ВМ / Лабы / Готовые лабы / 2 / лаба 1 / Л.Р. #1 Выч Мат (Деление отрезка) / Метод половинного деления

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

ОТЧЁТ

по лабораторной работе №1

«Методы решения нелинейных уравнений»

Отчёт подготовил:

студент ПО0801

Лапкин С.А.

Преподаватель:

Гловацкая А.П.

Москва 2009 г.

Задание на лабораторную работу

1. Выбрать индивидуальное задание из табл. 6.2-1 по указанию преподавателя:

• нелинейное уравнение;

• метод решения нелинейных уравнений для «ручного расчета»;

• метод решения нелинейных уравнений для «расчета на ПК».

2. Отделить корни уравнения.

3. Провести исследование нелинейного уравнения для «ручного расчета»:

• проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – сделать необходимые преобразования для обеспечения сходимости;

• выбрать начальное приближение;

• сформулировать условия окончания этапа уточнения корня.

4. Провести «ручной расчет» трех итераций.

5. Оценить погрешность результата «ручного расчета».

6. Провести исследование нелинейного уравнения для «решения на ПК»:

• проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – выполнить последовательность шагов для обеспечения сходимости;

• выбрать начальное приближение;

• сформулировать условия окончания процесса уточнения корня.

7. Составить схему алгоритма, написать программу для решения нелинейных уравнений для «расчета на ПК» и провести контрольное тестирование программы, воспользовавшись исходными данными и результатами примера из п. 6.2-5.

8. Решить нелинейное уравнение с различной точностью, воспользовавшись написанной программой для «расчета на ПК».

9. Вычислить «погрешность» результата «расчета на ПК» при известном точном решении.

10. Построить зависимость числа итераций от заданной точности – n(E).

11. Решить нелинейное уравнение с помощью математических пакетов.

Метод половинного деления.

Нелинейное уравнение : 4 (x² + 1) ln(x) – 1 = 0

Решение:

1.Построим график функции:

Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка, то внутри этого отрезка существует по меньшей мере один корень уравнения т.е. такое значение x* , что .

f(0.7)= -3.126

f(1.4)= 2.984

Значит на отрезке [0.7;1.4] существует по крайней мере 1 корень ур-я;

Докажем его единственность:

Вторая производная на отрезке [0.7;1.4] монотонна (не меняет знак) и больше 0, а т.к. первая производная на этом отрезке так же монотонна и больше 0, то корень на отрезке [0.7;1.4] - единственный.

2.Вычислим корень уравнения аналитически средствами MathCad :

В качестве точного решения уравнения примем X*=1.117576

3.Выберем за начальное приближение середину отрезка =1.05.

Результаты «ручного расчета» трех итераций:

Результаты вычислений в виде таблицы:

n	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f( (a+b)/2)	b-a
1	0.7	1.4	-3.126	2.984	1.05	-0.59	0.7
2	1.05	1.4	-0.59	2.984	1.225	1.03	0.35
3	1.05	1.225	-0.59	1.03	1.137	0.178	0.220
4	1.05	1.137	-0.59	0.178	1.094	-0.211	0.132

После трех итераций приближение к корню x₃=1.094

4.Оценим погрешности результатов:

Погрешность равна |X*-X₃|= 0.024

5. Схема алгоритма половинного деления:

Код программы:

#include<iostream>

#include<conio.h>

#include <math.h>

using namespace std;

void rass4et(double a,double b,double E);

double myfunc(double x) //ф-ция по заданию

{

double myfunc;

myfunc=x+log(4*x)-1;

return myfunc;

}

void main ()

{

setlocale( LC_ALL,"Russian" ); //подключение возможности вывода русских букв

double a,b,E; // а - левая граница, b - правая граница, Е - точность

do{

cout<<"Программа рассчёта корня нелинейного ур-я методом деления отрезков пополам\n\n";

cout<<"Введите границу a:";

cin>>a;

cout<<"Введите границу b:";

cin>>b;

cout<<"Введите точность вычислений Е:";

cin>>E;

rass4et(a,b,E);

cout<<"\n\n повторить рассчёт данных? [Y/N]";}

while(getch()=='y');

}

void rass4et(double a,double b,double E)

{

double c=(a+b)/2,fc,fb,fa; // вычисление х0 ( первая середина отрезка )

int n=0;

cout<<"a="<<a<<" b="<<b<<"\nсередина(c)="<<c;

while((b-a)>=E) //условия завершения подсчёта точности

{

n=n+1; // кол-во итераций

if(myfunc(c)*myfunc(b)<0) //условие замены левой/правой границы

{

a=c;

}

else

{

b=c;

}

fa=myfunc(a); // значение ф-ции в левой границе

fb=myfunc(b); // значение ф-ции в правой границе

cout<<"\n\n["<<a<<","<<b<<"]\n\tf(a)="<<fa<<"\n\tf(b)="<<fb;

c=(a+b)/2; //вычисление следующей середины

}

fc=myfunc(c);// значение ф-ции на итерации n

cout<<"\n\nРезультаты вычислений:\n x="<<c<<"\nf(x)="<<fc<<"\n шаг итерации="<<n;

}

6. Результаты «расчета на ПК»:

E	n	x	f(x)
0.01	7	1.11836	0.0070905
0.001	10	1.11733	-0.00218513
0.0001	13	1.11755	-0.00025354

7. Погрешность результата «расчета на ПК»

Примем за точное решение x*=1.117576

ε	Погрешность
0.01	0.000784
0.001	0.000246
0.0001	0.000026

	Страница 8