высшая математика структура дисциплины часть 3
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»
СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ
«Высшая математика»
часть III
Тольятти 2007
III семестр
Модуль №9 Дифференциальные уравнения и их системы
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши.Интегральные кривые. Особое решение.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у’ = f(х).
Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным.
Линейные уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли.Метод Лагранжа. Уравнение Бернулли.
Уравнения в полных дифференциалах. Условие тотальности. Уравнения вида у = f(y’) и x = f(y’). Уравнения Лагранжа и Клеро.
Геометрическая интерпретация решений дифференциального уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины.
Численные методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Ломаная Эйлера. Уточненный метод Эйлера.Метод Рунге – Кутта.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнения вида y(n) = f(x). Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка n-1 включительно. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Структура общего решения. Фундаментальна система решений. Определитель Вронского. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Уравнения математической физики.
Уравнение колебаний струны. Граничные, начальные и краевые условия. Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье).Решение задачи Коши методом Даламбера .Уравнение теплопроводности.
Модуль № 10. Кратные интегралы
Задачи, проводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл: определение, формулировка теоремы существования, геометрический смысл. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов. Понятие о замене переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложение двойных интегралов к решениям задач геометрии, физики, механики.
Тройной интеграл: определение, формулировка теоремы существования. Свойства тройных интегралов. Замена переменных в тройных интегралах. Тройные интегралы в цилиндрической и сферической системах координатам. Приложение тройных интегралов к решениям задач геометрии, физики, механики.
2
Модуль № 11. Криволинейные и поверхностные интегралы
Криволинейные интегралы. Криволинейные интегралы первого рода по длине дуги. Свойства криволинейных интегралов первого рода. Вычисление криволинейного интеграла первого типа в декартовых, параметрических и полярных координатах.
Криволинейные интегралы второго рода по координатам. Свойства криволинейных интегралов второго рода. Независимость криволинейного интеграла второго типа от пути интегрирования. Формула Остроградского – Грина.
Вычисление длины дуги. Вычисление массы материальной дуги. Вычисление работы, производимой переменной силой по перемещению материальной точки вдоль кривой.
Поверхностные интегралы первого рода. Свойства поверхностных интегралов первого рода. Поверхностные интегралы второго рода. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. Формула Гаусса – Остроградского.
Основные понятия теории поля: Элементы теории поля. Поток векторного поля. Потенциал. Формула Стокса. Ротор. Оператор Гамильтона. Циркуляция. Дивергенция. Соленоидальное поле.
3