
ИПР_3 вариант 5
.docxМинистерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»
Факультет непрерывного и дистанционного обучения
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА, ЧАСТЬ 1
ИНДИВИДУАЛЬНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1-3
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Вариант : 5
Минск 2017
Задача 1
Найдите производную функции.
1.05
y
= sin((2x
- 3)) + ch 2 +
Решение
Задача 2
Найдите
дифференциал заданной функции y
=
.
Проверьте,
удовлетворяет ли функция y
=
заданному
уравнению.
2.05
y = x(cos2x – 1); x(y - 2sin
2x)dx -
dy
= 0
Решение
По
определению дифференциал функции равен
Задача 3
Найдите производную функции.
3.05
= ( cos5
Решение
Прологарифмируем обе части:
Задача 4
Найдите
вторую производную функции,
заданной параметрически.
4.05
Решение
Функция задана в параметрическом виде.
Задача 5
Заданы
функция y
=
и
точка
.
Найдите площадь треугольника, ограниченного
осями координат и касательной, проведенной
в точке
. к
графику функции y
=
.
5.05
=
;
= -1
Решение
Задача 6
Найдите предел по правилу Лопиталя.
6.06
Решение
Правило
Лопиталя позволяет раскрыть неопределенность
вида
или
Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных:
Задача 7
Разложите
функцию по формуле Тейлора по степеням
x
-
до
члена (x
-
включительно.
Остаточный член запишите в форме Пеано.
7.05
y
=
;
= 1
Решение
Найдем значения функции и ее производных
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:
Задача 8
Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования.
8.05
y
= 12
- 8
– 2
Решение
-
Область допустимых значений:
-
Проверим функцию на четность, нечетность. Функция
называется четной (нечетной) если выполнены два условия:
Область определения симметрична относительно начала координат
Если
четная, то график симметричен относительно
оси ординат, а для нечетной – относительно
начала координат.
Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.
Функция не является периодической
-
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат
c
осью ОY:
c
осью ОX:
-
Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности
Составим таблицу
|
|
0 |
|
1 |
|
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
|
|
-2 |
|
2 |
|
|
убывает |
min |
возрастает |
max |
убывает |
-
Найдем наклонные асимптоты
где
Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.
-
Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции
Составим таблицу
|
|
0,5 |
|
|
+ |
0 |
- |
|
вогнута |
0 |
выпукла |
Точка
-
точка перегиба.
Задача 9
Методами дифференциального исчисления исследуйте функцию и постройте её график, используя результаты исследования.
9.05
y
Решение
-
Область допустимых значений:
Т.к.
-
точка разрыва функции исследуем поведение
функции в этой точке слева и справа
Т.к.
пределы равны
значит
точка
разрыва второго рода.
Следовательно,
прямая
-
вертикальная асимптота.
-
Проверим функцию на четность, нечетность. Функция
называется четной (нечетной) если выполнены два условия:
Область определения симметрична относительно начала координат
Если
четная, то график симметричен относительно
оси ординат, а для нечетной – относительно
начала координат.
Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.
Функция не является периодической
-
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат
c
осью ОY:
c
осью ОX:
-
Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности
Составим таблицу
|
|
-4 |
|
-1 |
|
0 |
|
|
+ |
0 |
+ |
не сущ |
- |
0 |
+ |
|
|
-9,5 |
|
не сущ |
|
0 |
|
|
возрастает |
max |
убывает |
|
убывает |
min |
возрастает |
-
Найдем наклонные асимптоты
где
-
Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции
Составим таблицу
|
|
-1 |
|
0 |
|
|
- |
не существует |
+ |
0 |
+ |
|
выпукла |
не существует |
вогнута |
0 |
вогнута |
Точка
-
точка перегиба.
-
Построим график функции, используя результаты исследования.