Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач-Пономаренко ВН

.pdf

Скачиваний:

283

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

10.2. Вычислить пределы функций:

lim

2cos2 x

−1

;

ln sin x

x→π

/ 2

lim

ln (x − 3 2x −3 )

;

sin (π x

/ 2)−sin (π x −π )

x→2

lim

etg2 x −e−sin 2 x

sin x −1

;

x→π

/ 2

lim

sin ( 2x2 −3x −5 − 1+ x )

;

ln (x −

−ln (x +1)+ln 2

x→3

lim

ln (4x −1)

;

x→1/ 2

1 −cosπx −1

x +2

arcsin

11) lim

;

x→−2 3 2+x+x2 −9

13) lim

tg ln (3x −5)

;

ex+3 − ex

x→2

15) lim

1 + ln

2 x −1

;

1 + cosπ x

x→1

17) lim

ln (2x −5)

;

x→3

esinπx

−1

19)

lim

esin 2 x

−etg2 x

;

ln (2x /π )

x→π

/ 2

21) lim

2x + 7 − 2x+1 + 5

;

x3 −1

x→1

23) lim (

x3 −π

)

sin 5x

;

sin

x→π

−1

ln (cos 2x) 25) lim ( );

x→π ln cos 4x

lim

(2x −1)2

;

esin π x

− e−sin 3π x

x→1/ 2

lim

tg x − tg 2

;

sin ln (x −1)

x→2

lim

lnsin x

;

(6x −π)2

x→π / 6

lim

(x − 2π )2

;

x→2π tg (cos x −1)

10) lim

2sin πx −1

;

ln (x3 −6x −

x→3

12) lim ln cos2x2 ;

x→π

1−

14) lim

ln cos x

;

x→2π 3sin 2x −1

16) lim

cos(x / 2)

;

esin x −esin 4 x

x→π

18)

lim

esin2 6 x − esin2 3 x

;

log

3 cos 6x

x→π / 3

20) lim

tg(ex+2 −ex2 −4 )

;

tg x + tg2

x→−2

22) lim

ln (2 + cos x)

;

(

3sin x

)

x→π

−1 2

24) lim

tg (x +1)

;

x→−1 e3 x3 −4 x2 +6 − e

26)

lim

lnsin x

;

(2x −π )2

x→π

/ 2

27) lim	72 x −53x	;
	2x −arctg3x
x→0

29) lim	62 x −7−2x				;
29) lim					;
x→0 sin3x −2x
31) lim	32 x −53x				;
31) lim	arctg x + x3				;
x→0	arctg x + x3
33) lim	e2 x − ex			;
33) lim	x + tg x2			;
x→0	x + tg x2
35) lim	1+ xsin x −cos2x						;
x→0	sin2 x
37) lim	tg x +1 −				sin x +1			;
37) lim				x3				;
x→0				x3
39) lim	1+ xsin x −1					;
39) lim		2	−1			;
x→0	e	x	−1
	e
41) lim	1− x2	;
41) lim	sinπx	;
x→1	sinπx

43) lim1−cos 2x + tg2 x ; x→0 xsin 3x

45) lim			2x			−2	;
45) lim				ln x			;
	x→1			ln x
47) lim		1 −				cos x		;
	x→0	1 −cos					x
49)	lim				2sin		2 x +sin x −1			;
49)	lim				2sin2 x −3sin x +1					;
	x→π	/ 6			2sin2 x −3sin x +1
51) lim						3x+1 −3			;
51) lim			ln(1+ x 1+ xex )						;
	x→0		ln(1+ x 1+ xex )
53)	lim			1−sin3 x				;
53)	lim					cos2	x	;
	x→π / 2					cos2	x

28) lim

e3x −e−2 x

;

2arcsin x −sin x

x→0

30) lim

e5x −e3x

;

x→0 sin 2x −sin x

32) lim

102 x

− 7−x

;

2tg x − arctgx

x→0

34) lim

23x −32 x

;

x +arcsin x3

x→0

36) lim

x3 +1

;

x→−1 sin(x +1)

38) lim

1−cos 2x

;

x→π / 3 sin(π −3x)

−x

)

40) lim

x(e

−e

;

+1 − e

x→0

42) lim

sin x −cos x ;

x→π / 4

ln tgx

44) lim

1 − x

;

log2 x

x→1

46) lim

x + 2 −

;

sin 3x

x→0

48) lim

3 5 + x − 2

;

sinπx

x→3

50) lim

lg x −1

;

x −9 −1

x→10

52) lim

cos x −1

;

sin2 2x

x→0

54) lim log3 x −1 .

x→3

tgπx

10.3. Вычислить пределы функций: 1) limx→0 (cos x )1x ;

1 + x 2x 1 x2

3) lim 1 x 3x ; x→0 +

5) lim(cosπx) 1(x sin π x) ;

x→0

	π		ctg x
7) lim tg		4	− x	;
x→0

9) lim (1 − xsin2 x)ln(1+π x3 );

x→0

11) lim(2 −esin x )ctgπx ;

x→0

13) limx→0 (2 −ex2 )1−cosπx ;

	sin 2x 1+x
15) lim		x	;
x→0

17) lim(cos x)x+3 ;

x→0

x2 + 4 x2 +3

19) lim ; x→0 x + 2

21) lim x + 2 cos x ; x→0 x + 4

	arcsin x				2 ( x+5)
23) lim		x				;
x→0		x
		3x −1		1
		3x −1	3	x −1		;
25) lim		x +1				;
x→1		x +1

cos x x−2 27) lim ;

x→2 cos2

29) lim (tg x)cos(3π / 4−x) ;

x→π / 4

limx→0 (2 −3arctg2

x )2 sin x ;

5 −

1sin2 3x

lim

;

x→0

cos x

x→0

(

+sin2 3x

)

1ln cos x ;

lim 1

−1

cos2

(π

+x)

lim

;

x→0

10) lim(

2 −cos3x)

;

ln(1+x2 )

x→0

12) lim x2

2 −cos x ;

x→0

14) lim(1 + tg2 x)ln(1+3x2 ) ;

x→0

16) lim 2 + x x ; x→0 3 − x

18) lim(cos(x /π))1+x ;

x→0

tg 4x 2+x

;

20) lim

x→0

2 x

−1

x+1

22) lim

;

x→0

6 −

tg2 x

24) lim

;

cos x

x→0

2x −1

3 x−1

;

26) lim

x→1

x tg

πx

28) lim 2 −

;

x→a

ctg 2 x

30) lim (cos x)sin 3x ;

x→2π

31) lim (cos x)			1		;
31) lim (cos x)		sin2 2 x			;
x→2π
	6 − x tg		πx
	6 − x tg		6	;
33) lim				;
x→3	3
35) lim	(tg x)ctg x ;
x→π / 4
sin(x −1)						sin( x−1)
sin(x −1)						x−1−sin( x−1)	;
37) lim	x −1						;
x→1	x −1

39) lim (arcsin x)tg π x ;

x→1

32)	lim	(sin x)6tgx tg3x ;
	x→π / 2
			1
			x
			x		x−π	/ 2
34)	lim	tg					;
34)	lim	tg					;
	x→π / 2		2
36)	lim			6 x
36)	lim	(sin x)π ;
	x→π / 6
							1
		x + 2 −				2	x
38) lim							;
38) lim		x2 −4					;
	x→2	x2 −4
40)	lim	(cos x +1)sin x .
	x→π / 2

§11. Применение первой производной к исследованию функций

Теорема Ролля. Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a; b], диф-

ференцируема на (a; b) и f (a ) = f (b), то существует точка ξ (a; b):

f ′(ξ ) = 0 .
Теорема Лагранжа. Если функция						y = f (x ) непрерывна на отрезке [a; b],
дифференцируема				на	(a; b),	то	существует	точка		ξ (a; b):
f ′(ξ)=	f (b)− f (a)		.
f ′(ξ)=			.
		b −a
Функция		y = f (x ), определенная в промежутке a; b , в точке								x0 a; b
принимает		наибольшее			(наименьшее)		значение,	если	f (x0 )≥ f (x )
( f (x0 )≤ f (x )) для всех x a; b .
Функция		y = f (x ), определенная				в	промежутке	a; b ,	имеет	в точке

x0 (a; b) максимум (минимум), если существует такая окрестность этой точки

(x0 −δ; x0 +δ),	что f (x0 )> f (x ) ( f (x0 )< f (x )) для всех x (x0 −δ; x0 + δ ),
x ≠ x0 . Если	f ′(x0 )= 0, причем f ′(x ) меняет знак с плюса на минус (с минуса

на плюс) при прохождении точки x через точку x0 , то функция f (x ) в точке x0

имеет максимум (минимум).

11.1. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции

y= x3 + 4x2 − 7 x −10 на отрезке [-1; 2].

11.2.Проверить справедливость теоремы Ролля для функции y = ln sin x на отрезке π ; 5π .

6 6

11.3. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции y = 3 x2 −3x + 2

на отрезке [1; 2].

11.4.Показать, что уравнение x3 −3x + c = 0 не может иметь двух различных корней в интервале (0; 1).

11.5.Написать формулу Лагранжа для функции y = sin 3x на отрезке [x1; x2 ].

11.6.Написать формулу Лагранжа для функции y = x (1 − ln x) на отрезке [a;b].

11.7.Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции y = ln x на от-

резке [1;e].

11.8.Доказать с помощью формулы Лагранжа справедливость при a ≥ b неравенств nbn−1 (a −b)< an −bn < nan−1 (a −b), если n >1, и неравенств проти-

воположного смысла, если n ≤1.

11.9.Показать, что функция y = 2x3 + 3x2 −12x +1 убывает в интервале (−2;1).

11.10.Показать, что функция y = 2x − x2 возрастает в интервале (0; 1) и убы-

вает в интервале (1; 2). Построить график данной функции.

11.11.Показать, что функция y =arctg x − x везде убывает.

11.12.Найти интервалы монотонности функций:

1)	y =(x −2)5 (2x +1)4 ;
3)	y =	1	− x + x2	;
		1	+ x + x2

5)	y = 2x2 − ln x ;
7)	y =ln(x + 1+ x2 );

11.13.Найти экстремумы функций:

1)y = 2 x3 − 3x2 ;

3)y = 3x2 + 4x + 4 ;

x2 + x +1

5)	y = 3 x3 −3x2 +64 ;
7)	y =	2 x2 3	6x −7 ;
		3
9)	y =	4	3	;
9)	y =	9x 1 − x		;
		9x 1 − x

11) y = x − ln (1 + x);

13) y = (x −5)2 3 (x +1)2 ;

2) y = x2ex ;

4)	y =	10	;
		4x3 −9x2 +6x
6)	y = x − 2sin x , (0 ≤ x ≤ 2π );

8)y = x ax − x2 , (a > 0).

2)y = 2 x3 − 6 x2 −18x + 7 ;

	1
4)	y =		;
		ln (x4 + 4x3 +30)
6)	y = −x2 x2 + 2 ;
8)	y = 3 (x2 −a2 )2 ;

10) y = 1+3x ;

4 +5x2

12) y = x − ln (1 + x2 );

14) y =(x2 −2x)ln x − 32 x2 + 4x .

11.14.Найти наибольшее и наименьшее значения данных функций на указанных отрезках и в указанных интервалах:

1)	y = x4 − 2x2 + 5 , x [−2; 2];	2)	y = x + 2 x , x [0; 4];
3)	y = x5 − 5x4 + 5x3 +1, x [−1; 2];	4)	y = x3 −3x2 + 6x − 2 , x [−1; 1];
5)	y = 100 − x2 , x [−6; 8];	6)	y = 3 (x2 −2x)2 , x [0; 3];

π π

7)y = sin 2x − x , x − ; ; 8) y = x x , x [0,1; + ∞).

2 2

11.15.Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

11.16.Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?

11.17.Число 36 разбить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

11.18.Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был равен 72 см², причем стороны основания относились бы как 1 : 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

11.19.Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?

11.20.Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность.

11.21.Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим?

11.22.Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

11.23.На окружности дана точка А. Провести хорду ВС параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей.

11.24.На отрезке длиной l, соединяющем два источника света силы I1 и I2 ,

найти наименее освещенную точку.

11.25.Доказать, что в эллипсе расстояние от центра до любой нормали не превосходит разности полуосей. (Удобно воспользоваться параметрическим заданием эллипса.)

11.26.Доказать, что ln (1 + x)≤ x при x ≥ 0 .

11.27.Доказать, что π sin x ≥ 2x при 0 ≤ x ≤ π 2 .

11.28. Найти	наименьшее значение функции f (x) = x − asin x на отрезке
[0; π 2	] в зависимости от параметра а.

11.29. Найдите множество всех действительных чисел а, для каждого из кото-

рых функция f (x) = sin 2x −8(a +1)sin x + (4a2 +8a −14)x является воз-

растающей на всей числовой прямой и не имеет критических точек. 11.30. Доказать, что многочлен P(x) =12x3 +12ax2 −8ax −3 имеет хотя бы один

корень в интервале (0; 1) при любом a .
11.31. Пусть
		f (x)=	1	1	1
			1	1	1
			3 − x	5 −3x2	3x3 −1	.
			2x2 −1 3x5 −1 7x8 −1
Доказать, что найдется такое число с (0; 1), что						f ′(c )= 0 .
11.32. Непрерывная функция f (x )				выпукла вниз и		f (0)= 0 . Доказать, что
	f (x)	возрастает при x > 0 .
	x	возрастает при x > 0 .
	x

§12. Применение второй производной к исследованию функций

Критическая точка x0 , в которой f ′′(x0 )> 0 ( f ′′(x0 )< 0 ), является точкой минимума (максимума).

Функция y = f (x ) называется выпуклой вниз (вверх) на отрезке [a; b], если для любых x1 , x2 [a;b] дуга графика функции лежит ниже (выше) хорды, со-

единяющей точки (x1, f (x1 )) и (x2 , f (x2 )). Если f ′′(x )≥ 0 ( f ′′(x )< 0 ) на ин-

тервале (a; b), то f (x ) выпукла вниз (вверх) на этом интервале. Точка, в кото-

рой меняется направление выпуклости графика функции, называется точкой перегиба. В точке перегиба f ′′(x ) равна нулю или не существует.

12.1. Найти экстремумы данных функций, пользуясь второй производной:

1)	y = x3 − 2ax2 + a2 x ;	2)	y = x2 (a − x)2 ;
3)	y = x 2 − x2 ;	4)	y = x + 1− x ;
5)	y = ch ax ;	6)	y = x2e−x .

12.2.Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости графиков данных функций:

y = x3 − 5x2 + 3x − 5 ;

y =(x +1)4 + ex ;

y = x4 −12 x3 + 48x2 − 50 ;

y = x + 36 x2 − 2 x3 − x4 ;

y =

, (a > 0);

y = a ln

, (a > 0);

+3a2

− 3

−

b ;

y = x4

12ln x −7

)

(

12.3. Показать,

что линия y =

x +1

имеет три точки перегиба, лежащие на

x2 +1

одной прямой.

12.4.Убедиться в том, что графики функций y = ±e−x и y = e−x sin x (кривая затухающих колебаний) имеют общие касательные в точках перегиба линии y = e−x sin x .

12.5. Показать, что точки перегиба линии y = x sin x лежат на линии y2 (4 + x2 )= 4x2 .

12.6.При каких значениях а график функции y = ex + ax3 имеет точки перегиба?

12.7.Доказать, что абсцисса точки перегиба графика функции не может совпадать с точкой экстремума этой функции.

12.8.Доказать, что у любой дважды дифференцируемой функции между двумя точками экстремума лежит по крайней мере одна абсцисса точки перегиба графика функции.

12.9.Найти точки перегиба линии x = t2 , y = 3t + t3 .

12.10.Найти точки перегиба линии x = et , y = sin t .

12.11. Пусть функция		f (x)	выпукла на		и lim	f (x)	= lim	f (x)	=0. Дока-
12.11. Пусть функция		f (x)	выпукла на		и lim	x	= lim	x	=0. Дока-
					x→+∞	x	x→−∞	x
жите, что f (x) постоянна.
12.12. Пусть функция		f (x)	выпукла на [a; +∞). Докажите,					что существует
предел lim	f (x)	=l		, причем l > −∞ .
	f (x)
	x
x→+∞	x

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.06.2015256 Кб23СамГУ Контрольная Экон. теория 2 семестр ГМУ.doc
#
16.03.2015257 Кб24Самостоятельная работа.pdf
#
19.12.20188 Мб2Саша! САШАКАН!!!.doc
#
12.06.201561 Кб120Сборка.docx
#
16.03.2015179 Кб26Сборник заданий.doc
#
29.03.20161 Мб283Сборник задач-Пономаренко ВН.pdf
#
07.06.20151 Мб30сборник кон 22 июня.pdf
#
20.08.20197 Мб31Сборник лаб. работ по ТТИ.docx
#
01.07.20254 Мб0Сборник сх и алг 1.doc
#
22.11.20193 Мб85Сборник_1.doc
#
16.03.201512 Кб34СВАРКА Реком. литература.docx