Добавил:

CVetovoDE Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е. Алексеева

Предмет:

Физика

Файл:

Физика учебное пособие НГТУ

.pdf

Скачиваний:

613

Добавлен:

19.12.2016

Размер:

2.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Дано

Решение

=1 нКл/м=1·10-9 Кл/м,

Задача сводится к нахождению проекций Ex

а=50 см=0,5 м

вектора

напряженности

электрического

поля.

Элементарный заряд dq dx , находящийся

на участке АВ стержня, создает в точке наблюде-

ния М электрическое поле напряженностью

dE .

E ?

Компонента dEx

вектора dE :

dEx

dE sin ,

(1)

где

по

закону

Кулона

1 dq

1 dx

dEx

4 0 r2

4 0 r2 .

dEy

dЕ Е

Выразим параметры r и dx

45 0

через угол ,

который изменяется

в пределах от нуля (для точки О)

до

2 (для бесконечно удаленного

от точки О конца стержня). Из тре-

угольника АОМ находим cos a

откуда

(2)

cos

С другой стороны, из треугольника АСВ, где сторона АС перпендикуляр-

на ВС, находим:

АС

АС .

cos

(3)

АВ

АС

Отрезок АС находим из прямоугольного треугольника АСМ: sin d

АС , откуда АС rd .

или, в силу малости угла d , d

Последнее соотношение совместно с (3) дает cos

, откуда

(4)

cos

Подставив соотношения (2) и (4) в (1), получаем

dEx

sin d

(5)

4 0

Величину Ex находим, проинтегрировав соотношение (5):

sin

(6)

4 0

4 0a

Аналогично определяем

Ey		.	(7)
	4 0a

Величину напряженности электрического поля Е находим из выражения:

E	Ex2 Ey2 ,		(8)
откуда
E	2	.	(9)

4 0a

Сравнивая компоненты Ex и Ey полного поля E , приходим к выводу, что

вектор E направлен под углом 450 к горизонту. Подставив численные значения, получаем Е=25,4 В/м.

3. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной тонкой бесконечной плоскости в вакууме. Поверхностная плотность заряда на плоскости ( 0 ).

Дано	Решение
=1,	Из симметрии задачи оче-
0	видно, что линии напряженности
E ?	E перпендикулярны заряженной			ds
E ?	плоскости и направлены от нее в			ds
	обе стороны (при 0 силовые	E	S		E
линии будут направлены к плоскости). Кроме
линии будут направлены к плоскости). Кроме		ds		ds

того, ясно, что в симметричных относительно

этой плоскости точках вектор E одинаков по модулю и противоположен по направлению.

Для расчета напряженности поля воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса.

В качестве произвольной замкнутой поверхности выберем прямой круговой цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости и располагаются симметрично относительно нее. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности, то поток вектора напряженности через боковую

поверхность цилиндра равен нулю, так как Eds E		ds		cos900	0 , а полный

Sбок Sбок

поток N через всю поверхность цилиндра равен сумме потоков через его основания. В пределах каждого из оснований En E const , площади оснований

равны S, тогда N Ends 2ES . Заряд, заключенный внутри построенной ци-

линдрической поверхности, равен S . Согласно теореме Остроградского – Гаусса (8.7), 2ES S / 0 , откуда

E		.	(1)

	2 0

Из формулы (1) следует, что E не зависит от длины цилиндра, т.е. напря-

женность поля на любых расстояниях от плоскости одинакова по модулю,

иными словами, поле равномерно заряженной бесконечной плоскости однород-

но.

4. Рассчитать напряженность E и потенциал электростатического поля

цилиндрического конденсатора как функции расстояния r от оси системы до

точки наблюдения (рис.1). Радиусы внутреннего и внешнего цилиндров равны

a и b, цилиндры заряжены равномерно по поверхности так, что на единицу их

длины приходятся заряды + и – соответственно. Потенциал внешнего цилин-

дра принять равным нулю ( (b) 0 ). Искажениями поля на торцах конденсато-

ра пренебречь.

Решение

Дано

а, b;

Из соображений симметрии (рис.1) следует, что поле ци-

; ;

линдрического конденсатора имеет радиальный характер, т.е.

вектор E в каждой точке перпен-

E r

дикулярен оси

цилиндра, а мо-

–

r ?

–

дуль вектора E

зависит только от

E +

расстояния r от оси цилиндра до

точки наблюдения.

В качестве произвольной замкнутой поверх-

–

ности выберем коаксиальный с обкладками кон-

–

(b ) 0

денсатора прямой круговой цилиндр радиусом r и

высотой l (рис.2).

Если

0 r a , то рассматриваемая замкну-

Рис.1

тая поверхность зарядов внутри не содержит, по-

E 0

этому, согласно теореме Остроградского – Гаусса (8.7), в этой области

независимо от r.

Если r b , то воображаемая замкнутая по-

верхность будет содержать внутри себя две ре-

альные заряженные поверхности, суммарный за-

ряд которых Q l ( )l 0 . Тогда, в соответ-

ствии с (8.7), E(r b) 0 .

Таким образом, за пределами цилиндриче-

ского конденсатора поле отсутствует.

Найдем поле внутри конденсатора (в про-

странстве между его обкладками). Для этого рас-

смотрим замкнутую цилиндрическую поверх-

ность радиусом a r b . Поток вектора E через

Рис. 2

торцы этого цилиндра равен нулю, а через боко-

вую поверхность Er 2 rl , где Er

– проекция век-

тора

на орт er радиального направления, совпадающий по направлению с

внешней нормалью n к боковой поверхности выбранного цилиндра. Заряд, заключенный внутри рассматриваемой поверхности, равен l . По теореме Остроградского – Гаусса (8.7), Er 2 rl l / 0 , откуда

Er (a r b)				.	(1)
Er (a r b)			2 0r	.	(1)
			2 0r
Заметим, что в нашем случае Er	E	E , так как E er .
Заметим, что в нашем случае Er	E	E , так как E er .

Для нахождения зависимости потенциала поля от расстояния r в области между обкладками конденсатора ( a r b ) воспользуемся соотношением (8.16), записанным в цилиндрической системе координат с учетом того, что

вектор E

имеет только радиальную составляющую:

или

откуда

dr r

Erdr .

(2)

Подставив в (2) зависимость Er (r) , определяемую соотношением (1), имеем

(a r b)

ln r C ,

2 0

где произвольная постоянная C находится из граничного условия (r b) 0 :

C		ln b . Тогда
C		ln b . Тогда
	2 0
		(a r b)			ln b	.	(3)
		(a r b)	2 0		ln b	.	(3)
			2 0		r
	Очевидно, что (0 r a) (r a)					b	U , где U – напряже-
						ln
				2 0		ln
				2 0		a

ние на конденсаторе; (r b) (r b) 0 .

5. Положительный заряд q распределен равномерно по поверхности сферы радиусом R. Полагая всюду 1, определить напряженность электростатического поля E как функцию расстояния r от центра сферы до точки наблюдения. Построить примерный график зависимо-

сти E(r) .

Дано	Решение		+	q
q>0, R;	Благодаря равномерному	r	+	+
1
			R
E r ?	распределению заряда по по-
			er O	+	E
	верхности, поле, создаваемое	+
им, обладает сферической симметрией: на-
правление вектора E в любой точке проходит			+	+

	через центр сферы (рис.1), а модуль вектора E	+
	должен зависеть только от расстояния r от	+
	должен зависеть только от расстояния r от
	центра сферы до точки наблюдения. Восполь-

83	Рис.1

зуемся теоремой Остроградского – Гаусса (8.7). В качестве произвольной замкнутой поверхности выберем сферу радиусом r, имеющую общий центр с заряженной сферой (рис.1).

Поток вектора E через рассматриваемую поверхность Ends Er 4 r2 ,

где Er – проекция вектора E на орт радиального направления eSr , совпадающе-

го по направлению с внешней нормалью n к поверхности в каждой ее точке

( E Er er ; E E Er ).

Если 0 r R , то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому, согласно теореме Остроградского – Гаусса, в этой области всюду

E 0 , т.е. внутри равномерно заряженной	E(r)
сферы электрическое поле отсутствует.	E(r)
сферы электрическое поле отсутствует.		2
Если r R , то внутрь поверхности по-	q / 4 0 R
Если r R , то внутрь поверхности по-	q / 4 0 R
падает весь заряд q, создающий исследуемое				1
падает весь заряд q, создающий исследуемое			~ r 2
поле, и, по теореме Остроградского – Гаусса,			~ r 2

Er 4 r2 q / 0 , откуда	q
Er (r R)				.	0		r
						R
	4 0r2					R
	4 0r2
Так как по условию задачи q 0 , то						Рис.2
0,	0 r R;					Рис.2
0,	0 r R;
	q
E(r)	q		, r R.
		2	, r R.
4 0r

График зависимости E от r приведен на рис.2.

6. Положительный заряд q распределен равномерно по объему шара радиусом R. Считая, что система зарядов находится в вакууме, определить зависимость E(r) и построить примерный график этой зависимости.

Дано		Решение			по
q>0, R;		Электростатическое поле	равномерно заряженного		по
1		объему шара, очевидно, также обладает сферической симмет-
E r	?	рией (рис.1): E(r) Er (r)er ,
		где r – расстояние от центра		0
шара до точки наблюдения, er – орт радиаль-				0
ного направления, поэтому и здесь для нахо-			r
ждения поля следует в качестве замкнутой			r	R
ждения поля следует в качестве замкнутой				R
поверхности взять сферу радиусом r, центр					E
которой совпадает с центром шара. Поток			r	O
вектора E		через рассматриваемую поверх-	r
ность будет равен Er 4 r2 .
	Нетрудно сообразить, что для поля вне
шара	(при	r R ) получится выражение

84 Рис.1

E r	q	(1). Найдем E r внутри шара. Сфера радиусом	0 r R охва-
	4 0 r 2

тывает заряд Q dV , где – объемная плотность заряда, Vсф – объем, за-

Vсф

ключенный внутри замкнутой поверхности. Так как заряд распределен по объ-

ему шара равномерно, то q /Vшара q	4	R	3	const , тогда
ему шара равномерно, то q /Vшара q	3	R		const , тогда
	3

Q dV Vсф

Vсф

Поэтому, согласно теореме Остроградского – Гаусса (8.8),

r 3

Er 4 r

E(r)

откуда

q / 4 0R 2

Er (0 r R)

(2)

4 0 R3

~ r

при условии,

что q 0,

т.е. внутри равно-

r 2

мерно заряженного по объему шара на-

пряженность растет линейно с расстоянием

r от его центра.

> 0

Таким образом,

r, 0 r R;

4 0 R

Рис.2

E(r)

2 ,

r R.

4 0 r

График зависимости E от r приведен на рис.2.

7. Пренебрегая краевыми эффектами, определить величину электрической емкости цилиндрического конденсатора длиной L с радиусами внутренней и внешней обкладок a и b, если пространство между обкладками заполнено однородным диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью .

Дано		Решение

	Согласно определению, электроемкостью (сокращенно ем-
а, b;
	костью) конденсатора называется величина
L;
		q

	C 1 2 ,		(1)
C ?
	где q – заряд конденсатора; 1 2		– разность потенциалов ме-

жду его обкладками (эту разность также называют напряжением на конденсаторе U).

Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора при наличии диэлектрика между ними вычислим по формуле (3) задачи 4:

1 2	(r a) (r b)		b	q	b
			ln		ln	.	(2)
		2 0		2 0 L
			a		a

В (2) учли, что Lq .

Подставив (2) в (1), получим выражение для емкости цилиндрического конденсатора:

C2 0 L . ln b / a

8.Конденсатор емкостью C1 = 1 мкФ, предварительно заряженный до напряжения U0 = 300 В, подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкостью C2 = 2 мкФ. Найти к моменту установления равновесия:

1)напряжение на конденсаторах;

2)заряды на конденсаторах;

3)количество тепла, выделившееся на соединительных проводах.

Дано								Решение
C1 = 1 мкФ=1·10–6 Ф;			Найдем заряд на первом конденсаторе до соедине-
	–6	Ф;	ния его со вторым:
C2 = 2 мкФ=2 10		Ф;	q0 = C1U0, q0 = 300 10–6 = 300 мкКл.
U0 = 300 В			q0 = C1U0, q0 = 300 10–6 = 300 мкКл.
q1 = ?			После соединения конденсаторов заряд с первого
q2 =?			будет переходить на второй конденсатор до тех пор, по-
U1 = ?			ка напряжения на них не будут равны:
U2 = ?			U1 = U2 = U.
Q = ?			Воспользуемся законом сохранения заряда:
				q0 = q1 + q2,
			q0 = C1U + C2U.
Найдем установившееся напряжение:
				U	q0			,
				U	C C		2	,
			1				2
			U	300 10 6		100 В.
			U	10 6 1 2		100 В.

Заряды на конденсаторах к моменту установления равновесия

q1 = C1U = 100 мкКл, q2 = C2U = 200 мкКл.

Количество тепла, выделившееся на проводах, равно разности энергий конденсаторов:

Q = W0 – (W1 + W2),

где

j dSdI .

W		C U 2	45 мДж,
	1 0
0	2

	C U 2
W	1		5 мДж,

1	2

		C U 2
W	2		10 мДж.

2	2

Q = 30 мДж.

9. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

9.1. Электрический ток. Сила и плотность тока

Электрическим током называется любое упорядоченное движение электрических зарядов. За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов.

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I – скалярная физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение однородного проводника в единицу времени:

I dq .		(9.1)
dt
Ток, сила и направление которого не изменяются со временем, называ-
ется постоянным. Для постоянного тока
I q	.	(9.2)
t

Единица силы тока – ампер (А).

Физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока, называется плотностью тока:

(9.3)

Единица плотности тока – ампер на метр в квадрате (А/м2).

Сила тока через произвольную поверхность S определяется как поток вектора j , т.е.

	I jdS ,	(9.4)
	S
где	j – плотность тока – вектор, ориентированный по направлению тока;
dS	dSn ; n – единичный вектор нормали к площадке dS .

9.2. Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение

Для того чтобы постоянный ток протекал по проводнику, необходимо на его концах поддерживать разность потенциалов. Это осуществляется источником тока. Силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источника тока, называются сторонними. Под действием создаваемого поля сторонних сил электрические заряды движутся внутри источника тока против сил электростатического поля, благодаря чему на концах цепи поддерживается разность потенциалов и в цепи течет постоянный ток.

Сторонние силы могут быть обусловлены химическими процессами, электрическими (но не электростатическими) полями, порождаемыми меняющимися во времени магнитными полями, и т.д.

Электродвижущей силой (ЭДС) источника тока называют величину , равную отношению работы Aст , совершаемой сторонними силами при переме-

щении заряда q по всей цепи, к заряду:

Aст	q	.	(9.5)
	q

Сторонняя сила, действующая на единичный положительный заряд, определяет напряженность поля сторонних сил:

				F		.	(9.6)
Ε	ст			ст	q	.	(9.6)
	ст				q
Величина ЭДС, действующей на участке цепи 1-2, определяется как
12			2				(9.7)
12		Εстdl .					(9.7)
			1

Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется однородным. Участок, на котором на носители тока действуют сторонние силы,

называется неоднородным.

Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 цепи в точку 2, называется напряжением на данном участке цепи:

U12 1 2 12 .	(9.8)
Для однородного участка цепи
U12 1 2 ,	(9.9)

т.е. для однородного проводника напряжение совпадает с разностью потенциалов 1 2 на его концах.

9.3. Закон Ома. Сопротивление проводников

Сила тока I , текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна напряжению U на концах проводника:

I U	R	,	(9.10)
	R

где R – электрическое сопротивление проводника. Уравнение (9.10) выражает закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС.

Единица сопротивления – Ом.

Для однородного цилиндрического проводника сопротивление R прямо пропорционально его длине l и обратно пропорционально площади его поперечного сечения S:

R l	S	,	(9.11)
	S

где – коэффициент пропорциональности, характеризующий электрическую

проводимость материала проводника. Он называется удельным электрическим сопротивлением. Единица удельного сопротивления – ом-метр (Ом·м).

При последовательном соединении резисторов их сопротивления складываются:

N
Rобщ Ri .	(9.12)

i 1

При параллельном соединении резисторов складываются величины, обратные их сопротивлениям:

1	N	1
			.	(9.13)
R		R	.	(9.13)
R	i 1	R
общ		i

9.4. Работа и мощность тока. Закон Джоуля – Ленца

Через каждое сечение участка цепи постоянного тока, к концам которого приложено напряжение U , за время t проходит заряд q It . Это равносильно

тому, что заряд It переносится за время t из одного конца проводника в другой. При этом силы электростатического поля и сторонние силы, действующие на данном участке цепи, совершают работу

A qU IUt .

(9.14)

Мощность, развиваемая указанными силами, определяется как

P At .

Тогда

P IU I 2 R U 2 R .

(9.15)

Если проводник неподвижен и в нем не совершаются химические превращения, то работа тока затрачивается на увеличение внутренней энергии проводника. В этом случае в проводнике выделяется тепло

Q A IUt ,

или

Q RI 2t .

(9.16)

Это соотношение называется законом Джоуля – Ленца. Закон Джоуля -

Ленца был установлен авторами экспериментально.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика

#
19.12.20162.33 Mб712методические рекомендации Лабароторная работа 2-24 Экспериментальные исследования электростатических полей с помощью электролитической ванны.doc
#
19.12.20162.26 Mб613Физика учебное пособие НГТУ.pdf
#
19.12.2016210.94 Кб35Формулы.doc