Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ»

Кафедра физики

Индивидуальные домашние задания по физике

Часть II

Механика

(учебное пособие для студентов I семестра)

Санкт-Петербург, 2004

Учебное пособие содержит рекомендации и методические указания по выполнению лабораторно-практических занятий по физике (раздел Механика), а также банк задач для формирования индивидуальных домашних заданий. Предназначено для студентов I семестра всех технических факультетов.

Лабораторно-практические занятия по физике являются одним из основных видов занятий в курсе физики на I семестре. По учебному графику раздела Механика студенты выполняют два лабораторно-практических занятия.

Лабораторно-практические занятия выполняются в соответствии с индивидуальным графиком (Приложение 1), каждое лабораторно-практическое занятие включает индивидуальное домашнее задание и лабораторную работу по изучаемым в семестре темам учебного плана по курсу физики.

Лабораторно-практическое занятие выполняется в три этапа:

1. Выполнение индивидуального домашнего задания и подготовка к лабораторной работе (самостоятельная работа)

2. Допуск к выполнению лабораторной работы и эксперимент на лабораторном макете (занятие в лаборатории физики)

3. Защита лабораторно-практического задания (коллоквиум)

Отчет по лабораторно-практическому занятию выполняется на листах формата А4 (см. Приложение 2), номер и название лабораторно-практического занятия определяются номером и названием выполняемой по графику лабораторной работы.

Задачи к индивидуальному заданию №2

1. Частица движется в плоскости x0y по закону x = At, y = At (1  Bt), где A и B положительные константы. Найдите уравнение кривой, описывающей траекторию частицы, и изобразите ее график. Определите зависимости от времени абсолютных величин скорости и ускорения частицы.

2. Колесо радиусом R = 5 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением  = A + Bt + Ct² + Dt³, где D = 1 с^-3. Найдите для точек обода изменение модуля тангенциального ускорения a_ за пятую секунду движения.

3. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением  = 2 с^-2. Через t = 0.5 с после начала движения полное ускорение точек на ободе колеса стало равным a = 13.6 см/с². Найти радиус колеса.

4. Через t = 10 с после начала вращения с постоянным угловым ускорением полное ускорение точек на ободе диска радиусом R = 10 см равно a = 15 см/с². Определите угловое ускорение диска, а также нормальное и тангенциальное ускорения точек обода через t = 5 с после начала вращения.

5. Закон движения двух материальных точек выражается уравнениями x₁= A₁+ B₁t + C₁t²; B₁ = 2 м/с, C₁ =  4 м/с², x₂ = A₂+ B₂t + C₂t²; B₂ = 2 м/с, C₂ = 0.5 м/с². Определите момент времени t_e , когда скорости точек будут одинаковы. Найдите значения скорости и ускорений точек в этот момент.

6. По дуге окружности радиусом R = 10 м движется частица. В некоторый момент времени нормальное ускорение частицы a_n = 4.9 м/с², а вектор полного ускорения образует с радиусом вращения угол 60⁰ . Найдите скорость v и тангенциальное ускорение a_ этой частицы в этот момент времени.

7. В момент времени t = 0 частица начала двигаться из начала координат в положительном направлении оси x. Ее скорость меняется по закону v = v₀ (1  t/T), где v₀ - вектор начальной скорости, модуль которого v₀ = 0.1 м/с; T = 5.0 с. Найдите координату частицы в момент времени t₁= 6 с и постройте график зависимости пути от времени.

8. Частица движется по окружности радиуса R = 10 см так, что зависимость пути от времени дается уравнением S = A+Bt+Ct², где B =  2 м/с, C = 1 м/с². Найдите линейную скорость частицы, ее нормальное и полное ускорение через t = 3 с после начала движения.

9. Зависимость координаты частицы от времени дается уравнением x = A + Bt + Ct² + Dt³, где A = 0.1 м, B = 0.1 м/с, C = 0.14 м/с², D = 0.01 м/с³. Найдите среднее ускорение и среднюю скорость за первые 12 с движения.

10. Частица движется в плоскости x0y по закону x = Asint, y = Bcost, где A, B и  положительные константы, A = B = 4 cм. Найдите уравнение кривой, описывающей траекторию частицы, изобразите ее вид и направление движения частицы.

11. Частица движется по дуге окружности радиуса R по закону L = A sint, где L смещение из начального положения, отсчитываемое вдоль дуги, A и  положительные константы. Найдите полное ускорение частицы в точке L = 0.

12. В течение интервала времени T = 4 с скорость тела меняется по закону v = At² + Bt , где A = 2 м/с³, B =4 м/с², (0 ≤ t ≤ T). Найдите среднюю скорость, и среднее ускорение за этот промежуток времени.

13. Движение частицы по кривой задано уравнениями x = A₁t³ и y = A₂t где A₁ = 1 м/с³, A₂ = 2 м/с. Определите скорость и полное ускорение частицы через 0.8 с после начала движения.

14. Частица движется по окружности радиусом R = 2 м согласно уравнению L = At³, где A = 2 м/с³, L путь, пройденный частицей. В какой момент времени тангенциальное ускорение частицы будет равно нормальному? Вычислите полное ускорение частицы в этот момент времени.

15. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через t = 2 с камень упал на землю на расстоянии L = 40 м от основания вышки. Определите начальную v₀ и конечную v_f скорости камня.

16. Частица движется в плоскости x0y по закону x = Asint, y = A(1  cost), где A и  положительные константы. Найдите уравнение кривой, описывающей траекторию частицы, изобразите ее вид и направление движения частицы.

17. Камень брошен со скоростью v₀ = 20 м/с под углом 60⁰ к горизонту. Определите радиус кривизны траектории в верхней ее точке.

18. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением  =  2 с^-2. Определите число N оборотов, которое сделает колесо при изменении частоты вращения от n₁ = 240 мин^-1 до n₂ = 90 мин^-1, а также интервал времени t, в течение которого это произойдет.

19. Частица движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением a_= 0.5 м/с². Определите полное ускорение частицы на участке, где радиус кривизны составляет R = 3 м, если частица движется в этот момент со скоростью v = 2 м/с.

20. Частица движется по окружности радиуса R = 12 см со скоростью v = At, где A = 0.5 м/с². Найдите ее полное ускорение в момент времени, когда она пройдет расстояние L, равное 0.1 длины окружности после начала движения.

21. Компоненты скорости частицы меняются по закону v_x= A cost; v_y= A sint; v_z= 0, где A = 12 см и  = 3 с^-1 . Изобразите на рисунке траекторию частицы и направление ее движения.

22. Колесо радиуса R = 1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением  = A + Bt + Ct³, где B = 2 с^-1, C = 1 с^-3. Найти линейную скорость и тангенциальное ускорение для точек обода через t = 2 с после начала движения.

23. На барабан радиуса R = 0.5 м намотана нить, барабан вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его ось симметрии, под действием груза, подвешенного к нити. Груз движется с постоянным ускорением a = 6 м/с² . Найти угловое ускорение вращения барабана и полное ускорение точек на его поверхности через после начала вращения барабана.

24. Частица движется по окружности радиуса R = 0.1 м с постоянным угловым ускорением. Через t = 20 с после начала движения угловая скорость частицы  = 20 с^-1. Определите число N оборотов, которое совершила за это время частица, и нормальное ускорение к концу десятой секунды.

25. Частица движется по окружности радиуса R = 10 см с постоянным тангенциальным ускорением a_. Найдите это ускорение, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость частицы стала равной v = 79.2 см/с.

26. Радиус-вектор, определяющий положение движущейся частицы меняется по закону r = 3t² i + 2t j + k, где i, j, k орты осей x, y, z. Найти модуль скорости v в момент времени t = 1 с.

27. Частица движется в плоскости так, что зависимость координат от времени дается уравнениями x = At, y = Bt + Ct², где A = 1 м/с, B = 2 м/с, C = 1 м/с². Определите скорость частицы через 10 с после начала движения.

28. Частица движется согласно уравнению r(t) = A(i cost + j sint), где A = 0.5 м, =5 с^-1. Изобразите на рисунке траекторию движения. Определите модуль скорости ¦v¦ и модуль нормального ускорения ¦а_n¦.

29. Координата x движущейся частицы меняется по закону x = A cos(2t/T), А = 8 см. Найти выражения для проекций на ось x скорости v и ускорения a частицы, составляющую v_x средней скорости частицы на интервале времени от t₁ = 0 до t₂ = T/8.

30. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением  = A + Bt + Ct² + Dt³, где B = 1 с^-1, C = 1 с^-2, D = 1 с^-3. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, a_n= 3.46^.10² м/с².

31. Найти работу, которую нужно совершить, чтобы увеличить скорость движения тела от v₁= 2 м/с до v₂= 6 м/с на пути s = 10 м. На всем пути действует постоянная сила трения F_тр= 2 Н. Масса тела m = 1 кг.

32. Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3, 10, 8) Н частица переместилась из точки 1 с координатами (1, 2, 3) м в точку 2 с координатами (3, 2, 1) м. Какая совершилась при этом работа? Как изменилась кинетическая энергия частицы?

33. Брусок массой m₁ = 0.2 кг движется по горизонтальному столу под действием силы натяжения привязанной к нему нити. Нить перекинута через прикрепленный к столу блок, а другой ее конец привязан к бруску массой m₂ = 0.3 кг, который движется вниз. Коэффициент трения между поверхностью стола и первым бруском k = 0.25. Масса блока ничтожно мала. Определите натяжение нити.

34. Наклонная плоскость может изменять наклон, причем длина основания наклонной плоскости остается постоянной. При каком наклоне к горизонту время соскальзывания тела с наклонной плоскости будет наименьшим, если коэффициент трения k = 0.25?

35. Два бруска лежат на гладком столе один на другом. Масса верхнего бруска m₁ = 2 кг, нижнего m₂ = 4 кг. Коэффициент трения между брусками k = 0.25. Какую максимальную силу можно приложить к верхнему бруску в горизонтальном направлении, чтобы он не проскальзывал?

36. На гладкую горизонтальную плоскость помещены три тела массами т₁, т₂ и т₃, связанные нитями между собой и с телом массой М, привязанное к нити, перекинутой через блок (рис.). Найти ускорение а системы. Найти натяжения всех нитей. Трением в блоке, массами блоков и нитей пренебречь.

Ответ: ; ;

;

37. На верхнем краю гладкой наклонной плоскости ук­реплен блок, через который перекинута нить (рис.). На одном се конце привязан груз массы m_1; лежащий на наклонной плоскости. На другом конце висит груз массы т₂ С каким ускорением a движутся грузы и каково натяжение T нити? Наклонная плоскость образует с горизонтом угол α.

Ответ:

38. Автомобиль “Жигули» на скорости v = 50 км/ч способен двигаться вверх по дороге с уклоном α = 16⁰ . При движении по ровной дороге с таким же покрытием и на той же скорости мощность, расходуемая двигателем, составляет N = 20 л.с. (1 л.с. = 736 Вт). Найти максимальную мощность двигателя, если масса автомобиля 1200 кг.

Ответ: N_max = 81,2 л.с.

39. Лодка длиной L₀ наезжает, двигаясь по инерции, на отмель и останавливается из-за трения, когда половина ее длины оказывается на суше. Какова была начальная скорость лодки v? Коэффициент трения равен μ.

Ответ: v = ½(μgL)^1/2

40. Лодка массы М с находящимся в ней человеком массы т неподвижно стоит на спокойной воде. Человек начинает идти вдоль по лодке со скоростью u относительно лодки. С какой скоростью w будет двигаться человек относительно воды? С какой скоростью v будет при этом двигаться лодка относительно воды? Сопротивление воды движению лодки не учитывать.

Ответ:

41. Человек прошел вдоль по лодке, описанной в предыдущей задаче, путь l. Каковы при этом будут смещения лодки S₁ и человека S₂ относительно воды?

Ответ:

42. Две пружины жесткостью 310² Н/м и 510² Н/м соединены последовательно. Определить работу по растяжению обеих пружин, если вторая пружина растянута на 3 см. Определить также коэффициент жесткости системы двух пружин.

43. Математический маятник (груз малых размеров на легком подвесе длиной l) находится в положении равновесия. Определить какую минимальную скорость u надо сообщить грузу, чтобы он мог совершить полный оборот, для двух случаев: а) груз подвешен на жестком стержне; б) на нити.

Ответ: v² ≥ 4gl; v² ≥ 5gl

44. На наклонной плоскости (α угол наклона плоскости) стоит ящик с песком; коэффициент трения μ ящика о плоскость равен тангенсу угла α. В ящик вертикально попадает некоторое тело и остается в нем. Масса ящика М, масса тела m.При каком условии ящик будет двигаться после попадания в него тела?

45. Вверх по наклонной плоскости, образующей угол α к горизонту, движется брусок. В тот момент, когда его скорость равна V , на брусок вертикально падает со скоростью v пластилиновый шарик такой же массы, как и брусок, и прилипает к нему. Определить время τ, через которое брусок с шариком остановятся. Коэффициент трения равен μ. При каком значении μ это возможно?

Ответ: τ = (1/2g) (((V-μvcosα)/(μcosα – sinα)) – v); μ ≤ tgα + (V/vcosα) )

46. Два идеально упругих шарика массами m₁ и m₂ вдоль одной и той же прямой со скоростями v₁ и v₂ . Во время столкновения шарики начинают деформироваться, и часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем деформация уменьшается, и запасенная потенциальная энергия вновь переходит в кинетическую. Найти значение потенциальной энергии деформации в момент, когда она максимальна.

Ответ: П = (1/2) (m₁m₂/(m₁ + m₂)) (v₁ – v₂)²)

47. Шар, летящий со скоростью V, ударяется о покоящийся шар, масса которого в 3 раза больше массы налетающего шара. Найти скорости шаров после удара, если в момент столкновения угол между линией, соединяющей центры шаров, и скоростью налетающего шара до удара равен 60⁰. Удар абсолютно упругий. Трения нет.

Ответ: V₁ = V(13)^1/2/4; V₂ = V/4

48. Движущаяся частица претерпевает упругое соударение с покоящейся частицей такой же массы. Доказать, что после столкновения, если оно не было центральным, частицы разлетятся под прямым углом друг к другу. Как будут двигаться частицы после центрального соударения?

Ответ: при центральном ударе частицы обмениваются скоростями; при нецентральном – угол между скоростями составляет 90⁰.

49. Два шарика падают в воздухе. Шарики сплошные, сделаны из одного материала, но диаметр одного из шариков вдвое больше другого. В каком соотношении будут находиться скорости шариков при установившемся (равномерном) движении? Считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна площади поперечного сечения движущегося тела и квадрату его скорости.

Ответ: скорость большего шарика будет в √2 раз больше скорости меньшего.

50. Стальной шарик радиуса 0,05 мм падает в широкий сосуд, наполненный глицерином. Найти скорость v установившегося (равномерного) движения шарика. Коэффициент внутреннего трения в глицерине равен η = 14 дин-с/см², плотность глицерина d_x = 1,26 г/см³, плотность стали d₂ = 7,8 г/см³.

Указание. Для решения задачи воспользоваться гидродинамической формулой Стокса, выражающей силу сопротивления, испытываемую шариком, движущимся в вязкой жидкости: f=6πrvη.

Ответ:

51. За интервал времени t после начала движения амплитуда затухающих колебаний уменьшилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время энергия уменьшится вдвое?

Ответ: W₀/4; t /2

52. Колеблющаяся точка совершает затухающие колебания. Амплитуда первого колебания 1 мм, логарифмический декремент затухания 0.002. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до полного затухания колебаний. (Ответ: 2 м)

53. У монокристалла сапфира для колебаний при низкой температуре и соответствующей подвеске в вакууме добротность лежит в пределах 10⁸ – 10⁹. Частота колебаний монокристалла ₀ = 10⁴ с^-1. Во сколько раз может измениться частота колебаний за сутки?

Ответ: от 1.5 до 50

54. Начальная амплитуда колебаний маятника равна 3 см. Через 10 с она равна 1 см. Через сколько времени амплитуда колебаний будет равна 0.3 см? (Ответ: 21 с)

55. Найти логарифмический декремент затухания колебаний математического маятника длиной 0.8 м, если его начальная амплитуда 5^о, а через 5 мин она уменьшается до 0.5^о. Ответ: 0.014

56. Три последовательных крайних положения качающейся стрелки гальванометра пришлись против делений n₁ = 20.0; n₂ = 5.6 и n₃ = 12.8. Считая декремент затухания постоянным, определить деление, соответствующее положению равновесия стрелки. Ответ: 10.4

57. Груз, свободно колеблющийся на пружине, за 0.01 с сместился с расстояния 0.5 см от положения равновесия до максимального отклонения, равного 1 см. Найти период колебаний (Ответ: 0.12 с)

58. Через сколько времени энергия колебаний камертона с частотой 600 Гц уменьшится в 10⁶ раз, если логарифмический декремент затухания равен 0.002? (Ответ: 14 с)

59. Амплитуда затухающих колебаний уменьшается за период в 3 раза. На сколько процентов период затухающих колебаний больше, чем период при отсутствии затухания?

Ответ: 1.5%

60. Период малых колебаний шарика, подвешенного на пружине, равен Т = 0,5 с. Пренебрегая массой пружины, найти статическое удлинение пружины x под действием веса того же шарика.

Ответ: x  6,2 см

61. Небольшой шарик массы m, летящий горизонтально, со скоростью v, ударяется в вертикально расположенную упругую сетку. Считая, что сила взаимодействия шарика с сеткой прямо пропорциональна величине деформации с коэффициентом k, определить время t, за которое сетка получит максимальную деформацию.

Ответ: t = (/2)(m/k)^1/2 .

62. Шарик массы m подвешен на двух последовательно соединенных пружинах с коэффициентами упругости k₁ и k₂. Определить период его вертикальных колебаний.

Ответ: T = 2(m(1/k₁ + 1/k₂)) ^1/2

63. На доске лежит груз массы 1 кг. Доска совершает гармонические колебания в вертикальном направлении с периодом Т = 1/2 с и амплитудой А = 1 см. Определить величину силы давления F на доску.

Ответ: F = (9.8 + 1.58 cos4t) H

64. Академик А.Ф. Иоффе для определения амплитуды колебания ножки камертона подносил к ней стальной шарик на нити вплоть до соприкосновения шарика с ножкой. Какова амплитуда А колебания ножки камертона, если максимальный подъем шарика при многочисленных опытах после одного отскока оказался равным H ? Частота колебаний ножки камертона . Масса шарика много меньше массы камертона.

Ответ: A = (1/2)(gH/2)^1/2

65. Горизонтальная мембрана совершает синусоидальные колебания с круговой частотой ω и амплитудой A. На мембране лежит маленький грузик. При каком условии грузик будет колебаться вместе с мембраной и при каком начнет подскакивать?

66. Материальная точка (например, шарик на пружине) под действием квазиупругой силы F = — кх совершает колебания вдоль оси X относительно положения равновесия. Показать, что средние по времени значения кинетической и потенциальной энергий при таких колебаниях равны.