7. Правило Лопиталя

8. Формула Тейлора

Добавил:

nyan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Математический анализ

Файл:

1 семестр ЭКТ / Учебники и пособия / BDZ_matan_1_semestr.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.01.2017

Размер:

379.82 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Найти пределы с помощью правила Лопиталя.

3	x	-	3	a			ln cos x
7.1. lim					.	7.2. lim	x	.
7.1. lim					.	7.2. lim		.
x→a	x -			a		x→0

7.3.	lim ex -1 .
	x→0	sin x
7.5.	lim	tg x - x	.

	x→0 x - sin x
7.7.	lim	x - sin x	.

	x→0	x - tg x


7.4. lim eax - cos ax .
x→0 ebx - cosbx
7.6. lim	ea	x	-1			.
	sin bx
x→0
7.8. lim	p - 2arctg x .
x→∞	æ			+	1		ö
	lnç1				x		÷
	è						ø

7.9. lim	xm - am	.	7.10. lim	ax - bx	.

x→a	xn - an		x→0 cx - d x

7.11.lim ex2 -1 . x→0 cos x -1

7.13. lim	ax - bx					.
7.13. lim						.
x→0 x 1- x3
7.15. lim	ex - e−x - 2x						.
7.15. lim		sin 2 x					.
x→0		sin 2 x
7.17. lim ex2 -1 - 2x2 .
x→0		sin 2 2x
7.19. lim	ln x				.
7.19. lim					.
x→0 lnsin x
7.21. lim (x3e−x ) .
x→+∞
7.23. lim x sin			a	.
7.23. lim x sin				.
x→∞			x

7.25. lim (a2 - j2 ) tg pj .
	ϕ→a			2a
7.27.	æ		1	ö
	limçctg x -		x	÷ .
	x→0è			ø
	1
7.29. lim x × (e		x	-1) .
	x→∞

7.31. lim (tg x)2x−π .

x→ π2

7.33. lim xln(ex −1) .

x→0

7.35. lim (ex + x) x .

x→∞

7.12. lim	ex - e−x		.

x→0 sin x ×cos x
7.14. lim	ln(x - a)		.

x→a ln(ex - ea )
7.16. lim	ex - e−x	.
	tgx - x
x→0

7.18.lim lnsin 2x . x→0 ln sin x

7.22. lim (p - 2arctg x)× x .

x→∞

7.24.

limç

÷ .

x→1è x

ln x ø

7.26.

æ 1

limç

÷ .

ln x

x→1è ln x

7.28. lim

x→1 cos

×ln(1- x)

7.30. lim x2 × e

x→0

7.32. lim xsin x .

x→0

7.34.

æ 1

ötg x

limç

÷ .

x→0è x

πx

7.36.

limç2

x→aè

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

7.37. lim	æ	1		öx
	ç1+			÷ .
			x2
x®¥è				ø
7.39. lim	chx - cos x				.

x®0		x2
7.41. lim	3tg 4x -12tg x					.

x®0	3sin 4x -12sin x

7.43. lim 1- cos x2 .

x®0 x2 sin x2

7.45. lim cos x sin x .

x®0

tg x

7.47. lim(1+ 3sin x) x2 .

x®0


7.49. lim x1+ln x .
	x®0
	1
7.51. lim x			1-x	.
	x®1
7.53. lim(2 - x)tg						px
7.53. lim(2 - x)tg						2 .
	x®1
7.55. lim (tg x)tg 2x .
	x®	p
	x®
	4
7.57.	æ			1 öx
7.57.	lim çln				÷ .
	x®+0è			x ø
	æ				öctg(x-a)
7.59.	limç tg x				÷	.
	ç				÷
	x®aè tg a				ø

7.61. lim(ax - x ×ln a)x12 .

x®0

7.63.	æ	1	-
	limç
	x®0è x
7.65.	æ	1
	limç

	x®1è ln x
7.67.	lim xx .
	x®+0

	1		ö
				÷ .
				÷ .
ex -1ø
			1		ö
-					÷ .
-		x	-1		÷ .
		x	-1		ø
	1

7.69.

lim

(1+ x) x - e

x®0

7.71.

æ 2

öx

lim

arctg x÷ .

x®+¥è p

7.73.

(1+ x)

lim

÷ .

x®0ç

7.38. lim	éln(1+ x)1+ x		-	1	ù
7.38. lim	ê	x2	-	x	ú .
x®0	ê	x2		x	ú
	ë				û

7.40. lim

xctg x -1

x®0

7.42. lim

tg x

-1

2sin2 x -

x®

7.44. lim

ax - asin x

x®0

öx

×sin

7.46.

limç1 -

x®1è

7.48.lim ln(sin ax) . x®0 ln(sinbx)

7.50.lim ln(cosax) . x®0 ln(cosbx)

7.52. lim	cos(sin x) - cos x	.

x®0	x3
	1

7.54. lim(1 + x2 + 2x)

sin x

x®0

7.56. lim(ctg x)sin x .

x®0

7.58.

lim

çtg

x®¥è

2x +1ø

7.60.

lim

x100

x®0

7.62.

lim

x2e-0.01x .

x®+¥

7.64.

lim

ln x ×ln(1- x) .

x®1-0

7.66.

lim xε ln x

(ε > 0) .

x®+0

7.68. lim

ax - xa

x®a

x - a

7.70.

lim

çctg2 x -

÷ .

x®0è

æ sin x ö

7.72.

lim

1-cos x

x®0è

æ arcsin x ö

7.74.

lim

x®0è

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

		æ 2		1
7.75.				ö	x	.
	lim	ç		arccos x÷
			π
	x→0è			ø

				1
		æ sin x ö
7.76.	lim	æ sin x ö			x2	.
7.76.	lim	ç	x	÷		.
	x→0è		x	ø

æ p

æ tg x ö

7.77.

ln x

7.78.

lim ç

- arctg x÷

limç

x→∞è 2

x→0è

x ø

7.79. lim(cos x)

sin2 x

7.80. lim(cos x + λsin x)

x→0

æ arctg x ö

7.82. lim(1+ 3x)

7.81.

x+x2

limç

x→0è

→0

7.83. lim(2 - ax )

7.84. lim(1- sin2 x)

sin x

xsin x

x→0

→0

7.85. lim

ex3 -1- x3

7.86. lim cos x ×ln(x - a)

x→0

sin6 2x

→a

ln(ex - ea )

7.87. lim(arcsin x)tg x .

7.88. lim x

ln shx

x→0

→+0

(p - 2x)cos x .

ln(1- x) + tg px

7.89.

lim

7.90. lim

ctg px

→

x→

−0

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

x→1 ctg px + px

Разложить заданные функции по степеням

8.1. y = xln x ,				а)	x0 = 1,
8.2. y =	1	- x	,	а)	x	= 0 ,

1		+ x			0

8.3. y = xe−x ,				а)	x	= 1,
					0
8.4. y = arcsin x ,				а)	x0	= 0 ,

8.5.y = 1-x x ,

8.6.y = xsin x ,

8.7.y = cos2 x ,

8.8.y = x2 ex ,

8.9.y = 11 +- xx ,

8.10. y = ctg x ,

8.11.y = x3 ln x ,

8.12.y = x cos x ,

8.13. y = sin2 x ,

8.14. y = x2 ln x , 8.15. y = x × 3x +1 ,

8.16. y = 2x +- 3x , 8.17. y = x2 e−x ,

8.18. y = x x+1 , 8.19. y = ln(1+ x2) ,

8.20. y = arccos x ,

8.21. y = x3 ex ,


8.22. y = x ×			x +1		,
8.23. y = arctg x ,
8.24. y =	2x			,
8.24. y =	x - 2			,
	x - 2
8.25. y = xex ,
8.26. y =	2	+ x
8.26. y =		- x
2		- x

8.27. y = x3 e−x ,

а)	x0	= 0 ,
а)	x	=	p	,

	0	2

а)	x0	= 0 ,
а)	x0	= 1,
а)	x0	= 0 ,
а)	x	=	p	,

	0	2

а)	x0 = 1,
а)	x	= p ,
	0	2

а)	x	=	p	,

	0	2

а)	x0	= 1
а) x0		= -2 ,
а)	x0	= 0 ,
а)	x0	= -1 ,
а)	x0	= 1,
а)	x0	= 0 ,
а)	x0	= 0 ,
а)	x0	= 0 ,
а)	x0	= 0 ,
а)	x0	= 0 ,
а)	x0	= 1,
а) x0		= -1,
а)	x0	= 0 ,
а)	x0	= 0 ,

(x - x0 ) до 3–го порядка включительно.

б)	x0	= e .
б)	x0	= 2 .
б)	x0	= 0 .
б)	x	=		1	.

	0	2

б)	x0	= -1.
б)	x0	= p .
б)	x	= p .
	0	2

б)	x0	= 0 .
б)	x0	= -1.
б)	x	=	p			.

	0	4

б)	x0	= e .
б)	x0	= -p .
б)	x0	= p .
б)	x0	= e .
б)	x0	= 7 .
б)	x0	= -1 .
б)	x0	= 0 .
б)	x0	= -2 .
б)	x0	= -1 .
б)	x	=		1	.

	0	2

б)	x0	= 1.
б)	x0	= 3.
б)	x0	=1.
б)	x0	= -1.
б)	x0	= 0 .
б)	x0	= 1.
б)	x0	= 1.

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

8.28. y = ln(1− x2 ) ,				а)	x	= 0 ,	б)	x	=		1	.

					0			0	2

8.29. y = tg x ,				а)	x	= 0 ,	б)	x	=	p			.

					0			0	4
		- x
8.30. y = ln	1		,	а)	x	= 0 ,	б)	x	=		1	.

1		+ x			0			0	2

Вычислить приближенно, используя:

1)дифференциал функции;

2)многочлен Тейлора 2-й степени;

3)многочлен Тейлора 3-й степени.

Оценить точность приближенного вычисления для каждого способа.

8.31.					.				8.32. ln1,2 .											8.33.				1			.
		1,1																						1

																					0,9
																					0,9
8.34. ln 0,96 .									8.35. 3									.		8.36. e−0,2 .
8.34. ln 0,96 .									8.35. 3			0,76						.		8.36. e−0,2 .
8.37. 4								.	8.38. ln 0,9 .											8.39. e0,08 .
8.37. 4			1,28					.	8.38. ln 0,9 .											8.39. e0,08 .
8.40.				1			.		8.41. e−0,15 .											8.42. 3						.
				1																			0,9

	4 0,8
	4 0,8
8.43. ln1,15 .									8.44.		1			.						8.45. e−0,1 .
8.43. ln1,15 .									8.44.	1,08				.						8.45. e−0,1 .
										1,08
8.46.				1		.			8.47. 5						.					8.48.				1				.
				1								0,8												1

	5 1,2																				3 1,15
	5 1,2																				3 1,15
8.49. 2ln 0,94.									8.50. 3				.							8.51. e0,15 .
8.49. 2ln 0,94.									8.50. 3			1,1	.							8.51. e0,15 .
8.52.				1	.				8.53. 4								.			8.54. ln 0,92 .
				1								1,16

	1,1
	1,1
8.55. ln 0,8 .									8.56.		1								.	8.57. e0,2 .
										3
											0,95
											0,95
8.58. ln1,3 .									8.59. 4							.				8.60.		1			.
												1,15										1
												1,15									1,05
																					1,05

Вычислить пределы, используя разложение функций по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

8.61. lim		cos x - e−x2						2				8.62.		1+ 2sin x - (x +1)2
											.		lim									.
			æ							ö	.		lim	3					5			.
x→0	x	2	æ	-	3	1	+ x		2	ö			x→0	3	1	- x	2	-	5	1+ x	2
	x		×ç 1	-		1	+ x			÷					1	- x		-		1+ x
			è							ø

8.63. lim

1-12,5x2 - cos5x

8.64. lim

ln(1- 2x) + 2x(x +1)

x→0

3 1+ x4 -1

x→0

1+ x3 - 3 1- x3

8.65. lim

sin x - x

8.66. lim

1− x2 − cos x

x→0

2sin x - sin 2x

x→0

x2 ln(1+ x2 )

ex − cos x − ln(x +1)

8.67. lim

1− 4

1+ x4

8.68. lim

sin2 x

x→0 cos3x + 4,5x2 −1

x→0

8.69. lim

x ×(sin x - x)

x→0 ln(1- x2 ) + 1+ 2x2

-1

8.70. lim

1+ x3

- 2ex + (x +1)2

x→0

x - sin x

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

8.71. lim 3 12- x4 -1 . x→0 e− x 2 - cos x

8.77.lim 31- 2x4 - 41+ x4 . x→0 cos5x +12,5x2 -1


8.79. lim	1- ln(1- x2 ) - 1+ 2x2 .
x→0		x ln(1+ x3)
8.80. lim		x2 ln(1- x)		.
8.80. lim				.
x→0 1- x3 - 2ex + (x +1)2
8.81. lim	cos 2x - 2e−x2 +1		.
8.81. lim			.
x→0		1- 4 1+ 2x4

8.82.lim sin 2x - 2x(x +1) . x→0 ln(1+ x2 ) + 0,5x4

8.83. lim

x ×(x - sin x)

1- 4,5x2 - cos3x

x→0

8.84. lim

1+ 2x3

1- x3

2x(x +1) + ln(1- 2x)

x→0

8.85. lim

sin 2x - 2sin x

x→0 ln(1+ 2x) + 2x(x -1)

8.86. lim

(xsin x)2

x→0 cos x - 1- x2

8.87. lim

2x2 (x2 +1) + ln(1- 2x2 )

x→0

x3 ×(x - sin x)

8.88. lim

cos 4x -1

x→0 ln(1+ x) + cos x - ex

e−x2 + ln(1+ x2 ) - 3

8.89. lim

1- x

x ×(sin x - x)

x→0

8.90. lim

2ex - (x +1)2 -

1- x3

x ln(1- x2 )

x→0

8.72. lim

cos2x -1

x→0

+1)2 - 2sin x -1

8.74. lim

1+ x3 -

1- x

2x(1- x)

x→0 ln(1+ 2x) -

8.76. lim

cos2x - 1- 4x2

xsin3 x

x→0

8.78.lim cos x - ex + ln(1+ x) . x→0 ln(1- x) + x

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники и пособия

#
23.01.2017379.82 Кб83BDZ_matan_1_semestr.pdf
#
23.01.2017296.48 Кб32BDZ_matan_2_semestr.pdf