Литература / 005_Neuman_TOE_v1_2003

342 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

так как по тем же соображениям, что и в предыдущем параграфе,

T

uq is dt 0 ïðè q s.

0

Таким образом,

k

P Pk P0 P1 P2 Pk

k 0

U 0 I 0 U1I1 cos 21 U 2 I 2 cos 22 U k I k cos 2k ,

ò. å. активная мощность при периодических несинусоидальных токах и напряжениях равна сумме активных мощностей постоянной и всех гармонических составляющих тока и напряжения.

Во избежание недоразумений следует подчеркнуть, что принцип наложения для квадратичных величин несправедлив, и для мгновенных токов, напряжений и мощности имеем i2 ik93 u2 uk9 è p ui pk , так как мгновенные значе-

ния произведений iqi s, uqu s è uqi s ïðè q s не равны нулю. Однако интегралы от этих произведений за целый период T обращаются в нуль, что является свойством ортогональности функций, входящих сомножителями в эти произведения.

При периодических несинусоидальных токах и напряжениях, как и при синусоидальных, вводят понятие о коэффициенте мощности, обозначая его при этом через Ο и определяя из соотношения

Величина Ο равна единице только в том случае, если цепь обладает одним активным сопротивлением, не зависящим от частоты и от тока. Во всех остальных случаях Ο < 1.

В частном случае, когда напряжение и ток изменяются по синусоидальному закону, т. е. когда отсутствуют постоянные составляющие и высшие гармоники, коэффициент мощности, как было получено в § 4.6, равен косинусу разности фаз 2 синусоидальных напряжения и тока (Ο cos 2.

Можно показать, что появление высших гармоник в кривых напряжения и тока приводит к снижению коэффициента мощности по сравнению со случаем, когда ток и напряжение при тех же действующих значениях синусоидальны. Следовательно, уже хотя бы в этом отношении появление высших гармоник нежелательно. Поэтому стремятся конструировать генераторы переменного тока так, чтобы кривая ЭДС в них была по возможности близка к синусоиде. Нали- чие высших гармоник может быть причиной и ряда других нежелательных явлений. Оно приводит к возможности резонанса для одной из высших гармоник

Глава 8. Расчет электрических цепей при несинусоидальных токах 343

и, соответственно, к появлению перенапряжений на отдельных участках цепи, к нежелательному влиянию гармоник звуковой частоты на радио- и телефонную связь, к возникновению в трехфазных двигателях магнитных полей, вращающихся против направления вращения ротора (например, при k 5, 11, . . .) и, следовательно, вызывающих торможение ротора и добавочные потери в двигателях.

Однако отсюда не следует, что во всех без исключения устройствах всегда необходимо стремиться к получению синусоидальных токов и напряжений. Это, безусловно, относится к мощным электроэнергетическим устройствам. Однако в маломощных устройствах автоматического управления и регулирования, а также в ряде специальных радиотехнических, электроизмерительных и различных электронных устройств оказывается необходимым как раз получить формы кривых напряжения и тока, отличающиеся от синусоидальных, т. е. содержащие высшие гармоники. Некоторые из таких устройств будут рассмотрены в главах о нелинейных электрических цепях.

8.5. Особенности поведения высших гармоник в трехфазных цепях

Предположим, что фазные ЭДС симметрично устроенного трехфазного генератора содержат высшие гармоники. Кривые ЭДС во всех фазах по форме одинаковы и сдвинуты в каждой последующей фазе относительно предыдущей на угол 2 /3, где 2 — период всей кривой ЭДС, равный периоду первой гармоники. Так как период k-й гармоники в k раз меньше периода первой гармоники, то угол сдвига k-й гармоники в последующей фазе по отношению к предыдущей фазе равен k2 /3. Таким образом, все гармоники, порядок которых кратен числу фаз, т. е. кратен трем (k 3, 6, 9, 12, 15, . . .), сдвинуты друг относительно друга на угол, равный 2 , умноженный на целое число, т. е. эти гармоники находятся в фазе друг с другом и образуют симметричные системы нулевой последовательности.

Гармоники, для которых k – 1 делится на три (k 4, 7, 10, 13, . . .), образуют, как нетрудно убедиться, симметричные системы прямой последовательности.

Гармоники, для которых k + 1 делится на три (k 2, 5, 8, 11, . . .), образуют симметричные системы обратной последовательности.

Из этих свойств вытекает ряд особенностей поведения высших гармоник в трехфазных цепях.

Предположим, что обмотки генератора соединены треугольником. Сумма первых гармоник фазных ЭДС в контуре треугольника равна нулю. Это имеет место также для всех высших гармоник, порядок которых не кратен трем. Гармоники же, порядок которых кратен трем, совпадают по фазе во всех фазных обмотках, и их сумма не равна нулю. Эта суммарная ЭДС вызывает в контуре треугольника ток даже при отсутствии нагрузки генератора. Падения напряжения в обмотках вследствие протекания этого тока компенсируют вызывающие ток ЭДС. Поэтому напряжения на зажимах обмотки не содержат гармоник, порядок которых кратен трем.

То же самое имеет место при соединении обмоток трансформатора треугольником, если фазные ЭДС в обмотках трансформатора симметричны. Обычно,

Глава 8. Расчет электрических цепей при несинусоидальных токах 345

Важным случаем является симметрия кривых относительно оси абсцисс (рис. 8.6), при которой выполняется условие

f (t) f (t T2),

т. е. отрицательная полуволна является зеркальным изображением сдвинутой на половину периода положительной полуволны.

Если кривая симметрична относительно оси абсцисс, ряд Фурье не содержит постоянной составляющей и четных гармоник, так как для них не удовлетворяется приведенное ранее условие симметрии. Действительно, сдвигу функции, а следовательно, и первой гармоники на T/2 соответствует сдвиг четных гармоник на целое число полных периодов, и значения этих гармоник не меняют своего знака. Таким образом, любая симметричная относительно оси абсцисс кривая содержит только нечетные гармоники.

Это положение имеет исключительно большое значение. Основываясь на нем, можно утверждать, что при симметричном устройстве вращающихся генераторов ЭДС в их обмотках не содержат четных гармоник, а также если условия прохождения тока по цепи одинаковы в обоих направлениях, то при симметричной ЭДС и ток не будет содержать четных гармоник. В линейных электрических цепях с постоянными параметрами условия прохождения тока в обоих направлениях всегда одинаковы. Эти условия могут быть неодинаковы в цепях с изменяющимися параметрами, например в нелинейных цепях с выпрямителями. В последнем случае появляются постоянная составляющая и четные гармоники в кривой тока.

Примером симметричной относительно оси абсцисс кривой является кривая трапецеидальной формы, приведенная на рис. 8.7. Разложение ее в ряд Фурье имеет вид

что легко получается, если воспользоваться приведенными ранее формулами для Bk è Ck. Ïðè , T/4 получаем равнобедренный треугольник, и разложение принимает вид

Ïðè , 0 получаем прямоугольную кривую, для которой

346 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Из этих разложений видно, что в них отсутствуют постоянные составляющие и четные гармоники.

Ðèñ. 8.8 Ðèñ. 8.9

Может быть симметрия кривых другого характера. На рис. 8.8 изображена кривая, симметричная относительно оси ординат. Изображаемая ею функция удовлетворяет условию f(t) f(–t). Нетрудно убедиться, что при этом

B1 B2 B3 Bk 0 и разложение в ряд Фурье имеет вид

f (t) A0 C1 cos0t C2 cos20t C3 cos 30t Ck cos k0t

Если кривая симметрична относительно начала координат (рис. 8.9), то f(t) –f(–t). В этом случае

A0 C1 C2 C3 Ck 0 и ряд Фурье имеет вид

f (t) B1 sin0t B2 sin20t B3 sin 30t Bk sin k0t

Подчеркнем, что условие симметрии относительно оси абсцисс не зависит от выбора начала отсчета времени, т. е. является свойством самих кривых, тогда как рассмотренные остальные виды симметрии связаны с выбором начала отсчета времени.

8.7. Представление ряда Фурье в комплексной форме

В ряде случаев целесообразно представить ряд Фурье в комплексной форме. Это особенно полезно будет при рассмотрении в гл. 11 частотного метода анализа процессов в электрических цепях. Ранее ряд Фурье был представлен в виде

k

f (t) A0 (Bk sin k0t Ck cos k0t).

k1

Âвыражениях для A0, Bk è Ck нам будет удобнее взять пределы интегрирования не от 0 до T, à îò —T/2 äî +T/2. Будем иметь

причем 0 2 /T — угловая частота первой гармоники.

348 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

ãäå Αk /2 + k.

Таким образом, величина

T2 F(k0 ejΑk j T2 F(k0 ej k j T2 F( jk0

представляет собой комплексную амплитуду k-й гармоники

Совокупность комплексных амплитуд всех гармоник данной функции может

соответственно, а м п л и т у д н о - ч а с т о т н о й и ф а з о - ч а с т о т н о й х а - р а к т е р и с т и к.

На рис. 8.10 изображена дискретная амплитудно-частотная характеристика для функции времени, показанной на рис. 8.7, при , 0.

8.8. Биения колебаний

На практике используются несинусоидальные токи и напряжения, которые не могут быть представлены в виде ряда Фурье, содержащего составляющие с частотами, кратными основной частоте, и вместе с тем обладают в известном отношении периодичностью своих изменений. Сюда относятся несинусоидальные токи и напряжения, изображаемые кривыми с периодической огибающей. К ним принадлежат так называемые б и е н и я к о л е б а н и й и м о д у л я ц и я к о л е - б а н и й.

Рассмотрим случай биения колебаний. Пусть в некоторой цепи налагаются два синусоидальных тока: i1 Im sin 01t è i2 Im sin 02t, имеющие одинаковые амплитуды, но разные частоты, причем частоты 01 è 02 близки друг к другу, так что разность их значительно меньше каждой из них:

01 02 Ν 01 è 01 02 Ν 02 .

Глава 8. Расчет электрических цепей при несинусоидальных токах 349

Результирующий действительный ток в цепи при этом равен

Так как амплитуда есть величина существенно положительная, а величина

cos 01 02 t меняет знак в моменты перехода ее через нуль, то это равносильно

2 скачкообразному изменению в эти моменты времени фазы синусоидальных ко-

рующей кривой будет повторяться только через три периода функции

cos 01 02 t, т. е. через 6Tá, так как в этом интервале времени укладывается целое 2

число периодов функции sin 01 02 t, и число скачкообразных изменений ее 2

фазы на угол является четным числом 6.

Таким образом, период результирующей кривой больше периода биений. Если отношение 0 /02 является иррациональным числом, то период результирующей кривой обращается в бесконечность и, следовательно, эта кривая не является периодической. Тем не менее, понятие о периоде биений Tá сохраняет определенный смысл.

350 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Явление биений колебаний с успехом используется для установления отклонения частоты 01 колебаний в одной системе от частоты 02 колебаний в другой системе. Измеряя частоту биений, получаем возможность наблюдать весьма малые отклонения 0 0 – 02 по сравнению с самими величинами 0 è 02.

Так как результирующая кривая i f(t) в общем случае не является периоди- ческой, то для вычисления действующего тока i f(t), строго говоря, мы не можем пользоваться методами, установленными в § 8.3.

Однако если условиться под действующим значением I понимать среднее квадратическое значение тока i f(t) за достаточно большой промежуток времени , >> Tá, то с большой точностью можно вычислить значение I как корень квадратный из суммы квадратов действующих значений составляющих, имеющих частоты 0 è 02. Так, в рассмотренном примере при одинаковых амплитудах Im этих составляющих имеем

т. е. в этом случае значение действующего тока, которое покажет обычный прибор переменного тока, равно половине максимума огибающей кривой.

8.9. Модулированные колебания

Другим видом несинусоидальных токов, изображаемых кривой с периодической огибающей, являются модулированные токи. В случае так называемой а м п л и - т у д н о й м о д у л я ц и и они описываются уравнением

i I m sin0t I 0 (1 msin Τt)sin0t,

причем Τ — ч а с т о т а м о д у л я ц и и — много меньше частоты 0, называемой н е с у щ е й ч а с т о т о й. Коэффициент m, лежащий в пределах 0 < m < 1, называют к о э ф ф и ц и е н т о м м о д у л я ц и и. Таким образом, модулированный ток можно рассматривать как ток частоты 0, амплитуда которого изменяется пе-