Рекуррентные системы

Предыдущие примеры ЛИС давали явные выражения выходных сигналов через входные. Предположим теперь, что входная последовательность обладает свойством:. Пусть

,

, (2)

где - натуральное, а- любые целые числа.. Эта система будет инвариантна, если соблюдены описанные выше ограничения. Имеется в виду, что вместе со сдвигом входной последовательности сдвигается и.Она будет линейной, если числоодно и тоже для обеих входных последовательностей. Она будет физически реализуемой, если. Последовательность, заданная соотношениями (2) называется рекуррентной, или последовательностью с бесконечным временем отклика. Для такой ЛИС также можно построить функцию отклика. Вопрос об устойчивости в терминах (2) будет рассмотрен ниже.

Фильтры.

Пусть имеется ЛИС с функция отклика , на вход которой подается, а на выходе получается последовательность. Переходя в (1) к преобразованиям Фурье, получим

(3).

Уравнение (3) является основным в теории фильтрации. Функция называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой, тобудет периодической функцией с периодом. Если последовательность- вещественная, то. Отсюда следует, функцияявляется симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервалеи изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.

Фильтры с конечным временем отклика.

Предположим, что в последовательности лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечным временем отклика (FIR). В этом случае

. Переходя к преобразованиям Фурье и учитывая, что , получим, что. Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид

(4)

Фильтры с бесконечным временем отклика

Фильтром с бесконечным временем отклика (IIR) называется фильтр, определенный с помощью рекуррентного соотношения (2). Как было отмечено выше, это ЛИС, поэтому она может быть задана с помощью функции отклика . Последняя будет иметь бесконечное число ненулевых элементов, хотя и не может быть произвольной сходящейся последовательностью. Передаточную функцию находим, переходя в (2) к преобразованиям Фурье.

IIR фильтр является линейной инвариантной системой, а его функцию отклика можно найти формальным представлением в виде ряда:где,с последующим суммированием коэффициентов при одинаковых степенях.

2. Z-преобразование. Фильтры первого порядка z-преобразование

Иногда вместо преобразования Фурье используют Z-преобразование. Оно определяется формулой

(1)

В формуле (1) ряд является формальным, если же он сходится, то определяет аналитическую функцию. Для Z -преобразования справедливы аналоги свойств, доказанных для преобразования Фурье. Это же относится и к передаточной функции фильтра. В случае фильтра с бесконечным временем отклика

(2)

Формула (2) удобна в том случае, когда переменная Z может принимать любые значения на комплексной плоскости. Еще раз обратим внимание на то, что в формуле (2) предполагается, что ряд для имеет лишь конечное число ненулевых коэффициентов при положительных степенях. В этом случае мы можем в явной форме получить члены выходной последовательности.

Пример.

Пусть . Будем предполагать, чтоЛегко видеть, что решением является неограниченная последовательность. С другой стороны, согласно (2)

Формально возводя ряд в квадрат, получим тот же результат.

Условие устойчивости фильтра сводится к сходимости ряда для при Z=1.