Ответы на алгем_шпоры

13

Число лямбда называется собственным значением оператора А^ если существует не нулевой вектор «Х» где A^*вектор «X» = лямбда*вектор «X»

При этом вектор «Х» называется собственным вектором оператора А^.

Теорема: для того чтобы число лямбда было собственным значением оператора А^ необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения det(A^-Лямбда *J^)=0 оператора A^ [характеристическим уравнением |A-лямбда*E|=0 матрицы «А», оператора «А^»]

«Без доказательства»

Число лябда( i ) получаемое при решения уравнения: |A-лямбда*E|=0 называется спектром оператора « А^» (i=1,2,…..,n).

Собственные векторы оператора обладают следующими свойствами:

1)Каждому собственному вектору соответствует собственное значение.

Доказательство:

Пойдём от противного:

Пусть вектор «Х» собственный вектор оператора А^, пусть лямбда( 1 ) и лямбда( 2 ) собственные значения оператора А^

Тогда: {А^*вектор X = лямбда( 1 )* вектор X

{A^*вектор X = лямбда( 2 )*вектор X

Вычтем одно уравнение из другого:

лямбда( 1 ) - лямбда( 2 )  лямбда( 1 ) = лямбда( 2 )

конец доказательства.

2)Если вектор Х1 и вектор Х2 собственные векторы оператора А^, с одним и тем же значением оператора лямбда( 1 ) и лямбда( 2 ) то сумма: вектор Х1 + вектор Х2 является собственным вектором оператора A^

Тогда: {А^*вектор X1 = лямбда* вектор X1

{A^*вектор X2 = лямбда*вектор X2

Складываем левые и правые части, тогда:

А^*вектор X1 + A^*вектор X2 = лямбда* вектор X1 + лямбда*вектор X2

3)Если вектор «Х» есть собственный вектор оператора А^ с собственным значением лямбда, то любой другой коллинеарный вектору «Х» вектор также будет являться собственным вектором оператора А^ с собственным значением лямбда.

А^(альфа*вектор Х) = альфа(А^*вектор Х) = альфа( лямбда*вектор Х) = лямбда(альфа*вектор Х)

14.

Пусть на плоскости заданна декартова система координат «N».

Рассмотрим уравнение связывающее две величины:

«Х» и «Y»

Ф(Х;Y) = 0

Уравнение Ф(Х;Y) = 0 называется уравнением линии «N» если этому уравнению удовлетворяют координаты «Х» и «Y» лежащие на линии «L» и не удовлетворяют

Координаты любой точки не лежащей на линии «L» .

Таким образом линия «L» представляет собой местоположение точек , координаты которых удовлетворяют уравнению: Ф(Х;Y) = 0

Для аналитического представления линии «L» часто бывают удобными переменные «Х» и «Y» выражать которые можно через третью переменную «t»

{X = гамма(t)

{Y = бэтта(t)

Где функции X = гамма(t) и Y = бэтта(t) педпологаются по параметру «t».

Представление «L» в виде: {X = гамма(t) Называется параметрическим.

{Y = бэтта(t)

Уравнение {X = гамма(t) устанавливает и функциональную зависимость точек этой линии

{Y = бэтта(t)

Т.е. представляет собой график этой линии.

Важную роль в аналитической геометрии играет задача о нахождении точек пересечения двух линий «L1» и «L2» представленных в уравнениях:

{Ф1 (Х1; Y1) = 0

{Ф2 (Х2; Y2) = 0

Т.К. искомые точки должны находиться на линии «L1», то координаты точек должны удовлетворять каждому из вышеперечисленных уравнений.

Для нахождения точек пересечения «L1» и «L2» необходимо решить систему:

{Ф1 (Х1; Y1) = 0

{Ф2 (Х2; Y2) = 0

181) Прямую в пространстве можно задать, как линию пересечения двух плоскостей:

{ A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

{A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Где: A₁ / A₂ не равно B₁ / B₂ не равно C₁ / C₂

Т. е. плоскости не параллельны. Однако, при решении целого ряда задач более удобным оказываются специальные уравнения плоскости.

2) Будем называть любой не нулевой вектор «а» ={ q ; m ; p} , параллельный линии «L», направляющим вектором, этой прямой.

Рис.2

Пусть дана какая – либо прямая «L» с точкой «М₀», возьмём на этой прямой ещё одну точку М (X ; Y ; Z) , построим вектор М₀М = {Х - X₀ ; Y - Y₀ ; Z - Z₀} равный вектору «а».

Т. к. вектор «М₀М» параллелен вектору «а», то условие параллельности равно:

(Х - X₀ ) / q = (Y - Y₀ ) / m = ( Z - Z₀ ) / p

Выше представленное уравнение называется каноническим уравнением прямой.

В канонических уравнениях прямых, одно или два из чисел может быть равно нулю, но все три числа сразу не могут быть равны нулю, т. к. вектор «а» не нулевой.

Если:

М₁ (X₁ ; Y₁ ; Z₁)

М₂ (X₂ ; Y₂ ; Z₂)

Тогда: (Х – X₁) / (X₂ – X₁ ) = (Y – Y₁ ) / (Y₂ – Y₁ ) = ( Z – Z₁ ) / (Z₂ – Z₁)

Выше представленное уравнение получено из уравнения:

(Х - X₀ ) / q = (Y - Y₀ ) / m = ( Z - Z₀ ) / p

Где вектор «М₁ М₂» = вектору «а» { X₂ – X₁ ; Y₂ – Y₁ ; Z₂ – Z₁}

Перепишем каноническое уравнение прямой в виде:

(Х - X₀ ) / q = (Y - Y₀ ) / m = ( Z - Z₀ ) / p = t

Где параметр «t» с областью определения от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Из выражения: (Х - X₀ ) / q = (Y - Y₀ ) / m = ( Z - Z₀ ) / p = t; получим параметрические уравнения прямой проходящие через точку М₀ (X₀ ; Y₀ ; Z₀) в направлении вектора «а» ={ q ; m ; p}

X = X₀ + qt}

Y = Y₀ + mt}

Z = Z₀ + pt}

Выше представленная система уравнению называется параметрическим уравнением прямой.

20Квадратичной формой переменной Х₁; X₂; X₃; ……; Xn называется однородный многочлен относительно этих переменных «L» (Х₁; X₂; X₃; ……; Xn) = сумма Aij ; Xi ; Xj

Где: Aij = Aji

Aij – это симметричная матрица

Т. К. выражение: «L» (Х₁; X₂; X₃; ……; Xn) = сумма Aij ; Xi ; Xj при n = 2 равняется:

L(X; Y) = Ax₂ + 2Bxy + Cy²

A = a11; B = a12 = a21; C = a22

Рассмотрим матричное обобщение формулы: «L» (Х₁; X₂; X₃; ……; Xn) = сумма Aij ; Xi ; Xj

Рис.5

В общем случае, если вывести матрицу квадратичной формы:

( а11 а12 ……a1n)

А = ( a21 a22 …...a2n)

(……………….………)

(an1 an2 ….…ann)

Тогда выражение «L» (Х₁; X₂; X₃; ……; Xn) = сумма Aij ; Xi ; Xj можно записать в виде:

«L» (Х₁; X₂; X₃; ……; Xn) = X^T * A * X

(х1)

Где Х = (х2)

(….)

(хn)

Матрица «А» называется матрицей квадратичной формы и является симметричной. Ранг матрицы «А» называется рангом квадратичной формы. Если ранг квадратичной матрицы равен пространству «L», то матрица называется не вырожденной, в противоположном случае, матрица называется вырожденной.

21Пусть на плоскости прямоугольной системы координат (X; O; Y) заданна кривая определённая неявно уравнением второго порядка (второй степени) квадратной формы.

L(X; Y) = Ax₂ + 2Bxy + Cy² + 2Ex + 2Dy + F = 0

Где ( A ; B ; C ; D ; E ; F ) действительные числа не равные нулю.

Если предположить:

A = a11; B = a12 = a21; C = a22; D = a32 = a23; E = a31 = a13; F =a33

Тогда выражение: L(X; Y) = Ax₂ + 2Bxy + Cy² + 2Ex + 2Dy + F = 0 примет вид:

L(X; Y) = а11x₂ + 2а12xy + а22y² + 2а13x + 2а23y + а33 = 0 линия заданная этим выражением, называется кривой второго порядка, а группу слагаемых:

( а11x₂ + 2а12xy + а22y² + 2а13x + 2а23y + а33) называют группой старших членов.

При анализе уравнения: L(X; Y) = а11x₂ + 2а12xy + а22y² + 2а13x + 2а23y + а33 = 0

важную роль играют его инварианты, т.е. функции остающиеся при переходе от одной декартовой системы координат к другой.

Инвариантами данного уравнения являются:

J1 = a11 + a22;

J2 = | a11 a12 |

| a12 a22 |

| a11 a12 a13 |

J3 = | a12 a22 a23 |

| a13 a23 a33 |

Возможны следующие частные случаи этого уравнения :

1. J2 = a11 a22 – a²12 > 0

2. J2 < 0

3. J2 = 0

22Наиболее часто встречаемые на практике линии второго порядка – это гипербола и парабола, они представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями не проходящими через его вершину.

Рис.6

Эллипс – это геометрическое место точек плоскости для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости называющиеся фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид : x²/a + y²/b = 1

Где a > = b > 0; b² = a² – c²

Рис.7

Где r1 и r2 – это расстояния между фокусами и точкой M( X ; Y )

MF1 = [ (Х + С)² + У² ]^0.5 = r1

MF2 = [ (Х + С)² + У² ]^0.5 = r2

Доказательство:

r1 + r2 =2а

[ (Х + С)² + У² ]^0.5 + [ ( С – Х )² + У² ]^0.5 = 2а

[ (Х + С)² + У² ]^0.5 + ( 2а [ ( С – Х )² + У² ]^0.5 )²

Х² + 2СХ + С² + Y² = 4а² + 4а [ ( С – Х )² + У² ]^0.5 + С² - 2СХ + Х² + Y²

( СХ -4а²)² = - ( а [ ( С – Х )² + У² ]^0.5 )²

Х² ( С² – а² ) + У^{2 =} а ( С ² – а² )

Пусть:( С ² – а² ) будут b1 и b2 соответственно, тогда получим:

Х² b² + а² У² = а² b²

Поделим данное выражение на ( а² b² ) и получим выражение :

x²/a² + y²/b² = 1

Где a > = b > 0; b² - a² – c² = 0

Конец доказательства.

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии. Эллипс получают путём равномерного сжатия окружности.

15Пусть дана декартова система координат и некоторая поверхность «S» описываема уравнением: Ф (X; Y; Z) = 0

Это уравнение называется уравнением поверхности «S», если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки лежащей на этой поверхности и не удовлетворяют координаты любой точки не лежащей на этой поверхности, то такая поверхность определяется уравнением Ф (X; Y; Z) = 0.

Уравнение сферы:

( Х – а)² + (Y - в)² + (Z – с)² = R²

Ax + By + Cz + D = 0 -- уравнение поверхности

Линию в пространстве рассматривают как пересечение двух плоскостей, т. Е. как геометрическое место точек находящихся на двух плоскостях.

Пусть даны два уравнения:

{Ф1 (Х; Y; Z) = 0

{Ф2 (Х; Y; Z) = 0

Поверхности пересечением которых является линия «L»

Уравнения :

{Ф1 (Х; Y; Z) = 0

{Ф2 (Х; Y; Z) = 0

совместно определяет линию «R» т. е. являются уравнениями линии.

Поверхность: { X² + Y² + Z² = 4

{Z = 0

Два уравнения представляют собой окружности: X² + Y² = 4

Уравнение: F (x; y) = 0, связывающее две переменные: «Х» и «Y» и не содержащее переменную «Z» определяет цилиндрическую поверхность с образующей параллельной оси «О Z».

Параметрически уравнение лини в пространстве задаётся тремя функциями параметра «t»:

{X = гамма (t)

{Y = бэтта( t)

{Z = пси (t)

При параметрическом задании поверхности, координаты любой точки в пространстве задаются как функции не одного, а двух параметров:

{X = гамма (p; q)

{Y = бэтта( p; q)

{Z = пси ( p; q)

Для отыскания точек пересечения поверхностей или линии, или и линий и поверхностей следует совместно рассматривать уравнения определяющие эти геометрические объекты решение всех этих уравнений совместно определит точки пересечения, если данная система уравнений не имеет решений, то эти геометрические объекты не пересекаются.

Если одна линия определяется системой:

{Ф1 (Х; Y; Z) = 0

{Ф2 (Х; Y; Z) = 0

{Ф3 (Х; Y; Z) = 0

{Ф4 (Х; Y; Z) = 0

То для нахождения точек пересечения нужно решить данную систему.

17Найдём точку пересечения плоскости Ax + By + Cz + D = 0 с координатными осями, перепишем выше представленное уравнение плоскости в виде: Ax + By + Cz = - D

Откуда: x/a + y/b + z/c = 1

Где «а» = - A/D; b = - B/D; C = - C/D

Рис. 1

Выражение: x/a + y/b + z/c = 1 называется выражением плоскости в отрезках .

Очевидно, что угол между плоскостями сводится к определению угла между их нормальными векторами, где две плоскости заданны уравнениями:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

{ вектор «n1» = {A1; B1 ; C1}

{ вектор «n2» = {A2 ; B2 ; C2}

Где вектора «n1» и «n2» - это вектора задающие две плоскости.

Угол между плоскостями определяется из скалярного произведения векторов «n1» и «n2»:

(вектор «n1» * вектор «n2») = | вектор «n1» | * | вектор «n2» | * COS (альфа)

Откуда:

COS (альфа) = (вектор «n1» * вектор «n2») / ( | вектор «n1» | * | вектор «n2» | )

Эта формула позволяет получить условие перпендикулярности плоскостей:

COS (альфа) = 0;  (вектор «n1» * вектор «n2») = 0;  A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

А если: вектор «n1» параллелен вектору «n2» тогда справедливо следующее:

A₁ / A₂ = B₁ / B₂ = C₁ / C₂

Совокупность всех плоскостей проходящих через одну и туже прямую «L» называется пучком плоскостей.

Если это:

A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Два уравнения двух плоскостей различных и не параллельных, линией пересечения которых является прямая «L» , а линии «d» и « b» - два любых не равных нулю числа, то уравнение любой плоскости проходящей через прямую линию «L», т . е . уравнение пучка плоскостей имеет вид:

Альфа * (A₁x + B₁y + C₁z + D₁) + бэтта * (A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0

Совокупность плоскостей проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей и описывается уравнением:

A( Х - X₀ ) + B( Y - Y₀ ) + C( Z - Z₀ ) = 0 ; где точкой через которую проходят плоскости, является точка М₀ (X₀ ; Y₀ ; Z₀); и где А; B; C; - какие угодно числа, не равные одновременно нулю.

19. Уравнение прямой на плоскости.

Уравнения прямой на плоскости могут быть получены как частный случай уравнения прямой в пространстве:

Каноническое уравнение прямой: (Х - X₀ ) / q = (Y - Y₀ ) / m

Параметрическое уравнение прямой:

{X = X₀ + qt

{Y = Y₀ + mt

Преобразуем каноническое уравнение прямой: Y - Y₀ = m / q (Х - X₀)

Y = m / q * Х + Y₀ - m / q * X₀

m / q = k; Y₀ - m / q * X₀ = b

тогда получим: Y = kX + b

Данное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом .

Запишем уравнение: Y = m / q * Х + Y₀ - m / q * X₀ в виде:

qY – mX - q Y₀ + m X₀ = 0

обозначим: q = A; - m = B; - q * Y₀ + m X₀ = C

тогда получим: Ax + By + C = 0 данное уравнение называется общим уравнением прямой.

Рис.3

Пусть на прямой «L» заданны точки (A ; N), тогда: (Y – Y₀ ) / (X – X₀) = tg альфа = k

Y – Y₀ = k*(X – X₀) это выражение называется уравнением прямой проходящей через точку A( X₀ ; Y₀ )

Пусть на прямой заданны две точки: A( X₀ ; Y₀ ) и В( X₁ ; Y₁ ), тогда получим:

k = tg альфа = (Y – Y₀ ) / (X – X₀)

Подставим данное обозначение коэффициента «k» в уравнение: Y – Y₀ = k*(X – X₀)

И получим уравнение прямой проходящей через точку:

(Х – X₁) / (X₁ – X₀ ) = (Y – Y₁ ) / (Y₁ – Y₀ ) = ( Z – Z₁ ) / (Z₁ – Z₀)

Рис.4

Рассмотрим произвольную прямую «L», опустим на неё перпендикуляр из начала координат (вектор «OM» = вектору «p»)

Проекция вектора «ОN» на вектор «ОМ» будет равна:

Проекция вектора «ОМ» = вектор «ОN» * cos(гамма) = вектор «ОN» * cos(альфа – бэтта) =

= вектор «ОN» * [ cos(бэтта) * cos(альфа) + sin(бэтта) * sin(альфа) ] =

= Х * cos(альфа) – Y * sin(альфа) = р

Из этого получим: Х * cos(альфа) – Y * sin(альфа) – р = 0

Выше приведённое выражение называется нормальным (нормированным) уравнением прямой.

26 1) Параболоиды:

а ) Эллиптический параболоид

Z = x²/a² + y²/ b² (а; b > 0)

при пересечении с плоскостями XOZ и YOZ – получим параболы.

При «а = b» получим параболоид вращения.

б) Гиперболический параболоид:

Z = x²/a² - y²/ b² (а; b > 0)

При пересечении с плоскостями Z = H получим гиперболы, при пересечении с плоскостями XOZ и YOZ – получим параболы.

2) Цилиндры второго порядка:

а) Эллиптический цилиндр:

x²/a² + y²/ b² = 1

при сечении плоскостями Z = H получим эллипс.

б) Гиперболический цилиндр:

x²/a² - y²/ b² = 1

(а; b > 0)

При пересечении с плоскостями Z = H получим гиперболу.

в) Параболический цилиндр:

Y² = 2PX

При пересечении с плоскостями Z = H получим параболу.

1. Параллельные и пересекающиеся плоскости:

аХ² – bY² = 0; (а; b > 0)

Х² – a² = 0; (a > 0)

Z² = 0;

Х² + Y² = 0;

23Гиперболой называют геометрическое место точек плоскости для которых абсолютная величина разности расстояний для двух фиксированных точек F1 и F2 называющимися фокусами, есть величина постоянная и равная «2а»

Уравнение гиперболы имеет вид :

x²/a - y²/b = 1

Где a > b > 0; b² = с² – а²

рис.8

b – мнимое число гиперболы.

r1 - r2 = 2а

r1= [ (Х + С)² + У² ]^0.5

r2 = [ (Х - С)² + У² ]^0.5

в итоге вычислений получим: Х² b² - а² У^{2 =} а² b²

Величины « а и b » называются действительными и мнимыми полуосями гиперболы.

Точка пересечения гиперболы с осью « ОХ » называется вершинами гиперболы с осью « ОХ» , центром гиперболы является начало координат.

Асимптоты гиперболы описываются уравнениями: Y = + ( - ) b / a

Наряду с рассмотренной нами гиперболой имеется и сопряжённая гипербола с уравнением: x²/ a ² - y²/ b² = - 1

Параболой называется геометрическое место точек для которых расстояние до некоторой фиксированной точки «М» равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой в плоскости.

Фиксированная прямая называется Директрисой. Каноническое уравнение параболы имеет вид: Y² = 2PX

Парабола имеет ось симметрии, точка пересечения параболы с осью « О Х » называется вершиной параболы. Парабола не имеет асимптот.

3 ОПР1 базисом в пространсве L называется любая опорядоченная конечная система векторов E ,E ,....,E если она линейно не зависема и любой другой вектор из прострвнства есть линейная коибинация векторов этой системы т.е справедливо равенство X=X E +X E +.......+X E где X , X …..X вещественные числа

1 1 2 2 N N 1 2 N

ТЕОРЕМА

любой вектор Х принодлежит L единственным образом разложить по базису пр-ва т.е тоесть координаты любого вектора Х относительно базиса { E , E... E }

1 2 N

ДОК2

ТЕОРЕМА

При сложении 2х векторов пр-ва L их координаты (независемо от базиса ) складываются ; при умножениивектора на число и все координаты умножаются на это число

док3

следствие: 2ва вектора равны между собой только в случае если равны их соответсвующие координаты

ОПР: линейное пространство L назавается n мерным если в нем существует n линейно не зависемых векторов а любые (n+1) векторов уже являются линейно зависимыми при этом число n называется размерностью пространства

ТЕОРЕМА

Если L есть линейное пространство размерности n то любое n линейно независемых векторов образуют базис этого пространства Док4

1 ОПР1-линейное пространство это операции сложения элементов и умножения элемента на число. При этом эти операции обладают теми же свойствамичто и сооответствующие операции над геометрическими векторами.

ОПР2-множество элементов X,Y.....Z называется линейным пространством если выполняются следующие требования

1)имеется правило по средствам которого любым альфа элементамX Y L ставятся в соответствие третий элемент Z этого же множества называемый суммой элементов Х и Y обозночаемый символом Z=X+Y _2) Имеется правило по средствам которого любому элементу Х множества L и любому вещесвенному числу Х ставится в соответствие U тогоже множества называемый произведением элемента Х на вещественное число лямда фор1

3) эти два правила должны удовлетворять следующтм восьми аксиомам

а)переместительное свойство суммы фор2

б)сочетательное свойство суммы фор3

в)суесвует нулевой элемент такой что фор4

г)особая роль числового множителя фор5

д)для каждого элемента сущесвует противоположный ему ( )фор6

е)сочетательное свойство относительно числового множителя ( )фор7

ж) распредилительное свойство относительно числового множителя ( )фор8

з)распредилительное свойсво относительно суммы элементов ( )фор9

ПРИМЕРЫ КОНКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

1)множество всех свободных векторов в трех мерном пространстве

2)множество всех положительных вещественных чисел

3)множесво всех функций F(X) одной переменной определенных на отрезке [a;b] .замечание: элементы произвольного линейного пространсва принято называть векторами

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

1) для любого Х из пространства L Х принодлежит L сущесвует векьлр равный произведению безизвестного

2) сумма векторов X (-Y ) называется разностью векторов Х-Y

25

1) Эллипсоид:

Уравнение эллипсоида:

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1

(Y; X; Z) – полуоси эллипсоида.

Если какие либо оси равны между собой, то этот эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Линия пересечения плоскостями эллипсоида, есть эллипс.

1. Гиперболоиды:

а) одноплоскостной гиперболоид:

каноническое уравнение:

(x² + y² + z²) / (a² + b² + c²) = 1

б) двуполостной гиперболоид:

каноническое уравнение:

x²/a² + y²/ b² - z²/c² = - 1

2. Конус второго порядка:

Каноническое уравнение:

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 0

24. Поверхности второго порядка.

Поверхность «S» второго порядка называют геометрическое место точек декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

a11 X² + a22Y² + a33Z² + 2a12XY + 2a23 YZ + 2a13XZ + 2a14X + 2a24Y + 2a34Z + a44 =0

где хотя бы один из коэффициентов : а11; a22; a33; a12; a23; a13; не равен нулю

Выше приведённое уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка, первые шесть слагаемых представленного выше уравнению называются группой старших членов, а остальные группой линейных членов.

Инвариантность этого уравнения поверхности второго порядка относительно преобразованной декартовой системы координат записываются в виде:

J1 = a11 + a22 + a33;

J2 = | a11 a12 | + | a22 a23 | + | a11 a13|

| a12 a22 | | a23 a33 | |a13 a33 |

| a11 a12 a13 |

J3 = | a12 a22 a23 |

| a13 a23 a33 |

| a11 a12 a13 a14 |

J4 = | a12 a22 a23 a24 |

| a13 a23 a33 a34 |

| a14 a24 a34 a44 |

Поверхности второго порядка для которых «J3» не равно нулю называются центральными.

Уравнение : a11 X² + a22Y² + a33Z² + 2a12XY + 2a23 YZ + 2a13XZ + 2a14X + 2a24Y + 2a34Z + a44 =0

Для центральных поверхностей после упрощения имеет вид:

a11 X² + a22Y² + a33Z² + a44 =0

т. к. J3 = а11 а22 а33

то возможны следующие случаи:

( а11, а22, а33 - не равны нулю)

Для уравнения: a11 X² + a22Y² + a33Z² + a44 =0 :

1. а11, а22, а33 - одного знака, a44 - не ноль, тогда если а11, а22, а33 , a44 - одного знака то получим поверхность «S» - называемую мнимым эллипсоидом, но если а11, а22, а33 имеют противоположный знак по отношению к «а44» то поверхность называется вещественным эллипсоидом. Который описывается уравнением :

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1

2. Если из четырёх коэффициентов а11, а22, а33 , a44 - два одного знака, а два других противоположного знака, тогда поверхность называется однополостным гиперболоидом и описывается уравнением: x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1

3. Знак одного из коэффициентов а11, а22, а33 – противоположен знаку остальных коэффициентов, тогда получим поверхность называемую: Двуполостным гиперболоидом и описывается уравнением : x²/a² + y²/b² - z²/c² = - 1

4. Если коэффициент «а44» = 0 тогда если все остальные коэффициенты одного знака, тогда получим линейный конус второго порядка.

5. Если коэффициенты разных знаком, то поверхность «S» описывается уравнением:

x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0

161) В декартовой системе координат каждая плоскость определяется уравнением первой степени.

2) Каждое уравнение первой степени в декартовой системе координат определяет плоскость.

Доказательство:

3. Пусть дана некоторая плоскость с точкой М₀ (X₀ ; Y₀ ; Z₀) , вектор «n» = {A ; B ; C} нормальный к это плоскости.

Возьмём ещё одну точку М (X ; Y ; Z)

Мы имеем ещё два вектора:

{ вектор М₀М = {Х - X₀ ; Y - Y₀ ; Z - Z₀}

{ вектор «n» = {A ; B ; C}

Т.к. вектор «n» лежит на одной плоскости ==> вектор М₀М и вектор «n» перпендикулярны, т.е. : вектор М₀М * вектор «n» = 0

A( Х - X₀ ) + B( Y - Y₀ ) + C( Z - Z₀ ) = 0

Выше приведённое уравнение называется уравнением плоскости проходящей через точку М₀ (X₀ ; Y₀ ; Z₀)

Уравнение: A( Х - X₀ ) + B( Y - Y₀ ) + C( Z - Z₀ ) = 0 можно записать в виде:

Ax + By + Cz + D = 0

Где: D = - Ax ₀ - By₀ - Cz₀

Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 называется общим уравнением плоскости.

Доказательство законченно.

Доказательство:

4. Пусть данное уравнение первой степени:

Ax + By + Cz + D = 0

Пусть дана точка М₀ (X₀ ; Y₀ ; Z₀) расположенная в этой плоскости, тогда данное уравнение для точки М₀ (X₀ ; Y₀ ; Z₀) можно записать в виде:

Ax ₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0

При вычитании одного уравнения из другого получим:

A( Х - X₀ ) + B( Y - Y₀ ) + C( Z - Z₀ ) = 0

Полученное уравнение представляет собой уравнение плоскости проходящей через точку М₀ (X₀ ; Y₀ ; Z₀).

Доказательство законченно.

Пример:

М (1 , 1 , 1)

вектор «n» = {1 ; 2 ; 3}

в соответствие с уравнением: A( Х - X₀ ) + B( Y - Y₀ ) + C( Z - Z₀ ) = 0 получим:

1(Х – 1)+ 2(Y – 1) +3(Z – 1) = 0

Х +2Y + 3Z - 7 = 0

Общее уравнение: Ax + By + Cz + D = 0 называется полным, если все его коэффициенты не равны нулю.

Если хотя бы один из коэффициентов равен нулю, то выше представленное уравнение называется неполным.

Рассмотрим виды неполных уравнений:

1. D = 0; Ax + By + Cz = 0

Уравнение плоскости проходящей через начало координат .

2. A = 0; вектор «n» = {0 ; B ; C} ; By + Cz + D = 0

Уравнение плоскости параллельной оси «ОХ».

3. B = 0; «n» = {A ; 0 ; C} ; Ax + Cz + D = 0

Уравнение плоскости параллельной оси «ОУ».

4. С = 0; «n» = {A ; B ; 0} ; Ax + By + D = 0

Уравнение плоскости параллельной оси « ОZ ».

5. A = 0; B = 0; «n» = {0 ; 0 ; C} ; Cz + D = 0

Уравнение плоскости параллельной плоскости «ОХУ»

6. A = 0; С = 0; «n» = {0 ; В ; 0} ; By + D = 0

Уравнение плоскости параллельной плоскости «ОХZ»

7. В = 0; С = 0; «n» = {А ; 0 ; 0} ; Ах + D = 0

Уравнение плоскости параллельной плоскости «ОYZ»

8. A = 0; B = 0; D = 0; «n» = {0 ; 0 ; C} ; Cz = 0

Уравнение плоскости «ОХУ»

9. A = 0; С = 0; D = 0; «n» = {0 ; В ; 0} ; By = 0

Уравнение плоскости «ОХZ»

10. В = 0; С = 0; D = 0; «n» = {А ; 0 ; 0} ; Ах = 0

Уравнение плоскости «ОYZ»

2 ОПР1 линейной комбинацией векторов X,Y......Z пространства L называют сумму произведений этих векторов на произведение вещественных чисел фор10

где альфа и бэтта какие угодно вещественные числа.

ОПР2 векторы x,y.....z называются линейно зависемыми найдутся такие вещественные числа альфа,бэтта,.....,бэтта из которых хотябы одно не= 0

ОПР3 векторы X,Y,....,Z называются линейно не зависемыми если линейная комбинация фор10

равна нулевому вектору только в том случае . Если альфа=бэтта.......=гамма=0

ТЕОРЕМА _ _ _

для того чтобы вектор X,Y,Z пространства L были линейно зависимыми необходимо и достаточно что бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных векторов

ДОК.

док1

следствия

1. если среди векторов X,Y,......Z имеется нулевой вектор то все эти вектора линейно не зависемы

2. если среди векторов X,Y,.....Z часть векторов является линейно зависемым то все эти вектора являются линейно зависемыми

5 Док 1 →

Вывод: если переход от старого базиса к новыму осущ. с помощью невырожднной матрицы А на переход от старых координат вектора к новым осуществ. С помощью (А^(-1))^T (Транспанировангой обратной) относительно старого базиса