ЦОС_ответы

Добавил:

sergey123 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Цифровая обработка сигналов

Файл:

2 tи , а для импульса на частоте

f0 - в две

5. Ширина полосы для прямоугольного импульса

2 tи , а для импульса на частоте

f0 - в две

.pdf

Скачиваний:

243

Добавлен:

19.02.2017

Размер:

8.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

6. Спектр прямоугольного импульса (р. 3.3, 3.4)

Пример 1. Спектр прямоугольного сигнала

tи

tи 2

tи

sin tи

tи

S U

i t

и 2

sin

Utи

Utи sinc

tи

3tи

2 tи

tи

Спектр – в виде действительной функции от . Так происходит всегда, когда сигнал симметричен

относительно 0 .

Тем не менее, полезно его представить в виде вырожденной комплексной функции.

S Re i Im

tè

tÏ

Пример 2. Сдвинутый импульс

U
0	tи

Из свойств преобразований Фурье известно, что сдвиг оригинала на приводит к тому, что Фурье-

образ домножается на ei .

Данный множитель не меняет модуль, а к аргументу добавляется

A
1		2 t	3t
	tè	è	è
	tè

	A
Im	1	2	3
	tи	tи	tи
Re

Математика доказывает, что у любого реального сигнала A - симметричная относительно f 0 .

Фазовая характеристика – антисимметричная. Аналогичным образом Re - симметричная, Im - антисимметричная.

В случае комплексного сигнала этот принцип нарушается. Если увеличить вдвое величину спектра и интегрирование производить от 0 до :

A
1	2tè	1 tè	2 tè	3tè

Заштрихованный диапазон спектра – техническая полоса сигнала.

7.Спектр вырезки синусоидального сигнала, Sinc-сигнала. Техническая ширина спектра. (р.

3.6, 3.7)

Пример 3. Вырезка синусоидального сигнала.

	s t
	f0
tи	2	tи	2
	2		2
Будет такой спектр:

			2
	A		tи
f0		f	0
			0

Здесь уже техническая полоса вдвое шире.

3.2.

Ширина спектра. Частотная полоса сигнала.

1tи

FT 1 1t	и	1
2tи		tи

Для импульса типа sinc частотная ширина спектра в точности равна 1/tи. Для остальных сигналов – от до .

1.К счастью амплитуда частотных составляющих падают при удалении от f0 .

2.Существенная часть ширины спектра зависит от tи в обратно пропорциональной зависимости.

3.FT - техническая ширина спектра.

4.При определении FT берется только положительная часть спектра.

стороны 2 tи .

6.Такое ограничение не безнаказанно, в частности при подобном ограничении для прямоугольного сигнала, обратное преобразование даст импульс sinc.

tè

tÏ

Для импульса типа вырезки полосу надо увеличить вдвое. Тогда сигнал тоже изменится:

8.Вывод формулы ДПФ, ОДПФ периодических функций. Пример (р.4.1, 4.2, 4.3) ДПФ, ОДПФ комплексных сигналов (р. 4.4).

Глава 4. Дискретное преобразование Фурье.

4.1. Вывод дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Основная формула:

F s t

tи

S s t e i t dt

Начнем с периодических функций s t .

Продискретизируем:

t nT ,

m 2 mfS

T 2

tП NT

N - дискрет частоты будущего спектра.

N 1

FД s nT S m T s

nT e im nT

n 0

N 1

Пояснение перехода 0

N 1 T

, где

- оператор поворота на угол

N .

tП

s t U cos 2 f0t

1Гц

Пример. Пусть задан сигнал

Гц,

4 ,

S nT cos 2 f0nT nT 0,...,T N 1 f0T 14

W ei	2
W ei	4	- поворот на 90 градусов
		- поворот на 90 градусов



S nT cos		n		FS	fs	1Гц	2 1Гц 2 рад
	2
	2
			n 0,...,3		N		с
			n 0,...,3		N		с

tси

t c

m cos

n W

n 0

m 0,...,3

m 0

СФ

n 0,...,3

n 0 1

n 1 0

n 2 1

S 1 cos

n W

n 3 0

n 0

n 0 1 W 1 0 1

n 1 0

n 2 1 W 1 2 1

S 2

2 n

cos

n 3 0

m 2

n 0

n 0 1 W 20 1	n 0	1 W 30 1
n 1 0	n 1 0
n 1 0	n 1 0
n 2 1 W 22 1	n 2	1 W 32 1
n 2 1 W 22 1	n 2	1 W 32 1
n 3 0	m 3 n 3 0
n 3 0	m 3 n 3 0

Появление третьей гармоники – следствие симметричности спектра действительных функций. Поскольку дискретный спектр – функция периодичная, то если взять диапазон от минус частоты Найквиста до частоты Найквиста, то получим как раз 1ю и -1ю гармоники:

		2		1fs
				1fs
0	1	2	3		0	1	2	3
	f				4	5	6	7
	f	Н						fН

4.2. Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ).

FД 1 S m s nT								1	N 1
								1	S m W mn
								N	S m W mn
								N	m 0
								масштабный
								коэффициент
								Re i Im	R R R		n 2	n 3
									S		n 2	n 3
								S cos i sin

0	1	2	3	4	5	6	7
									0	2 2	1	0
									0	4		0

4.3. ДПФ и ОДПФ комплексных сигналов.

s t cos 2 t i sin 2 t .

Комплексный сигнал – математическая абстракция.

S nT cos

i sin

n 0 1 i 0

n 1 0 i 1

n 2 1 i 0

n 3 0 i

m 0

m 1

, для

тоже будет 0.

Т.е. для комплексных сигналов будет получаться только исходная гармоника :

fдоп 0

сигнал

ОФ

ОДПФ

f 0

сигнал

ОФ

						n 2				n 3
						n 2				n 3
4			4	4				4			4
4				4				4			4

	4 i 0				0 i 4	4		4 i 0				0 i 4
		1 i 0				0 i 1			1 i 0	4			0 i 1


							4
4			4				4			4

9. ДПФ непериодических функций – сигналов. Пример (р. 4.5)
Органическим недостатком ДПФ является то, что оно работает только с периодическими функциями.
На выходе дает периодический результат.
Остается "обмануть" ДПФ и представить сигнал в виде
периодической функции. Т.е. в пределах интервала периода tÏ , в			tè
котором будет работать ДПФ надо где-то разместить импульс.			tè
котором будет работать ДПФ надо где-то разместить импульс.
Остальную часть периода заполнить нулями. Естественно, что чем			tÏ

больше нулевая область, тем больше полученный спектр будет похож на искомый спектр
непериодического сигнала. Вместе с тем, это увеличивает вычислительную нагрузку. Где-то надо
находить золотую середину, обычно должно выполняться неравенство tè			0.5tÏ .
Сигнал:
S t cos 2 f	0t 0
sin		t t0
		t t0
1. Пусть для начала		0 t0 0
1. Пусть для начала
Продискретизируем сигнал.

S nT cos 2 f0 nT

sin

nT 0... NÈ 1 T

4 f

Выберем частоту дискретизации fS 4 f0 , T

- относительная цифровая частота.

tè NèT

NÈ

S nT

cos

sin

2 f0 nT cos

n 0..2

Изобразим сигнал:

											1




								2			0

0		1		2
0		1		2
ДПФ
						F		fS		4 f0		f0
				NT 8		F
Выберем tÏ							S	N	8			2 - будем встречать f0 на втором дискрете частоты будущего
Выберем tÏ								N	8			2 - будем встречать f0 на втором дискрете частоты будущего
спектра.
Рассмотрим несколько характерных случаев.
1.	0 0	,	n0	1	.
1.		,			.



0	1	2	3	4	5	6	7	0
0	1	2	3	4	5	6	7	0
	N 1		m 0,..., N 1
	N 1		m 0,..., N 1
S m S nT W mn
	n 0		n 0,..., N 1
	n 0		n 0,..., N 1

m , так и

Как n могут принимать отрицательные значения, однако в расчете на БПФ нужно уйти от отрицательных m и n . Чтобы это сделать нарисуем второй период функции. И возьмем 0, 1 и 7й отсчеты.

Теперь можно приступить к вычислению ДПФ.

tси 1

СФ

Полу чили действительный спектр:

Re								A
								A



							0		1	2	3	4	5	6	7
							0		1	2	3	4	5	6	7

					5	6	7
					5	6	7
0	1	2	3	4



б) t d		. Т.е. у нас в точках изменятся значения с 1 на
б) t d		. Т.е. у нас в точках изменятся значения с 1 на												2 .
	t c



0	1	2	3	4	5	6	7	0
0	1	2	3	4	5	6	7	0

А векторная диаграмма повернулась на 45 градусов:

	2 f дв
f	f 0
f	0

вырезка

Re							A
Re
				5	6	7
0	1	2	3	4
Im							0	1	2	3	4	5	6	7

				5	6	7	3
0	1	2	3	4			3
							4

в) n0 1, 0 0 .

		1			3	2	1									3	2			1	3
		1															2			1
																			3
2										1				2					3	2
2										1				2						2
									2
										3									1
															1				1
	3	1													1		1	3		2
	3				0 i 1			2	3		3	2	1			1	1	3		2
									3		3	2	1						1	0 i	2 1
										0 i 1			2				0 i 1	2


									3	A
									0	1	2	3	4	5	6	7

		3 Re							2
						4	5		2
						4	5	6
								6
		0	1	2	3			7
	Im								2
									2
						4		6	5
		0				4	5	6	2
		0	1	2	3			7	3
			1	2	3			7	3
1		2							7
									2

10. БПФ, ОБПФ. Пример. Выводы про БПФ, ОБПФ (р. 4.6, 4.7) 4.5. БПФ

FFT - Fast Fourier Transform

Как видно из функций FÄ и FÄ 1 время счета ~ N 2 : число гармоник умножения с последующим суммированием.

Объем можно уменьшить до	T ~ N log2	N	1958г

GoodIS Б. Голд и Ч. Рейдер Цифровая обработка сигналов. В основе БПФ лежит "бабочка" Фурье:

A		C C A BW k
B W k		D D A BW k
0							S0
1					W 0		S6
2			W 0
3			W 0		W 2
4	W 0
4
5 W 0					W 1
6	W 0		W 2
7	W 0		W 2		W 3
Граф БПФ для N=16.
0											S0
1									W 0		S8
2						W 0
3						W 0			W 4
3
					W 0
4
5					W 0				W 2
5
6					W 0	W	4
						W

7					W 0	W 4			W	6
7									W
8
9									W 1
10						W 2
11						W 2			W 5
11
					W 4
12
13		W	0		W 4				W	3
13		W							W
14					W 4	W 6
14					W 4
					W 4	W 6				7
15						W 6			W	7
15									W

S nT cos				n	i sin	n
			2		2			n 0..3
								n 0..3

Re iIm R	R	R
, S cos isin			S операций комплексного

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Цифровая обработка сигналов

#
18.02.201711.11 Mб92TsOS.pdf
#
19.02.20178.64 Mб243ЦОС_ответы.pdf