Литература / 005_Neuman_TOE_v1_2003

422 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Во втором уравнении все слагаемые, не содержащие 1/Z3, имеющие конечное значение, могут быть отброшены. Тогда второе уравнение примет вид:

Учитывая это соотношение, исходную систему уравнений можем преобразовать к виду:

откуда могут быть определены узловые напряженияU10 èU 30 . Отметим, что для использования рассмотренного приема необходимо так перенумеровать узлы схемы, чтобы идеальный источник ЭДС подходил к нулевому узлу, что не всегда возможно, если схема содержит несколько идеальных источников ЭДС.

5.3. Расчет электрических цепей при наличии взаимной индукции

ВОПРОСЫ

1. Это возможно, если напряжение взаимной индукции на катушке направлено навстречу напряжению самоиндукции и превышает его по модулю. Катушки в этом случае должны быть включены встречно и значение %M12I2 % должно быть больше значения L1I1 (I1, I2 — токи катушек 1 и 2).

2. При любом способе включения индуктивно связанных катушек пассивной цепи активная мощность не может быть отрицательной.

4. Обозначив I1 — ток катушки L1 до замыкания ключа, I1 , I 2 — токи катушек после замыкания ключа, можем после преобразования уравнений законов Кирх-

Показание амперметра A1 определяется действующим значением тока I+, а амперметра A2 — òîêà I1+.

Как видно, ток катушки L1 после замыкания ключа не изменится при L1 M (ëèáî ïðè M 0), уменьшится при L1 > M и увеличится при L1 < M.

Òîê I+ не изменится при M L1, возрастет при M > L1 и уменьшится при M < L1.

5. Входное сопротивление цепи à, изображенной на рисунке слева цепи больше, так как напряжения взаимной индукции на катушках этой цепи совпадают с напряжениями самоиндукции, что и ведет к увеличению их сопротивления.

7. При условии à имеем x > 0 и, следовательно, величина 0L2 + xïð < 0, так что приемник должен характеризоваться эквивалентным емкостным сопротивлением. При условии á приемник имеет эквивалентное индуктивное сопротивление.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Слагаемое j0L2I 2 в первом уравнении следует заменить на j0L3I 3 . Знаки перед последними двумя слагаемыми во втором уравнении неправильны.

2. Активное сопротивление катушек равно r1 + r2 P 30 Ом. Из соотношений

I 2

100 (1 30)2 [0(L1 L2 2M)]2 1, 100 (0,6 30)2 [0(L1 L2 2M)]2 0,36

6. Коэффициент связи получаем равным нулю при размещении катушек во взаимно перпендикулярных плоскостях таким образом, что поток взаимной индукции обращается в нуль. Коэффициент связи равен своему наибольшему значе- нию при размещении катушек в одной и той же плоскости таким образом, что поток взаимной индукции принимает наибольшее значение.

8. Уравнения трехобмоточного трансформатора имеют вид:

I1(r1 j0L1) I 2 j0M12 I 3 j0M13 U1,

I1 j0M 21 I 2 (r2 j0L2 Z 2 ) I 3 j0M 23 0,

Комплексное входное сопротивление

Zâõ r1 + r + j(x1 + x) : 535.: j7) 102 Îì.

424 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Ïðè n получаем Lýêâ M.

6.1. Резонанс при последовательном соединении элементов r, L, C

ВОПРОСЫ

5. Полоса пропускания пропорциональна затуханию d цепи, представленной на рис. Р6.1. Затухание связано с параметрами r, L, Ñ цепи и резонансной частотой 00 соотношениями

2 > 1 2

1Q

>

ãäå > 0 00 — относительная частота, а I0 1r U QU 44 А — ток в цепи при резонансе. Неравенство I > 31 А выполняется при >1 < > < >2, >1 0,975, >2 1025,,

Ответы на вопросы, решения упражнений и задач 425

так что диапазон изменения частоты 0, при котором ток в контуре больше 31 А, будет 0,0500.

Отметим, что, так как значение тока I0 44 À ïðè резонансе отличается от тока 31 А на границах диапазона приблизительно в 2 раз (так были заданы числовые данные этого упражнения), то разность относительных частот составляет >2 – >1 1/Q. Это свойство последовательного колебательного контура дает возможность легко оценить ширину полосы пропускания контура по его добротности.

напряжение на входе, напряжение на конденсаторе и ток в цепи, представленной

на 10% емкость Ñ конденсатора необходимо увеличить приблизительно в 1,11 раза.

5. Из равенства коэффициентов мощности при различных частотах 01 è 02 изменения тока:

следует, что реактивные сопротивления при этих частотах одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Пусть 02 > 01, тогда – (01L – 1/01C)02L – 1/02C, откуда и определяем резонансную частоту 00

6. На рис. Р6.2 изображена схема с измерительными приборами.

Если имеется возможность изменения частоты подводимого к цепи напряжения, то для нахождения резонансной частоты достаточно подключения одного из приборов (амперметра А, ваттметра Р либо фазометра 2). При

Если частота 0 источника напряжения постоянна, то для нахождения 0ðåç следует выполнить измерения для определения параметров L, C, после чего рассчи- тать частоту 0ðåç.

8. Так как при 0 и действии на входе цепи источника синуcоидального напряжения U const имеем UL U, то зависимость UL(0) имеет экстремум

+ (r0C)2 < 0, при выполнении которого справедливо соотношение UL > U. Используя обозначения (0/00) >, r0C d, находим искомое условие > > (2 – d2)–0,5, из которого следует, что соотношение UL > U выполняется при d < 1,41.

10. См. решение упражнения 8.

6.2. Резонанс при параллельном соединении элементов g, L, C

ВОПРОСЫ

3. Добротность Q может быть определена как кратность превышения тока в катушке или конденсаторе тока I0 в неразветвленном участке цепи при резонансе

Q IC0/I0.

Таким образом, IC0 QI0 8 А, следовательно, для измерения тока конденсатора необходим амперметр с верхним пределом измерения не менее 8 А.

6. Эквивалентная активная проводимость gý цепи равна g и не зависит от часто-

g

ты, однако эквивалентное активное сопротивление rý g2 (1 0L 0C)2 , êàê

видно, есть функция частоты.

УПРАЖНЕНИЯ

1. à) Учитывая, что добротность контура равна (IC0/Iâõ0) /g, ãäå (C/L)0,5, из соотношения 2g получаем g 0,5(C/L)0,5 5 10–3Ñì , á) g 0,25(C/L)0,5

2,5 10–3 Cì, â) Так как при резонансе справедливо соотношение Ig Iâõ, полу- чаем добротность Q 1 и проводимость g 10–2 Cì.

5. à) I Ig > IL IC, á) I Ig < IL IC.

ЗАДАЧИ

4. Зависимость õý(0) цепи, представленной на рис. 6.4, имеет вид:

5. Так как по условию задачи U const, то и показания ваттметра от частоты не зависят.

428 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

2. Частотная характеристика x(0) изображена на рис. Р6.10. В полюсе, лежащем между нулями функции õ(0), сопротивление одной из LC-ветвей имеет индуктивный характер, тогда как другой — емкостной характер. Это приводит к появлению резонанса токов.

4. Так как до замыкания ключа в цепи варианта à наблюдался резонанс, то параметры L, C связаны соотношением 00 (LC)–0,5. После замыкания ключа контур L, C остается настроенным в резонанс на ту же частоту 00. Токи амперметров А1 è À3 обращаются в нуль, ток амперметра А2 увеличивается (он станет равным Uâõ/00L). Показания вольтметра V1 и ваттметра — нуль, тогда как вольтметр V2 покажет входное напряжение.

В цепи варианта á показания вольтметра и амперметра после замыкания ключа уменьшатся.

ЗАДАЧИ

1. Электрическая цепь может содержать ветви с последовательно соединенными катушками индуктивности или конденсаторами. Такие элементы можно объединить в один, учитывая, что при последовательном соединении элементов имеем

L Lk è 1/Ñ 1Ck . Аналогично, можно объединить параллельно соединен-

ные ветви, содержащие однотипные элементы, например, катушки индуктивности или конденсаторы: 1/L 1Lk , C Ck . В итоге любая из ветвей цепи будет

содержать либо один элемент (L èëè C) либо последовательно соединенные элементы L è C. Если в полученной таким образом цепи нет контуров, содержащих реактивные элементы одного вида (например, конденсаторов), а также отсутствуют такие сечения, которые разрезают ветви с реактивными элементами одного и того же вида, то при числе элементов цепи, равном n, полное число нулей и полюсов частотной характеристики õ(0) èëè b(0) оказывается равным n.

6.4. Частотные характеристики электрических цепей

Характер изменения функций Ê(0), 2(0) показан на рис. Р6.12.

2.Смотри решение упражнения 8 § 6.1.

3.Для варианта à получаем

стики показан на рис. Р6.14.

4. Получим логарифмическую амплитудную частотную характеристику цепи варианта à

Обозначив rC T, получим F(0T) – 10 lg (1 + 02T2). Ïðè 0T 0 имеем F(0T) 0 è F(0T) ïðè 0T . Ïðè 0T 1 получаем 20 lg K(1) – 10 lg2 –3 äÁ (ðèñ. Ð6.15).

да следует, что при увеличении аргумента 0T на порядок (на декаду) функция

430 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

F(0T) уменьшается на 20 дБ. Характеристику F(lg0T) иногда аппроксимируют двумя прямолинейными отрезками, показанными на рисунке пунктиром.

– 10 lg {1 + (0T)2}. Кривая зависимости F(lg0T) изображена на рис. Р6.16 сплошной линией, а аппроксимирующая ее функция — пунктирной.

При малых 0T наклон функции F(lg0T) составляет 20 дБ на декаду.

Ðèñ. Ð6.15 Ðèñ. Ð6.16

6.5. Резонанс в электрических цепях произвольного вида

ВОПРОСЫ

1. Условие резонанса 2 0 приводит к выражениям xâõ 0 è bâõ 0, которые и позволяют найти частоты резонанса.