На сортировку / 1 / ЭЭФ / Эа-14-1 / Duke / Методичка

x

следующие

формулы:

F (x) f (x)dx

- функции

распределения;

(b)

(b)

M (x)

xf (x)dx - математическое ожидание;

D(x) (x M (x))2 f (x)dx или

( a )

( a )

(b)

f (x)dx M (x) 2 - дисперсия; (x)

D(x)

x2

D(x) - среднее квадратическое

( a )

отклонение;

модой непрерывной случайной величины X

называется то её

значение M o , при котором плотность распределения максимальна;

медианой

непрерывной случайной величины X называется такое её значение

M e , для

x

0

1) Так как F (x) f (x)dx , то если x 0 , то F (x) 0 dx 0 ;

0

x

2

x

2

(2x 9)

если 0 x 3 , то F (x) 0dx

(3x x

2 )dx =-

;

9

27

0

0

3

2

x

если x 3 , то F (x) 0dx

(3x x2 )dx 0dx 1.

9

0

3

0, если x 0

x2 (2x 9)

Итак, F (x)

, если 0 x 3 .

27

1, если x 3

2) вычисления в Mathcad:

2

3 x x2

f (x)

9

0.671

9

,

20

,

3

3

x f (x) dx

1.5

0

2

,

3

2

3 2

9

d

2 4 x

x f (x) dx

20

2

0.45

dx

f (x) 3

9

0

,

,

d

y

y

2

(2 y

9)

f1(x)

f (x)

f (x) dx

dx

,

0

27

,

f1(x) solve

3

f1 (1) 0.222

,

f1 (2) 0.222

,

2,

y 2

(2 y 9)

4.0980762113533159403

4.098

0.5

solve

1.0980762113533159403

1.098

27

1.5

1.5

.

Итак, M ( X ) =1,5; D( X ) = 0,45; ( X ) = 0,671;

Для определения моды находим максимум функции

f (x) 2 / 9(3x x2 )

средствами математического анализа:

f

, f

(x) 2 / 3 4x / 9

(x) 0 при x =3/2 -

f

критическая точка. Так как f (1) 0,

(2) 0, т.е. при переходе через точку

внутри интервала.

Поскольку на концах

интервала значения

функции

f (0) f (3) 0 , то M o =3/2.

Так как P( X M e ) 0,5

и P( X M e ) = P( X M e ) P(0 X M e ) =

M e

2 (2M e

= 2 / 9(3x x2 )dx = - M e

9) / 27 ,

0

то, решая уравнение

- M 2

(2M

e

9) / 27 =0,5,

e

получим три корня, из которых подходит один: M e = 1,5 - медиана.

3) вычисления в Mathcad:

3

20

x2 (2 x 9)

f (x) dx

0.741

f2(x)

1

27

,

27

,

f2 (1) 0.259

,

f2 (3) 1

,

1 0.259

0.741 .

Итак,

вероятность

попадания

X

в интервал (1;4)

равна

3

P(1 X 4) P(1 X 3) P(3 X ) 2 / 9(3x x2 )dx 0 0,741

1

или

P(1 X 4) P(1 X 3) P(3 X ) =

F(3) F(1)

=

f (x)

0 if x 0

F(x)

0 if x 0

2

2

2

3

x x

if 0

x 3

x

(9 2 x)

0 x 3

9

if

27

0

if

x 3

1

if x 3

2

2

f (x)

1

F(x)

1

2 1

0

2

4

2 1

0

2

4

2

2

x

x

Рисунок 7

Рисунок 8

мала, а число n велико, но np

небольшое

число;

точное значение

определяется по формуле Бернулли). Поэтому: P( X k) P (k) k

e , где

n

k!

np =1000 0,001=1, k 0,1,2,...,1000 ,

n 1000 . В

среде

Mathcad закону

p(0 )

0.368

,

1

p(1 )

0.368

,

p(10 )

1.014 10 7

,

p(2 )

0.184

,

p(1000 )

0 ,

1

x

t 2

(x)

e

2 dt – функция Лапласа, её значения табулированы или их

2

0

a

a

;

можно найти в Mathcad ; P( X ) F( ) F( )

P(

X a

X

от математического

) 2

- вероятность отклонения

F(z) нормированного

нормального распределения ( a 0, 1). Нормировка

осуществляется заменой z

x a

.

Выполнение задания

a 10,

2,

f (x) dnorm(x a ),

F(x)

pnorm(x a ),

F0 (z) pnorm(z 0 1),

(z)

F0 (z) 0.5,

2 (1.5 ) 0.866 ,

(2)

(1) 0.136 .

Итак,

1

( x 10)2

1) f (x) 2 2 e

8

;

14 10

12 10

4)

P(12 X 14)

= 2 1 =0,136;

2

2

превосходящей

по

абсолютной

величине

=3

будет

равна

3

P(

X 10

3) 2

= 2 (1,5) = 0,866.

2