практика / Практическая работа №9

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №8 статистическая теория принятия решения. Теория полезности. Дерево решений. Вытаскивание шара

Выполнить сворачивание дерева решений для задачи со следующими исходными данными, приведенными в таблице 6.1

Таблица 6.1

Вариант	Количество ваз			Количество красных шаров			Количество черных шаров			Выигрыш, если угадал вазу			Проигрыш, если не угадал вазу			Плата за вытаскивание одного шара
	1-го типа	2-го типа	в вазе 1-го типа		в вазе 2-го типа	1-го типа		2-го типа	1-го типа		2-го типа	1-го типа		2-го типа
1	200	400	4		7	6		3	500		300	200		100	100

Наименование	Кол-во ваз	Кол-во шаров	Выигрыш	Проигрыш	Вероятность выбора вазы данного типа	Вероятность выбора красного шара
ваз 1-го типа	200	4кр + 6 ч	500	200	200/600=0,3	4/10=0,4
ваз 2-го типа	400	7кр + 3 ч	300	100	400/600=0,7	7/10=0,7

Среднее значение выигрыша для каждого из действий:

U (d1)=0,3*500 + 0,7*(-200)=150-140=10 д.е;

U (d2)= 0,7*300 + 0,3*(-100)=210-30=80 д.е.

Приведём все обозначения вероятностей:

p_k(B₁) - вероятность вытащить красный шар из вазы 1-го типа;

p_ч(B₁) - вероятность вытащить чёрный шар из вазы 1-го типа;

p_k(B₂) - вероятность вытащить красный шар из вазы 2-го типа;

p_ч(B₂) - вероятность вытащить чёрный шар из вазы 2-го типа;

p(B₁) - вероятность того, что ваза 1-го типа

p(B₂) - вероятность того, что ваза 2-го типа;

p(B_1/k) - вероятность того, что ваза окажется 1-го типа после вытаскивания красного шара;

p(B_1/ч) - вероятность того, что ваза окажется 1-го типа после вытаскивания чёрного шара;

p(B_2/k) - вероятность того, что ваза окажется 2-го типа после вытаскивания красного шара;

p(B_2/ч) - вероятность того, что ваза окажется 2-го типа после вытаскивания чёрного шара.

1. Рассчитаем эти вероятности:

p_k (B1)= 0,3*0,4= 0,12 , если ваза окажется 1-го типа,

p_k (B2)= 0,7*0,7= 0,49, если ваза окажется 2-го типа.

Следовательно, вероятность вытащить красный шар в общем случае:

p_k = p_k (B1) + p_k (B2) = 0,61.

Аналогичным образом можно подсчитать, что вероятность вытащить чёрный шар p_ч=0,39.

p_ч(B₁) = 0,3*0,6= 0,18 , если ваза окажется 1-го типа,

p_ч(B₂) = 0,7*0,3= 0,21, если ваза окажется 2-го типа.

Следовательно, вероятность вытащить черный шар в общем случае:

p_ч = p_ч(B₁) + p_ч(B₂) = 0,39.

ваза 1-го типа	ваза 2-го типа	Общий случай
pk (B1)= 0,12	pk (B2)= 0,49	pk = 0,61
pч(B1) = 0,18	pч(B2) = 0,21	pч = 0,39

2. Нужно знать вероятности принадлежности ваз к 1-му и 2-му типам после получения дополнительной информации. Эти вероятности позволяет определить формула Байеса.

Решение:

1. Считаем p(B_1/k) - вероятность того, что ваза окажется 1-го типа после вытаскивания красного шара

p(B_1/k)=0.12*0.61 / 0,12*0,61+0,49*0,61=0,0732 / 0,2989=0,24

2. Считаем p(B_1/ч) - вероятность того, что ваза окажется 1-го типа после вытаскивания чёрного шара

p(B_1/ч)=0,18*0.39 / 0,18*0.39+0,21*0,39=0,0702 / 0,0819=0,86

3. Считаем p(B_2/k) - вероятность того, что ваза окажется 2-го типа после вытаскивания красного шара;

p(B_2/k)=1- p(B_1/k)=0,76

4. Считаем p(B_2/ч) - вероятность того, что ваза окажется 2-го типа после вытаскивания чёрного шара.

p(B_2/ч)=1- p(B_1/ч)=0,14

Вывод: Следовательно, выбираем действие d₁ с вероятностью 0,86 того, что ваза окажется 1-го типа после вытаскивания черного шара

Существует три простых правила выбора оптимальной (по критерию максимума ожидаемой полезности) последовательности решений на основе дерева решений.

1) идти от конечных ветвей к его корню;

2) там, где есть случайность (кружок), находится среднее значение:

U (d1)=0,24*500 + 0,76*(-200)=120-152=-32 д.е;

U (d2)= 0,76*300 + 0,24*(-100)=228-24=204 д.е.

3) там, где есть этап принятия решений (квадратик), выбирается ветвь с наибольшей ожидаемой полезностью, а другая отсекается двумя чёрточками/

278

278

178

178

194