = 10:125; 5) xmin = ( 1:5; 2), fmin = 3, xmax = (2; 1:5),

fmax = 3; 6) xmin = ( 1; 1), fmin = 1, xmax = (3; 2), fmax = 6. 9. 1) xmin = (3; 3), fmin = 6, xmax = (1:5; 2:5), fmax = 0:25; 2) xmin = ( 1; 83 ), fmin = 113 , xmax = (0:5; 0:75), fmax = 1:25;

3) xmin = (0; 1), fmin

= 1, xmax = (1; 0), fmax

= 3; 4) xmin = (1; 1), fmin = 0, fmax = +1; 5)

;; 6) xmin = ( 2;

2), fmin = 2 2, xmax = (

2), fmax = 2 2. 10. 1) xmin = (1; 2; 0; 2; 0),

fmin = 11, xmax = (3; 2; 2; 0; 0), fmax = 25; 2) xmin = (4011 ; 116 ; 0; 0; 19), fmin = 12, fmax = +1; 3) xmin = (0; 2; 76; 66; 0), fmin = 2, xmax = (8; 15; 0; 0; 55), fmax = 23; 4) xmin = (0; 0; 0), fmin = 0,

xmax = (6; 8; 0), fmax = 10; 5) xmin = ( 1; 2; 0; 0), fmin = 2, xmax = (

23 ; 43 ; 45 ; 0), fmax =

89 ; 6)

xmin = (2 +

2; 2; 0; 0), fmin = 2(

2 + 1), xmax = (3;

3; 0; 3 +

3),

fmax = 3 3.

Литература

1.Прасолов В.В., Тихомиров В.М., Геометрия. М.: МЦНМО, 2013.

2.Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа. Т. 1 и 2. М. Юрайт, 2015, 2016 г.г.

3.Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.

4.Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980.

5.Мину М. Математическое программирование. М.: Наука. Физмалит, 1990.

6.Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

7.Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете Методы оптимальных решений

#
11.06.2017147.07 Кб7jZwrRE9ywwY.jpg
#
11.06.2017192.62 Кб14MOR_17.jpg
#
11.06.2017114.03 Кб11MOR_19.jpg
#
11.06.2017122.77 Кб10RsA9SVXK2tg.jpg
#
11.06.201744.28 Кб34Simplex4.pdf
#
26.03.2017370.4 Кб42srs-1.pdf
#
11.06.2017219.81 Кб542to_exams_student.pdf
#
11.06.2017112.94 Кб11ZEGqXeoOTOg.jpg
#
11.06.2017124.72 Кб9zgFD4u5A9x4.jpg
#
11.06.201713.63 Кб10Список вопросов для подготовки к экзамену 2017.docx