1.6.5 Преобразование «треугольника сопротивлений» в «звезду сопротивлений»

Впервые данное преобразование осуществлено итальянским ученым Кеннели.

Составляем расчетную схему.

Рисунок 1.22 - Преобразование «» сопротивлений в «»

Для треугольника сопротивлений дано: .

Найти: .

Уравнения перехода от треугольника к звезде сопротивлений запишутся:

; (1.26)

; (1.27)

. (1.28)

Решим полученную систему относительно неизвестных . Для этого сложим (1.26) и (1.28) и вычтем (1.27).

(1.29)

Откуда получаем

,

аналогично имеем:

; (1.30)

.

Выражения (1.30) позволяет определить сопротивления лучей звезды по заданным сопротивлениям сторон треугольника.

В частом случае, при симметричном треугольнике, когда все сопротивления сторон треугольника одинаковы, , сопротивления лучей звезды также будут одинаковы,.

Согласно выражений (1.30), получаем:

;

. (1.31)

Луч симметричной звезды всегда равен одной трети сопротивления стороны симметричного треугольника.

1.6.6 Преобразование «звезды сопротивлений» в «треугольник сопротивлений»

Рассмотрим, теперь обратное преобразование.

Рисунок 1.23 - Преобразование звезды в треугольник сопротивлений

Для звезды сопротивлений дано: .

Найти:..

Согласно схеме, на рисунке 1.23, будем иметь:

; (1.32)

; (1.33)

. (1.34)

Решаем полученную систему. Для этого сложим (1.33) с (1.34) и вычтем (1.32).

.

Откуда имеем

.

Аналогично получаем:

; (1.35)

.

Выразив из (1.35) сопротивления лучей звезды окончательно запишем:

;

; (1.36)

.

Эти же соотношения в проводимостях можно записать так

, откуда получим

.

Аналогично получаем остальные проводимости:

; (1.37)

.

Для симметричного случая, на основании выражения (1.31) имеем

. (1.38)

1.7 Методы расчета сложных цепей

В зависимости от конфигурации и условий заданной цепи применяются для расчета цепи различные методы. Однако все методы расчета основаны на законах Кирхгофа.

Искусство расчетчика состоит в том, что он находит наиболее рациональный метод решения к конкретно заданной цепи.

Рассмотрим наиболее употребительные методы расчета цепей.

1.7.1 Метод линейных преобразований

Данный метод основан на использовании закона Ома и формул последовательного, параллельного, смешанного соединения соп­ротивлений, а также перехода от соединения сопротивлений в треугольник к звезде.

Сначала сложная цепь свертывается до предельно простой и решается по закону Ома – прямой путь. Затем, полученное решение развертывается до заданной конфигурации цепи – обратный путь. Основное условие применимости метода – в цепи должен быть только один источник пи­тания.

Дано: цепь, показанная на рисунке 1.24; параметры Е, R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆.

Рисунок 1.24 – Исходная схема цепи

Найти

1. Эквивалентное сопротивление всей цепи относительно зажимов источника питания.

2. Все токи.

3. Проверить полученные результаты на: а) баланс токов, б) баланс мощности.

4. Напряжения на всех элементах цепи.

5. Проверить напряжения на баланс напряжений.

Порядок расчета

1. Расставляем на исходной схеме стрелки токов.

Поскольку в схеме только один источник энергии токи можно разметить сразу в правильном направлении. Токов будет столько, сколько ветвей в цепи. Стрелки токов размечают непосредственно на проводниках.

2. Размечаем стрелки напряжений. Напряжения расставляются на каждом элементе цепи. Направление стрелок напряжений всегда выбирается против токов текущих в ветви.

3. Определяем эквивалентное сопротивление всей цепи относительно зажимов источника питания.

Свертываем цепь (прямой путь). Первое преобразование (показано на рисунке 1.25).

Рисунок 1.25 – Расчетная схема после первого преобразования

. (1.39)

Проводим второе преобразование цепи (схема показана на рисунке 1.26).

Рисунок 1.26 – Расчетная схема после второго преобразования

. (1.40)

Третье преобразование (см. рисунок 1.27).

. (1.41)

Рисунок 1.27 – Расчетная схема после третьего преобразования

Четвертое преобразование (см. рисунок 1.28).

. (1.42)

Рисунок 1.29 – Расчетная схема после четвертого преобразования

Последнее, пятое преобразование (см. рисунок 1.30).

. (1.43)

Рисунок 1.30 – Расчетная схема после пятого преобразования

Определяем ток , в схеме на рисунке 1.30, по закону Ома.

. (1.44)

4. Развертываем решение (обратный путь) и находим токи в ветвях цепи. Воспользовавшись схемой изображенной на рисунке 1.27, найдем токи и:

;

. (1.45)

Переходя к рисунку 1.25, определяем токи и:

;

. (1.46)

Токи , иможно найти по-другому, например из рисунка 1.27:

; . (1.47)

Согласно второму закона Кирхгофа имеем

, откуда

, напряжение определится по закону Ома

.

5. Проверка полученных результатов.

а) Баланс токов.

Из рисунка 1.25 следует:

; (1.48)

,

б) Баланс мощности.

Мощность вырабатываемая генератором

. (1.49)

Мощность нагрузки

. (1.50)

6. Определяем напряжения на всех участках цепи. Делаем это по закону Ома:

;

;

;

; (1.52)

;

.

7. Проверяем напряжения на баланс напряжений. Для этого, составим урав­нения по второму закону Кирхгофа для цепи изображенной на рисунке 1.25.

Первое уравнение

. (1.53)

Второе уравнение

. (1.54)

Третье уравнение

или . (1.55)

Если балансы тока, напряжения и мощности сошлись с погрешностью не более 1%, то расчет считается выполненным правильно.