1.7.4 Метод наложения (суперпозиции)
Метод основан на принципе Д’Аламбера - независимости действия сил на линейную систему.
Проиллюстрируем принцип Д’Аламбера, рисунком 1.33.
Рисунок 1.33 - К принципу Д’Аламбера
В электрической цепи вместо сил используют ЭДС цепи. Схему решают столько раз, сколько имеется в цепи источников энергии.
Результаты решения алгебраически суммируют.
Применим метод к нашей цепи.
Для
цепи, изображенной на рисунке 1.32, дано:
Е1;
Е3;
R1;
R2;
R3;
RО1;
RО2.
Рисунок 1.34 - Расчетная схема
Найти
1. Все токи.
2. Проверить полученные результаты на баланс токов и баланс мощности.
3. Напряжения на всех элементах цепи.
Порядок расчета
Составляем расчетные подсхемы.
Расчетных подсхем будет столько же, сколько имеется в цепи источников энергии.
В нашем случае - мы имеем две расчетных подсхемы, показанные на рисунке 1.35. Их алгебраическая сумма - есть исходная цепь.
Рисунок 1.35 - Подсхемы цепи
Размечаем токи на подсхеме «А».
Токи можно разметить сразу правильно, так как в цепи имеется лишь один источник. Токи размечаем с индексами «», см. рисунок 1.35.
Решаем схему «А».
Решение можно производить любым методом, который обеспечивает самое короткое решение.
В
результате, получаем токи:
Размечаем токи на подсхеме «Б».
И здесь во многих случаях токи можно разметить сразу правильно, так как в цепи действует лишь один источник энергии. Токи размечаются с индексами «», см. рисунок 1.35.
Решаем подсхему «Б».
Решение можно производить любыми методом, который обеспечивает самое короткое решение.
В
результате получаем токи:
6. Размечаем токи на главной схеме «А+Б»
Токи на главной схеме можно разметить произвольно. Однако, лучше учитывать при этом величины токов, полученных решением подсхем, см. рисунок 1.35.
7. Определяем значения действительных токов.
На основании нашей разметки имеем:
.
(1.67)
Проверяем действительные токи на баланс токов.
Проверку производим во всех узлах по первому закону Кирхгофа
.
(1.68)
Проверяем действительные токи на баланс мощности в цепи
.
(1.69)
Указанный метод получил распространение в инженерной практике, особенно он часто он применяется тогда, когда необходимо знать долевое участие каждого источника энергии в питании всей электрической цепи.
1.7.5 Метод узловых потенциалов
Метод узловых потенциалов основан на первом законе Кирхгофа и на законе Ома.
Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сократить число расчетных уравнений и тем самым уменьшить вычислительную работу.
Для выяснения сущности метода рассмотрим электрическую цепь, показанную на рисунке 1.36.
Рисунок 1.36 - К методу узловых потенциалов
Соединим один из узлов с землей, то есть придадим этому узлу нулевой потенциал земли.
Такое допущение не влияет на работу цепи и не изменит токов в ветвях, так как величина токов определяется не потенциалами узлов, а разностью потенциалов между узлами, к которым присоединены ветви.
Узловым потенциалом называется потенциал узла сложной цепи относительно узла, потенциал которого принят равным нулю.
Размечаем произвольно потенциалы узлов 1 и 2 и токи в ветвях цепи.
По первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов будем иметь
. (1.70)
Токи в ветвях определяются по закону Ома:
;
;
;
(1.71)
;
,
где
;
;
;
;
- проводимости ветвей.
Подставляя (1.71) в (1.70), будем иметь:
;
(1.72)
.
(1.73)
Введем обозначения:
(1.74)
- алгебраическая сумма произведений ЭДС на соответствующие проводимости, примыкающие к узлу 1 цепи;
(1.75)
- то же, но примыкающая к узлу 2 цепи.
Произведение ЭДС на проводимость берут со знаком плюс, если стрелка ЭДС источника направлена к рассматриваемому узлу и минус, если она направлена от узла.
Сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлам 1 и 2, запишется так:
;
.
(1.76)
Величины
- называют проводимостями узлов.
Сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2, записывается так:
.
(1.77)
В
дальнейшем будем называть
- проводимостями между узлами.
Подставим (1.74), (1.75), (1.76), (1.77) в (1.73):
;
.
(1.78)
Если в цепи действует не только ЭДС, но и источник тока, то эти токи следует учесть в левых частях уравнений (1.78).
Токи
«
»
заданных источников тока записываются
в левые части уравнений со знаком плюс,
если они притекают к узлу и со знаком
минус, если они вытекают из узла.
Положим,
что
притекает к узлу 1, а
вытекает из узла 2.
В результате получим:
;
.
(1.79)
Если
электрическая цепь имеет в своем составе
узлов (
-
любое число), то положив потенциал,
например
узла, равным нулю для определения
остальных
потенциалов,
получим систему из
уравнений.
.
(1.80)
Решая
систему (1.80) относительно
определяем потенциалы узлов, а затем
по формулам типа (1.71) находим токи в
ветвях цепи.
Применим изложенный метод к сложной цепи, изображенной на рисунке 1.36.
Для цепи, изображенной на рисунке 1.32, дано: Е1; Е4; R1; R2; R3; R4; R5; R6.
Найти
1. Все токи.
2. Проверить полученные результаты на баланс токов и баланс мощности.
3. Напряжения на всех элементах цепи.
Рисунок 1.32 - Расчетная схема
Порядок расчета
Заземляем один из узлов цепи.
Заземлению можно подвергнуть любой из четырех узлов цепи. Обозначаем потенциал заземленного узла через «0».
Размечаем цифрами незаземленные узлы.
Разметку узлов можно производить в произвольном порядке.
Размечаем потенциалы незаземленных узлов.
На
схеме это -
.
Определяем проводимости всех ветвей цепи:
;
;
;
;
;
.
(1.81)
Составляем уравнения узловых потенциалов.
.
(1.82)
Примечание:
Если
в цепи имеется ветвь с ЭДС (
)
не содержащая сопротивления, то именно
узел такой ветви следует заземлять.
Заземленный узел имеет при это потенциал
равный нулю, тогда другой узел и его
потенциал найдется без расчета
.
Число расчетных уравнений уменьшается
на единицу.
Решаем систему уравнений узловых потенциалов.
Решение производим методом определителей, или используя вычислительную технику:
;
;
.
(1.83)
Размечаем стрелки действительных токов на ветвях цепи.
Стрелки токов можно размечать как обычно, то есть произвольно.
8. Определяем величины действительных токов в ветвях цепи.
Для определения токов используем значения ранее вычисленных потенциалов узлов и закон Ома:
.
(1.84)
Поверяем действительные токи на баланс токов
Проверку производим во всех независимых узлах цепи по первому закону Кирхгофу.
Проверяем действительные токи на баланс мощности
.
(1.85)