Решение

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи:

= 300 + 300 + 200 = 800 .

= 250 + 400 + 150 = 800.

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	Запасы
1	4	2	5	300
2	1	5	3	300
3	5	3	6	200
Потребности	250	400	150

Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.

План начинается заполняться с верхнего левого угла.

Искомый элемент равен 4. Для этого элемента запасы равны 300, потребности 250. Поскольку минимальным является 250, то вычитаем его: .

4	2	5	300 - 250 = 50
x	5	3	300
x	3	6	200
250 - 250 = 0	400	150

Искомый элемент равен 2. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 400. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его: .

4	2	x	50 - 50 = 0
x	5	3	300
x	3	6	200
	400 - 50 = 350	150

Искомый элемент равен 5. Для этого элемента запасы равны 300, потребности 350. Поскольку минимальным является 300, то вычитаем его:

4	2	x
x	5	x	300 - 300 = 0
x	3	6	200
	350 - 300 = 50	150

Искомый элемент равен 3. Для этого элемента запасы равны 200, потребности 50. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его:

4	2	x
x	5	x
x	3	6	200 - 50 = 150
	50 - 50 = 0	150

Искомый элемент равен 6. Для этого элемента запасы равны 150, потребности 150. Поскольку минимальным является 150, то вычитаем его:

4	2	x
x	5	x
x	3	6	150 - 150 = 0
		150 - 150 = 0

	1	2	3	Запасы
1	4[250]	2[50]	5	300
2	1	5[300]	3	300
3	5	3[50]	6[150]	200
Потребности	250	400	150

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 5, а должно быть . Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых , полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 4; 0 + v₁ = 4; v₁ = 4

u₁ + v₂ = 2; 0 + v₂ = 2; v₂ = 2

u₂ + v₂ = 5; 2 + u₂ = 5; u₂ = 3

u₃ + v₂ = 3; 2 + u₃ = 3; u₃ = 1

u₃ + v₃ = 6; 1 + v₃ = 6; v₃ = 5

	v1=4	v2=2	v3=5
u1=0	4[250]	2[50]	5
u2=3	1	5[300]	3
u3=1	5	3[50]	6[150]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых .

(2;1): 3 + 4 > 1; ∆₂₁ = 3 + 4 - 1 = 6

(2;3): 3 + 5 > 3; ∆₂₃ = 3 + 5 - 3 = 5

(6,5) = 6

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;1): 1.

Для этого в перспективную клетку (2;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	Запасы
1	4[250][-]	2[50][+]	5	300
2	1[+]	5[300][-]	3	300
3	5	3[50]	6[150]	200
Потребности	250	400	150

Цикл приведен в таблице (2,1 → 2,2 → 1,2 → 1,1).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. . Прибавляем 250 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 250 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	Запасы
1	4	2[300]	5	300
2	1[250]	5[50]	3	300
3	5	3[50]	6[150]	200
Потребности	250	400	150

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых , полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₂ = 2; 0 + v₂ = 2; v₂ = 2

u₂ + v₂ = 5; 2 + u₂ = 5; u₂ = 3

u₂ + v₁ = 1; 3 + v₁ = 1; v₁ = -2

u₃ + v₂ = 3; 2 + u₃ = 3; u₃ = 1

u₃ + v₃ = 6; 1 + v₃ = 6; v₃ = 5

	v1=-2	v2=2	v3=5
u1=0	4	2[300]	5
u2=3	1[250]	5[50]	3
u3=1	5	3[50]	6[150]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых .

(2;3): 3 + 5 > 3; ∆₂₃ = 3 + 5 - 3 = 5

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;3): 3.

Для этого в перспективную клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	Запасы
1	4	2[300]	5	300
2	1[250]	5[50][-]	3[+]	300
3	5	3[50][+]	6[150][-]	200
Потребности	250	400	150

Цикл приведен в таблице (2,3 → 2,2 → 3,2 → 3,3).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. . Прибавляем 50 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 50 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	Запасы
1	4	2[300]	5	300
2	1[250]	5	3[50]	300
3	5	3[100]	6[100]	200
Потребности	250	400	150

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых , полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₂ = 2; 0 + v₂ = 2; v₂ = 2

u₃ + v₂ = 3; 2 + u₃ = 3; u₃ = 1

u₃ + v₃ = 6; 1 + v₃ = 6; v₃ = 5

u₂ + v₃ = 3; 5 + u₂ = 3; u₂ = -2

u₂ + v₁ = 1; -2 + v₁ = 1; v₁ = 3

	v1=3	v2=2	v3=5
u1=0	4	2[300]	5
u2=-2	1[250]	5	3[50]
u3=1	5	3[100]	6[100]

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию .

Минимальные затраты составят:

.

Из 1-го склада необходимо весь груз направить в 2-й магазин.

Из 2-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (250), в 3-й магазин (50)

Из 3-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (100), в 3-й магазин (100)

Ответ: из 1-го склада необходимо весь груз направить в 2-й магазин; из 2-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (250), в 3-й магазин (50); из 3-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (100), в 3-й магазин (100); минимальные затраты составят: .

4. Решить задачу о назначении 5 кандидатов на 5 должностей, при котором суммарные затраты по времени на выполнение работ минимальны. Таблица времени выполнения конкретной работы (по столбцам) конкретным кандидатом (по строкам) имеет вид: