Добавил:

anashkina Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТОР Надольский АН, Минск 2005 (Книга)

.pdf

Скачиваний:

318

Добавлен:

30.04.2016

Размер:

1.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

4.5.Узкополосные сигналы

4.5.1.Общие сведения об узкополосных сигналах

Вразличных системах передачи информации широко применяются радиосигналы с модуляцией, являющейся комбинацией рассмотренных ранее видов амплитудной, угловой и импульсной модуляций. Модулирующий сигнал может иметь достаточно сложный закон изменения. Однако ширина его спектра, как правило, значительно меньше частоты ω0 несущего колебания. Это позволяет

отнести модулированные сигналы к классу узкополосных.

Узкополосный сигнал – это сигнал, эффективная ширина спектра которого ∆ωэф значительно меньше центральной частоты ω0 , вокруг которой группи-

руются спектральные составляющие сигнала. Физически такой сигнал относится к квазигармоническим сигналам, общее выражение для которых имеет вид

s(t) = A(t) cos[ω0t +ϕ(t)] = A(t) cosψ(t) ,

(4.7)

В этом выражении

A(t) – медленноменяющаяся функция времени, описывающая амплитудную огибающую данного сигнала;

ϕ(t) – фазовая функция сигнала; ѓХ(t) – полная фаза сигнала.

Описание реального узкополосного сигнала в виде выражения (4.7) является достаточно сложной задачей. Прямой путь решения задачи путем произвольного задания одной из функций A(t) или ѓХ(t) и последующего определения другой приводит, во-первых, к неоднозначности решения задачи, а во-вторых, – к получению выражения, в котором A(t) не всегда является огибающей. В то же время существует однозначный метод решения этой задачи.

Воспользуемся известным в теории методом комплексных амплитуд. Этот метод предполагает представление гармонического сигнала s(t) в тригономет-

рической и комплексной формах, т.е.

s(t) = A	cos(ω	t +ϕ)	и s(t) = Re[ A e j(ω0t +ϕ) ] = Re( Ae jω0t ) .
0	0		0

Здесь A = A0e jϕ – комплексная амплитуда сигнала, представляющая собой

комплексное число, модуль которого равен амплитуде сигнала, а аргумент – начальной фазе.

Применительно к узкополосному сигналу комплексная амплитуда, которую более правильно назвать комплексной огибающей, будет содержать всю информацию об основных параметрах (амплитуде и фазе), которые определяются модулирующим сигналом. Поэтому необходим метод, позволяющий однозначно представлять в комплексной форме любой узкополосный сигнал, что позволит обобщить понятие комплексной амплитуды и распространить его на узкополосные сигналы.

В основу такого метода положено представление вещественного (физического) сигнала s(t) в виде аналитического сигнала с использованием преобра-

зования Гильберта (Д. Гильберт – немецкий математик).

4.5.2. Аналитический сигнал

Пусть сигнал описывается действительной функцией s(t). Такому сигналу можно поставить в соответствие комплексный сигнал вида

z(t) = s(t) + js1(t) ,

где s1(t) – сопряженный сигнал, полученный с помощью прямого преобразования Гильберта от сигнала s(t) .

Прямое и обратное преобразования Гильберта имеют вид

∞

s(τ)

∞

(τ)

s1(t) =

∫

dτ ;

s(t) = −

∫

dτ .

t −τ

−∞

Определенный таким образом сигнал z(t) называется аналитическим.

Учитывая свойства комплексных функций, комплексный сигнал z(t) мож-

но представить следующим образом:

z(t) = s(t) + js (t) = A(t)e jψ (t) ,

s1 (t)

где A(t) = s2 (t) + s2 (t)

ѓХ(t) = arctg

– огибающая и полная фазы анали-

s(t)

тического сигнала.

Огибающая аналитического сигнала является по существу огибающей исходного сигнала s(t) (доказательство этого имеется в [1,2]).

Учитывая, что ѓХ(t) = ω0t + ϕ(t) , можно записать

z(t) = A(t)e jψ(t) = A(t)e jϕ(t)e jω0t = A(t)e jω0t .

Выражение A(t) = A(t)e jϕ(t) определяет комплексную амплитудную огибающую аналитического сигнала.

Следовательно, для сигнала, представленного в произвольном виде, можно определить амплитудную огибающую A(t) и фазовую функцию ϕ(t) , сформи-

ровав аналитический сигнал. Для этого достаточно получить мнимую часть аналитического сигнала, определив преобразование Гильберта от заданного сигнала.

Рассмотрим некоторые свойства аналитического сигнала. Для этого определим спектры и корреляционные функции сигнала s1(t) , комплексной ампли-

тудной огибающей A(t) и аналитического сигнала z(t) .

4.5.3. Свойства аналитического сигнала

а. Спектральная плотность и корреляционная функция сигнала s1(t)

Спектральная плотность S1( jω) сигнала s1(t) равна

∞

(t)e− jωtdt =

∞

s(τ)

− jωtdt .

( jω) =

∫

dτ e

−τ

−∞

Замена переменной: x = t − τ;

t = x + τ;

dt = dx .

∞ ∞

s(τ)

− jωx

− jωτ

∞

− jωτ

∫

∫s(τ)e

S1( jω) =

dτ

dx =

dτ

−∞

∞

−∞

Учитывая,

что

∫s(τ)e− jωτdτ = S( jω)

–

это спектр сигнала

записать

−∞

∞

cos

∞

( jω) =

S( jω)

∫

jωx dx − j

∫

sin jωx dx .

−∞

Интегралы в полученном выражении равны [10]:

∞

cos jωx dx = 0,

∫

−∞

e− jωx

dx .

s(t) , можно

∞ sin jωx
∞ sin jωx			ω = 0
∫	x	dx = 0 при	ω = 0
−∞	x

Окончательно получаем

	− jS(jω)		при ω> 0 ,
S1		0 при ω = 0 ,
	( jω) =
		jS(jω)	при ω< 0 .

Выводы.

1. Амплитудные спектры сигнала s(t) и сопряженного по Гильберту сигнала s1(t) одинаковы. Следовательно, если сигнал s(t) – узкополосный, то сигнал s1(t) также является узкополосным.

2. Фазовые спектры сигнала s(t) и сопряженного по Гильберту сигнала s1(t) отличаются на π2 со знаком, противоположным знаку частоты. Следовательно, сигналы s(t) и s1(t) могут значительно отличаться по форме.

Корреляционная функция сигнала связана обратным преобразованием Фурье с его амплитудным спектром. Выше было показано, что амплитудные спек-

тры сигнала s(t) и сопряженного по Гильберту сигнала s1(t) одинаковы. Поэтому можно сделать вывод, что корреляционная функция R1(τ) сигнала s1(t)

равна корреляционной функции R(τ)

сигнала s(t) , т.е.

∞

(ω)e− jωτ dω =

∞

− jωτ dω =R(τ) .

R1(τ) =

∫ S12

∫S2 (ω)e

2π

−∞

б. Спектральная плотность и корреляционная функция комплексной

огибающей A(t) аналитического сигнала

Спектральная плотность комплексной огибающей равна

∞

S A( jω) = ∫ A(t)e− jωtdt = ∫z(t)e− jω0te− jωtdt = ∫z(t)e− j(ω+ω0 )tdt .

−∞

Таким образом,

S A ( jω) = Sz [ j(ω + ω0 )]

или

Sz ( jω) = S A[ j(ω −ω0 )] ,

где Sz ( jω) – спектр аналитического сигнала z(t) .

Определим связь между корреляционной функцией RA (τ) комплексной

огибающей и корреляционной функцией Rz (τ) аналитического сигнала.

∞

2 e jωτ dω =

∞

2 e jωτ dω .

RA (τ)

∫

RA( jω)

∫

Sz [ j(ω +ω0 )

2π

−∞

Замена переменной: x = ω +ω0 ;

ω = x −ω0 ; dω = dx .

Окончательно получим:

∞

−

ω τ

− ω τ 1

∞

RA (τ) =

∫

Sz ( jx)

e jxτ e

dx = e

j 0

∫

Sz ( jx)

e jxτ dx ;

2π

−∞

RA (τ) = Rz (τ)e− jω0τ

или

Rz (τ) = RA (τ)e jω0τ .

Выводы.

1. Спектр S A ( jω) комплексной огибающей аналитического сигнала представляет собой сдвинутый на ω0 влево спектр аналитического сигнала. Други-

ми словами, комплексная огибающая аналитического сигнала – это низкочастотный его эквивалент, а метод замены сигналов их комплексными огибающими при анализе прохождения сигналов через различные цепи называется методом комплексных огибающих, или методом низкочастотных эквивалентов. В общем случае спектр комплексной огибающей не является симметричным относительно нулевой частоты (рис. 4.19, в).

2. Между корреляционной функцией комплексной огибающей и корреляционной функцией аналитического сигнала существует достаточно простая связь.

в. Спектральная плотность и корреляционная функция аналитического сигнала

Аналитический сигнал z(t) = s(t) + js1(t) . Учитывая свойства преобразо-

вания Фурье, можно записать

Sz ( jω) = S ( jω) + jS1( jω) .


	− jS(jω)		при ω > 0			,
Так как S1		0 при ω= 0 ,
Так как S1	( jω) =	0 при ω= 0 ,
		jS(jω)	при ω< 0			,
		jS(jω)	при ω< 0			,
			2S(jω)		при ω> 0		,
то	Sz ( jω) =			S(0)	при ω= 0		,
то	Sz ( jω) =			S(0)	при ω= 0		,
				0 при ω< 0 .
				0 при ω< 0 .

Спектральная плотность аналитического сигнала существует только в области положительных частот и равна удвоенной спектральной плотности исходного сигнала при ω > 0 и спектральной плотности исходного сигнала при

ω = 0 (рис. 4.19,а,б).

Рис. 4.19. Амплитудные спектры физического сигнала (а), аналитического сигнала (б) и его комплексной огибающей (в)

Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье, можно получить следующую формулу для аналитического сигнала:

	1	∞		1	∞
z(t) =		∫Sz ( jω)e jωtdω =			∫S( jω)e jωtdω .	(4.8)
	2π		π
		0			0

Связь спектральной плотности комплексной огибающей аналитического сигнала и спектральной плотности физического сигнала определяется выражением

2S [ j(ω+ω0 )]		при	ω> −ω0 ,
	S(− jω0 )	при	ω = −ω0 ,
SA( jω) =
	0	при	ω< −ω0 .

Полученный результат иллюстрируется рис. 4.19,в.

Пример.

Задан физический сигнал s(t) , имеющий равномерную спектральную плотность S0 в полосе частот −ωm ≤ω ≤ωm . Определить аналитический сигнал, соответствующий сигналу s(t) .

Для определения аналитического сигнала воспользуемся формулой (4.8).

∞

jωt

S0 ωm

jωt

jω

z(t) =

∫S( jω)e

dω =

∫

dω =

−1).

jπ t

Учитывая,

что

z(t) = s(t) + js1 (t) ,

выделим физический и сопряженный

ему сигналы:

S0 (sinωmt + j2 sin2 ωmt 2) .

z(t) =

(cosωmt + j sinωmt −1)=

jπt

πt

Следовательно,

sin2 ω

S ω

sinω

S ω

s(t) =

s (t) =

0 m

ωmt

Графики спектра физического сигнала, а также графики физического и сопряженного сигналов для данного примера приведены на рис. 4.20.

Определим связь корреляционной функции R(τ) узкополосного сигнала с корреляционными функциями Rz (τ ) и RA (τ) аналитического сигнала и его

комплексной огибающей.

Так как z(t) = s(t) + js1(t) , то s(t) = Re[z(t)]. Следовательно,

∞∞

R(τ) = ∫ s(t)s(t −τ)dt = ∫Re[z(t)]Re[z(t −τ)]dt .

−∞ −∞

Рис. 4.20. Спектр физического сигнала (а), физический и сопряженный по Гильберту сигналы (б)

Для комплексных чисел x = a + jb и		y = c + jd справедливо следующее
соотношение: Re(x)Re( y) =1 2 Re(xy) +1 2 Re(xy ) . Тогда можно записать
R(τ) = 1	∞	1	∞
	∫Re[z(t)z(t −τ)]dt +		∫Re[z(t)z (t −τ)]dt .	(4.9)
2	−∞	2	−∞

Определим значение первого слагаемого.

	∞			∞
1	∫ Re[z(t)z(t −τ)]dt = 1			∫Re{[s(t) + js1(t)][s(t −τ) + js1(t −τ)]}dt =
2	−∞		2	−∞
	−∞			−∞
	= 1	∞		1	∞				1 R(τ) −	1
	= 1	∫ s(t)s(t −τ)dt −		1	∫s1(t)s1(t −τ)dt =				1 R(τ) −	1	R1(τ) = 0.
	2	−∞		2	−∞				2	2
		−∞			−∞
Итак, первое слагаемое выражения (4.9) равно 0 в силу равенства корреля-
ционных функций сигналов s(t) и s1(t).
Таким образом,
			∞					∞			1 Re[Rz (τ)].
	R(τ) =	1	∫Re[z(t)z (t −τ)]dt = 1 Re ∫ z(t)z (t −τ)dt =								1 Re[Rz (τ)].
		2	−∞		2			−∞			2
			−∞					−∞
В свою очередь так как Rz (τ) = RA (τ)e− jω0τ , то
			R(τ)		=	1	Re[RA (τ)e− jω0τ		].
			R(τ)		=		Re[RA (τ)e− jω0τ		].
					2

Получены важные соотношения между корреляционной функцией R(τ) узкополосного сигнала, корреляционной функцией Rz (τ) аналитического сигнала и корреляционной функцией RA (τ) комплексной огибающей аналитиче-

ского сигнала.

Получим соотношение между энергиями физического и аналитического сигналов.

В соответствии с равенством Парсеваля энергия физического сигнала рав-

на

∞

2 dω =

∞

2 dω .

Э =

∫

S( jω)

∫

S( jω)

2π

−∞

В свою очередь энергия аналитического сигнала определяется соотношением

∞

2 dω =

∞

2 dω =

∞

2 dω = 2Э.

Эz =

∫

Sz ( jω)

∫

2S( jω)

∫

S( jω)

2π

−∞

Сравнение приведенных соотношений показывает, что энергия аналитического сигнала в 2 раза больше энергии физического сигнала. Это понятно, если учесть, что преобразование Гильберта не изменяет амплитудных соотношений в спектре сигнала.

5. ЛИНЕЙНЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

5.1. Общие сведения о линейных цепях

Устройства, осуществляющие формирование и преобразование сигналов в составе информационных систем связи и обработки, весьма разнообразны по принципам структурной и функциональной организации, внешним характеристикам. Значительная часть этих устройств адекватны линейным моделям, которые в радиотехнике получили название линейные цепи.

Линейные радиотехнические цепи – это цепи, у которых существует ли-

нейная зависимость между входными и выходными сигналами. Такие цепи содержат только линейные элементы (пассивные и активные) с параметрами, не зависящими от приложенного к ним напряжения и протекающего через них тока.

Различают линейные цепи с постоянными параметрами и переменными, изменяющимися во времени (параметрические цепи). Ниже рассматриваются только линейные цепи с постоянными параметрами, которые будем называть просто линейные цепи.

Функционирование линейных цепей описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции: реакция цепи на сумму входных сигналов равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности. С позиций спектрального анализа выходной сигнал линейной цепи можно рассматривать как результат суперпозиции его спектральных составляющих, которые в свою очередь являются реакцией цепи на соответствующие спектральные составляющие входного сигнала. Математически это записывается так:

T[∑xi (t)] =∑T [xi (t)] ; T [cxi (t)]=cT [xi (t)],

i i

где T – функционал преобразования цепи.

Важным свойством линейных цепей является также тот факт, что линейные цепи не обогащают спектр входного сигнала. Это означает, что в спектре выходного сигнала не появляются составляющие, которые отсутствуют в спектре входного сигнала. Следовательно, общее количество спектральных составляющих в спектре выходного сигнала не может быть больше, чем их количество в спектре входного сигнала.

Следствием этих свойств является то, что гармонический сигнал, проходя через линейную цепь, остается неизменным по форме. Измениться могут только его амплитуда и начальная фаза.

По характеру временной зависимости выходного сигнала от входного различают безынерционные и инерционные радиотехнические цепи.

5.2.Основные характеристики линейных цепей

5.2.1.Характеристики в частотной области

Спектральное представление сигналов делает весьма удобным их анализ в частотной области. При этом возможно решение задачи о прохождении различных сигналов через линейные цепи, основанное на важном свойстве линейных цепей – справедливости принципа суперпозиции. Необходим только способ определения реакций на выходе цепи, возникающих под воздействием каждой спектральной составляющей. Выходной сигнал при этом можно получить в результате суммирования этих реакций. Такой способ расчета сигналов на выходе линейных цепей основан на использовании их частотных характеристик.

Характеристикой цепи в частотной области является ее передаточная функция, которая определяется в стационарном режиме как отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала (напряжения или тока) на выходе цепи к комплексной амплитуде гармонического сигнала на ее входе. В зависимости от характера сигналов на входе и выходе цепи передаточная функция может иметь следующие свойства:

коэффициента передачи по напряжению K( jω) = Uвых ;

Uвх

сопротивления Z ( jω) =	Uвых	;
сопротивления Z ( jω) =		;
	Iвх		Iвых
коэффициента передачи по току K I ( jω) =			Iвых	;
коэффициента передачи по току K I ( jω) =			Iвх	;
			Iвх

проводимости Y ( jω) = Iвых .

Uвх

Наиболее часто используют первые две характеристики.

Коэффициент передачи по напряжению K( jω) будем называть в дальней-

шем частотным коэффициентом передачи, или просто частотной характеристикой. Однако надо иметь в виду, что в литературе эту частотную характеристику называют по-разному: передаточной функцией [1,3], комплексным коэффициентом передачи [6], комплексной передаточной функцией [9], комплексным коэффициентом усиления [7,12].

Передаточную функцию Z( jω) будем называть комплексным сопротивле-

нием.

Частотный коэффициент передачи как комплексное число можно выразить в показательной форме через модуль и аргумент, т.е.

K( jω) =	Uвых	= K(ω)e	jϕ(ω)	, K (ω) =	Uвых	,	ϕ(ω) = ϕвых −ϕвх. (5.1)
	Uвх				Uвх

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2016482.82 Кб19TsMU_variant_14.doc
#
30.04.2016429.7 Кб7КР №1 РЦС В3.pdf
#
30.04.20161.74 Mб318ТОР Надольский АН, Минск 2005 (Книга).pdf
#
03.02.201614.71 Кб11Философия древних Индии и Китая.docx
#
03.02.201641.03 Кб7Экология контрольная.docx