Дифференцирование фунций

Правила дифференцирования

Формулы дифференцирования

Рассмотрим примеры.

Найти производные следующих функций:

Пример1. у= 3х⁴

Решение.

Используя правило 5 и формулу 5 – дифференцирования степенной функции, имеем: у’=3(х⁴)’=3 4x^4-1=12x³

Пример 2.

Решение.

По определению степени с отрицательным показателем: . Преобразуем данную функцию и найдем производную аналогично решению примера 1:

Пример 3.

Решение.

По определению степени с рациональным показателем: , отсюда:

Пример 4.

Решение.

Для нахождения производной используем правила дифференцирования 3; 5; 2, определение отрицательной степени и формул 5; 6 и 7:

Пример 5.

Решение.

В данной функции последним действием является произведение, поэтому в первую очередь надо использовать правило 4 – производная произведения, а затем правило 5, определение степени с рациональным показателем и формулы дифференцирования 5 и 9:

Пример 6.

Решение.

Последнее действие – деление, поэтому сначала применяем правило 6 – производной частного, затем формулы 3 и 10:

Рассмотрим несколько примеров нахождения производных сложных функций, при этом будем использовать формулы второго столбца формул дифференцирования.

Сложную функцию обычно обозначают в виде формулы y=f(g(x)), где функцию у=f(u) – называют основной. Ее вид соответствует последнему действию в выражении, задающем функцию. Функцию u=g(x) – называют промежуточной.

Чтобы найти производную сложной функции надо, производную основной функции умножить на производную промежуточной.

Первоначальный выбор формулы дифференцирования сложной функции зависит от вида основной функции.

Рассмотрим примеры.

Найти производные следующих сложных функций:

Пример 7. y=cos⁶x

Решение.

Основная функция является степенной y=u⁶ , а промежуточная u=cosx – тригонометрической, поэтому сначала находим производную по формуле 5 – степенной (сложной) функции и умножаем на производную косинуса (элементарной функции) – формула 9.

.

Пример 8. y= sin(2x²-)

Решение.

Основная функция является тригонометрической y=sin u а промежуточная – - квадратичной.. Применяем формулу 8 для сложной функции, а для нахождения производной квадратичной функции используем правила 3; 5; 2 и формулу 5.

Пример 9. y=log₃

Решение.

Основная функция логарифмическая, а промежуточная дробно-рациональная. Сначала используется формула 3 сложной логарифмической функции, а затем правила 6; 3; 4; 1 и 2.

Пример 10.

Решение.

Последнее действие - сложение, поэтому используем правило 3, первое слагаемое представим в виде степенной функции и применим формулу 5 (для сложной функции), во втором слагаемом применим правило 5 и формулу 6 (для сложной функции):

далее в первом слагаемом преобразуем степенную функцию и находим производную сложной логарифмической функции по формуле 4, во втором слагаемом в числителе используем сложную формулу 9, получим:

для нахождения оставшихся производных используем правила 3; 1; 2 и формулу 1 для сложной функции: