Определить

Найти токи и напряжения схемы рис. 1.7.1, а также убедиться в достаточности мощности резистора R. Построить векторную диаграмму напряжений и токов.

Решение

Находим емкостное сопротивление конденсатора C₁:

.

Находим емкостное сопротивление конденсатора C₂:

.

Вычислим сопротивление разветвленной части схемы:

Находим сопротивление X_AB всей цепи:

Тогда ток I₁ будет равен:

Находим напряжение U₁:

Найдем угол сдвига тока I₁ относительно источника ЭДС E.

,

где

.

Тогда

.

Найдем мощность рассеиваемую в цепи между точками А и В:

.

В данной цепи имеется только одно сопротивление R, в котором будет рассеиваться вся мощность. Убедиться в достаточности мощности сопротивления R можно также следующим образом:

Тогда

.

Выбранная по условию мощность P_R = 1 Вт для сопротивления R, достаточна.

Найдем ток I₃, протекающий через резистор R:

.

Найдем ток I₂, протекающий через конденсатор С₂:

Выполним проверку вычисленных токов:

.

Искомые токи можно вычислить, применив к цепи рис. 1.7.1, например, метод контурных токов, положив, что I_K1 = I₁, а I_K2 = I₂. Тогда, система уравнений в матричной форме будет иметь вид:

.

Главный определитель системы:

Произведя замену первого столбца главного определителя системы, столбцом свободных параметров получим:

Находим контурный ток I_K1 = I₁:

,

что при незначительном расхождении совпадает с полученным выше результатом.

Произведя замену второго столбца главного определителя системы, столбцом свободных параметров получим:

Находим контурный ток I_K2 = I₂:

что совпадает с полученным выше результатом.

Ток I₃, протекающий через резистор R, можно найти, воспользовавшись первым законом Кирхгофа, а напряжение U₂ – законом Ома для участка цепи.

Строим векторную диаграмму рис. 1.7.2 (масштаб произвольный).

j

U₂

U₂

I₁

I₂

U₂

U₂

I₃

U₁

Рис. 1.7.2

1.8

Дано

R₁

wL₃

; ; Ом;Ом;Ом.

Рис. 1.8.1

Определить

Токи и напряжения на элементах, применив метод контурных токов (рис. 1.8.1). Проверить баланс мощностей. Построить векторную диаграмму. Задачу решить методом комплексных амплитуд.

Решение

Система уравнений электрической цепи (рис. 1.8.1) в матричной форме:

.

Вычислим главный определитель системы.

.

Произведя замену первого столбца главного определителя системы, столбцом свободных параметров, получим:

.

Находим величину контурного тока :

.

Произведя замену второго столбца главного определителя системы, столбцом свободных параметров, получим:

Находим величину контурного тока :

.

Вычислим ток :

Найдем напряжение на резисторе R₁:

.

Ищем напряжение на конденсаторе С₂:

Ищем напряжение на катушке индуктивности L₃:

Проверяем баланс мощностей.

Комплексная мощность:

Активная мощность цепи:

,

или

.

Реактивная мощность цепи (без j):

,

или

что при незначительных расхождениях совпадает с вещественной и мнимой частями комплексной мощности.

Строим векторную диаграмму рис. 1.8.2 (масштаб произвольный).

Рис. 1.8.2

+

j

1.9

Дано

В; Ом; Ом.