Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

курсовая по метрологии отчет - 2012

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
06.06.2016
Размер:
410.34 Кб
Скачать

Задание к курсовой работе

Вариант 38

Путем взвешивания эталона определена ошибка ста весов. Результаты взвешивания сведены в таблицу:

-52

-142

34

-17

-88

-68

5

-232

9

65

-39

-76

68

3

34

-45

-106

-85

-115

-41

49

139

-141

-93

72

-14

-112

84

117

21

332

-92

69

-140

37

94

-42

-119

-205

-32

12

103

-84

-69

274

-39

-77

-131

177

-44

39

84

-41

-41

68

-70

-49

-71

-113

-183

56

16

64

-12

77

-113

-302

-85

51

-31

33

22

94

-94

83

76

4

121

0

-134

-54

177

59

59

-71

78

-78

-124

-29

-153

56

-107

-6

-6

-2

-129

24

117

-93

-159

Содержание работы:

1.Используя табличные значения необходимо найти математическое ожидание и дисперсию (Mx, Dx).

2.Найти доверительный интервал для Mx, Dx, соответствующий доверительной вероятности (1 – α) = 0,8.

3. Оценить вероятность попадания случайной величины X в интервал (0,6

÷ 1) X .

4.Для этой вероятности (3) найти интервал, соответствующий коэффициенту доверия (1 – α) = 0,85.

5.Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

6.Найти и построить доверительные области для f(x), соответствующие коэффициенту доверия (1 – α) = 0,9; и F(x), соответствующую коэффициенту доверия (1 – α) = 0,95.

7.Сгладить гистограмму и эмпирическую функцию распределения подходящим законом распределения.

8.Используя критерий согласия и критерий Колмогорова проверить правдоподобие гипотезы о совпадении выбранного закона распределения с истинным законом при уровне значимости α = 0,05.

1. Находим точечные оценки математического ожидания и дисперсии, учитывая, что n=100.

Выборочное среднее:

Исправленная дисперсия:

Выборочная дисперсия:

ˆ

MX

ˆ

DX

DX

x 1

n

xi

16,34

 

 

n

i 1

 

 

 

 

1

 

n

(xi

x)2 10295,68

n

 

 

 

1 i 1

 

 

 

 

1

n

(xi

x)2 10192,74

 

n i 1

 

 

 

 

 

2. Рассчитываем доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, доверительная вероятность (1 – α) = 0,8.

По формуле Ф( ) 1 0,40

2

и таблице значений Лапласа находим εα = 1,28.

Искомые доверительные интервалы будут иметь вид:

– для математического ожидания:

M1 ≤ MX ≤ M2,

 

 

 

ˆ

 

М1,2

 

 

DX ,

 

X

 

 

 

 

n

 

-29,42 ≤ MX ≤ -3,44.

– для дисперсии:

 

 

 

 

D1 ≤ DX ≤ D2,

 

 

 

 

ˆ

 

D1,2

 

2(n 1)DX

,

( 2n 3) )2

 

 

8690,57 ≤ DX ≤ 12528,92.

3. Находим точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х в интервал (0,6 ÷ 1) Х = (-16,34; -9,80). Т.к. в этот интервал попало m=2 экспериментальных значения, то искомая оценка будет равна

ˆ

m

 

 

2

 

P(X )

n

 

100

0,02

4. Рассчитываем доверительный интервал для вероятности P, оцененной в предыдущем пункте. Доверительная вероятность (1 – α) = 0,85. Тогда εα = 1,44 и искомый интервал имеет вид:

P1 ≤ P ≤ P2,

 

ˆ

 

 

2

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ

 

 

2

 

 

P

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

P1,2

 

 

 

 

 

 

P(1 P)

 

 

,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

n

4n2

1

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0075 ≤ P ≤ 0,052.

5. Для построения гистограммы Г(x) заключаем все экспериментальные данные в интервал (-302; 332) и разбиваем его на 10 равных разрядов, каждый длиной Xi = Xi Xi-1 = 63,4.

Частоты попадания экспериментальных точек в разряды гистограммы:

ˆ

ni

, i = 1, 2, …, r.

Pi

n

Значения гистограммы:

 

 

 

 

 

Г(x)

ni

,

 

 

 

 

 

n X i

где ni – число экспериментальных точек, попавших в разряд (Xi-1; Xi). По результатам расчетов составляем следующую таблицу:

Номер

Разряд

Число точек,

Частота

Значение

разряда,

попавших в

попадания ,

гистограммы

(Xi-1; Xi)

r

разряд, ni

Pi

Г(х)

1

(-302; -238,6)

1

0,01

0,00016

2

(-238,6; -175,2)

3

0,03

0,00047

3

(-175,2; -111,8)

14

0,14

0,00221

4

(-111,8; -48,4)

21

0,21

0,00331

5

(-48,4; 15)

23

0,23

0,00363

6

(15; 78,4)

24

0,24

0,00379

7

(78,4; 141,8)

10

0,10

0,00158

8

(141,8; 205,2)

2

0,02

0,00032

9

(205,2; 268,6)

1

0,01

0,00016

10

(268,6; 332)

1

0,01

0,00016

Рис.1. Гистограмма Г(х).

Соответствующую эмпирическую функцию рассчитываем по формуле

ˆ

nx

,

F (x)

n

где nx – число экспериментальных точек, лежащих левее х.

Рис.2 Эмпирическая функция распределения случайной величины F(x).

6. Находим доверительные области для плотности распределения f(x) и функции распределения F(x).

В данном случае общее число разрядов равно 10 плюс два полубесконечных разряда: (–∞; –302) и (332; +∞). Таким образом, r = 12.

Выберем доверительную вероятность (1 – α) = 0,9.

Из условия Ф( ) 12 (1 r ) 0,4958 найдем εα' = 2,64.

Доверительную область (Pi1; Pi2) для вероятности Pi = P(Xi-1 < X < Xi) попадания исходной величины Х в этот разряд находим по формуле

 

 

ˆ

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

ˆ

 

2

 

 

Pi

2n

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

Pi (1

Pi )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1,i 2

 

 

2

 

2

 

n

4n2

 

 

1

1

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Затем для каждого разряда гистограммы находим доверительную область для плотности распределения:

 

 

f

i1,i 2

 

Pi1,i 2

 

 

 

 

 

 

X i

 

 

Результаты заносим в таблицу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нижняя граница

 

Номер

Разряд

Частота

 

 

Верхняя граница

разряда,

попадания,

 

доверительного

доверительного

(Xi-1, Xi)

 

r

Pi

 

 

 

интервала, fi1(x)

интервала, fi2(x)

 

 

 

 

1

(-∞; -302)

0

 

 

 

0

0,00103

2

(-302; -238,6)

0,01

 

 

 

0,00002

0,00130

3

(-238,6; -175,2)

0,03

 

 

 

0,00012

0,00180

4

(-175,2; -111,8)

0,14

 

 

 

0,00113

0,00402

5

(-111,8; -48,4)

0,21

 

 

 

0,00194

0,00528

6

(-48,4; 15)

0,23

 

 

 

0,00219

0,00562

7

(15; 78,4)

0,24

 

 

 

0,00231

0,00579

8

(78,4; 141,8)

0,10

 

 

 

0,00071

0,00326

9

(141,8; 205,2)

0,02

 

 

 

0,00006

0,00156

10

(205,2; 268,6)

0,01

 

 

 

0,00002

0,00130

11

(268,6; 332)

0,01

 

 

 

0,00002

0,00130

12

(332; +∞)

0

 

 

 

0

0,00103

0,01200

0,01000

0,00800

0,00600

0,00400

0,00200

0,00000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Рис.3. Гистограмма с доверительной областью.

Находим доверительную область для функции распределения F(x).

F1(x) < F(x) < F2(x).

ˆ

 

 

 

 

F1,2 F (x)

n

.

 

 

Из условия K(λα) = 1 – α = 0,95 и таблицы предельного распределения Колмогорова находим λα = 1,36. Тогда

ˆ

1,36

ˆ

F1,2 F (x)

100

F (x) 0,136 .

Учитывая, что функция распределения F(x) является вероятностью, и доверительная область для нее не может распространяться ниже нуля и выше единицы, делаем построение F1,2(x) на графике (рис.4).

1

0

400

300

200

100

0

100

200

300

400

Рис.4. Эмпирическая функция распределения с доверительными интервалами.

7. Из формы гистограммы следует, что гипотетическим распределением может быть нормальное распределение с функцией

 

 

 

 

 

1

 

x x

) ,

 

 

 

 

 

 

FГ (x) 2

Ф(

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

x x

 

 

 

DX

 

 

 

где

Ф(

)

– функция Лапласа (определяется по таблице при

 

 

 

 

ˆ

 

 

 

 

 

 

 

 

DX

ˆ

– исправленная дисперсия.

 

 

 

 

 

рассчитанных значениях аргумента), DX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.5. Эмпирическая и гипотетическая функции распределения.

Для плотности

 

1

 

( x x )2

 

 

ˆ

f Г (x)

 

e

2DX .

ˆ

 

2 DX

 

 

0,00400

0,00000

0

2

4

6

8

10

12

14

Рис. 6. Функция плотности распределения.

8.Для проверки гипотезы H0: F(x) = Fг(х) при уровне значимости

α= 0,05 используем вначале критерий согласия χ2.

Экспериментальное значение критерия хи-квадрат

 

r

ˆ

2

 

э2

n

(Pi Pi )

 

,

Pi

 

 

i 1

 

 

где ˆ

Pi i разряд,

Pi Ф(

– экспериментальная частота попадания случайной величины Х в

хi x

) Ф(

xi 1 x

) – гипотетическая вероятность попадания

ˆ

 

 

ˆ

DX

 

DX

случайной величины в i-й разряд. Результаты расчетов заносим в таблицу:

Номер

Экспериментальная

Гипотетическая

 

ˆ

2

 

разряда,

 

(Pi Pi )

 

 

частота попадания,

ˆ

частота попадания, Pi

 

 

 

 

 

Pi

 

 

r

Pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0,01

 

0,00312

 

0,015

 

 

2

0,03

 

0,01469

 

0,016

 

 

3

0,14

 

0,08774

 

0,031

 

 

4

0,21

 

0,15870

 

0,017

 

 

5

0,23

 

0,23570

 

0,000

 

 

6

0,24

 

0,23240

 

0,000

 

 

7

0,1

 

0,16200

 

0,024

 

 

8

0,02

 

0,07490

 

0,040

 

 

9

0,01

 

0,02449

 

0,009

 

 

10

0,01

 

0,00616

 

0,002

 

 

 

r

ˆ

 

2

r

ˆ

2

 

Таким образом, э2

n

(Pi Pi )

 

100

(Pi Pi )

 

13,899

 

 

Pi

 

 

i 1

 

Pi

 

i 1

 

 

Гипотетическое значение критерия хи-квадрат при выбранном уровне

значимости α = 0,05 и числе степеней свободы s = r – 1 – k = 12 – 1 – 2 = 9

χα2 = 16,919.

Так как χэ2 < χα2, выбранная гипотеза является правдоподобной по критерию хи-квадрат.

Проверим ту же самую гипотезу с помощью критерия согласия Колмогорова. Максимальное различие между гипотетической и эмпирической функциями распределения:

ˆ . D max | FГ (x) F (x) | 0,045

Экспериментальное значение критерия Колмогорова:

э D n 0,045 100 0,45 .

Гипотетическое значение того же самого критерия при уровне значимости α = 0,05 равно λα = 0,52.

Так как λэ < λα, то гипотеза H0 является правдоподобной также и по критерию Колмогорова.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете Метрология, стандартизация и сертификация