Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач-Пономаренко ВН

.pdf

Скачиваний:

283

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

1) lim f (x)+ϕ(x) ;		2) lim f (x)ϕ(x) ?
x → x		x → x
	0	0

Рассмотреть в качестве примера предел lim xsin(1 x).

x → 0

5.3.f (x)= 3x − 5 . Пользуясь (ε −δ) – определением предела функции, дока-

зать, что lim f (x) =1.

x→2

5.4.f (x)= 3x2 − 2 . Пользуясь (ε −δ) – определением предела функции, дока-

зать, что lim f (x) =10.

x→2

5.5.f (x)= 3xx−+12 . Пользуясь (ε −δ) – определением предела функции, дока-

зать, что lim f (x) = 1.

x→∞ 3

5.6. Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения:

1) lim f (x) =b ;	2) lim f (x) =∞;
x→a	x→a

3) lim f (x) =+∞;	4) lim f (x) =−∞.
x→a	x→a
5.7. Найти пределы:

lim

− x2 +2x

;

lim

x2 −4

;

x2 + x

x + 2

x→0

x→−2

lim

− x

;

lim

x2 − 4x +5

;

− 27

x→3

x→−1 x2 −2x −3

lim

2x2 − x −3

;

lim

3x2 +2x −1

;

−x2 + x +2

x→1,5 2x2 −5x +

x→−1

lim

2x2 −7x −4

;

lim

3x2 −11x +6

;

−2x2 +5x +3

2x2 −5x −3

x→−0,5

x→3

lim

16 − x2

;

10) lim

x3 −8

;

−64

x2 + x −

x→4

x→2

11) lim

3x2 + 2x −1

;

12) lim

z3 + a3

;

27x3 −1

x→1/ 3

z→−a a2 − z2

13) lim

−a2

;

14) lim

;

− z4

z→a

x→0

x +4 −2

15) lim

2x +3 −3

;

x→3

3 − x

17) lim 2 −

6 + x ;

x→−2

7 − x −3

19) lim

x +1

;

x +

x→−1 x +

21) lim

x −1

;

x −1

x→1

23) lim

1 − x −

3 1 + x

;

x→0

25) lim

−

;

9 − x

x→−3

x +

27) lim

−

;

x→2

x − 2

−

29) lim

ctg 2x −

;

x→0

sin 4x

31) lim1−cos x ;

x→0 3cos2

33) lim

1− tg x

;

x→π

/ 4 sin x −cos x

35) lim sin x −tg x ;

x→0

4sin

2 x

37) lim

tg 6x

;

sin8x

x→0

39) lim sin10πx

;

x→0

tg 5x

41) limctg2

tg2 5x ;

x→0

43) lim arctg6x ;

x→0

sin3x

16) lim

x −

2 − x

;

x −1

x→1

18) lim

4x +1 −3

;

x→2

x + 2 − 2

20) lim

x −

3x + 4

;

x→4

16 − x2

22) lim

x −8

;

x→64 4 − 3

24) lim

−

;

x→1

x −1

−1

26) lim

−

;

x→1

−1

x −1

28) lim

tg x −

;

x→π

/ 2

cos x

30)

lim

1+sin 2x

;

x→−π / 4 sin x +cos x

32)

lim

cos x

;

x→π

/ 2 cos

−sin

34) lim sin 7x

;

x→0

sin 3x

36)

lim

1+ctg x

;

x→−π / 4

sin x

cos x

38) lim

tg10x

;

x→0

sin2 2x

40) lim

1 −cos3x

;

x→0

tg2 6x

42) lim sin(1− x)

;

x→1

x2 −1

44) lim

;

arcsin12x

x→0

45) lim arcsin 5x			;
x→0	tg 2x
47) lim	x2 −1				;
47) lim				1)	;
x→1 arcsin(x −				1)
				π
	sin x −			6
49) lim				6		;
49) lim	3					;
x→π / 6	3	−cos x
	2


51) lim	x2	−2x +5				;
51) lim		+	3x +7			;
x→∞ x3		+	3x +7
53) lim	2x2 +7x −1						;
53) lim	3x2 −5x +6						;
x→∞	3x2 −5x +6
55) lim	x −				x3	;
55) lim	x −			x	2	;
x→∞				x	+1

57) xlim→+∞(	x +5 −	x );
59) xlim→+∞(	2x +1 −	x +2 );
61) xlim→±∞(	x2 +10x − x);
63) xlim→±∞(	4x2 +3x −2x);
65) xlim→±∞ x(	x2 +1 − x);

67) lim x x ; x→∞ 1+ x

		1	x+1
	+	1	x	;
69) lim 1	+			;
x→∞		x

71) lim x +1 2 x−1 ; x→∞ x −2

73) lim x2 +1 x2 ; x→∞ x2 −1

46) lim

sin2 5x

;

arcsin10x

x→0

48) lim

−4x +3

;

x +5

x→∞

50) lim

1−sin x

;

x→π

/ 2

− x

52) lim

+2x3 −1

;

100x3 +2x2

x→∞

54) lim

3x3 −4x2 +8

;

−5x3 + 2x2 + x

x→∞

56) lim

;

−x +

x + 3

x→+∞

58) xlim→+∞(x −

2x −3);

60) xlim→+∞(

4x −1 −

x );

62) xlim→±∞(x −

x2 +7x );

64) limx→∞(3 (x +1)2

− 3 (x −1)2 );

66) xlim→±∞(

(x +a)(x +b) − x);

68) lim

−

;

t→∞

70) lim

k mx

;

x→∞

x+1

3x − 4 2

72) lim ; x→∞ 3x + 2

74) lim x +1 x ;

x→±∞ 2x −1

75) lim 2x −1 x ;

x→±∞ x −1

	+	1 x2
77) lim 1	+		;
x→±∞		x

79) lim (1 + sin x)cosec x ;

x→0

81) lim ln (1+kx)				;
x→0	x
83) lim	ln x −1		;

x→e	x −e
85) lim	e2 x −1		;
	3x
x→0
87) lim	ex −cos x			;
	x2
x→0
89) lim	xx −1	;
	x ln x
x→1

76) lim 1 + 12 x ;

x→∞ x

	2	−2x +1	x
78) lim	x			;
	2	−4x + 2
x→∞ x

80) limx→0 (1 + tg2	x )1/ x ;
82) lim ln(a + x) −ln a		;
x→0	x

84) lim	ah −1	;
	h
h→0
86) lim	ex −e	;
	x −1
x→0
88) lim	ex −e−x		;
	sin x
x→0

90) lim(ln(x +5) −ln x).

x→∞

5.8.Определить порядок малости бесконечно малых функций в окрестности точки x = 0 по отношению к функции β (x)= x :

1)	α (x)= x5 ;	2)	α(x)=2 sin x ;
3)	α (x) = x2 + x4 ;	4)	α (x)=1 − cos x ;
5)	α (x)= tg x + x2 ;	6)	α (x) = x tg x + sin x .

5.9. Доказать эквивалентность бесконечно малых функций при x → 0 :

		x2				2)	1+ x −1 ~	x
1)	1−cos x ~			;					;
								2
		2
3)	sin x + tg x ~2x ;					4)	tg x −sin x ~ x3 ;
5)	3 x +8 −2 ~		x		;	6)	ax −1 x ln a .

	12

5.10.Определить порядок малости бесконечно малых функций в окрестности точки x =1 по отношению к функции β (x)= x −1:

1) α (x)= 4(x −1); 3) α(x)=(x −1)2 ;

2) α (x) = x3 −1; 4) α(x)= 3 x −1.

5.11. Применяя принцип замены эквивалентными, найти следующие пределы:

lim sin15x ;

x→0

tg10x

lim

arcsin (x / 3)

;

x→0

tg2x

lim

x3 +2x2

;

x→0 sin2 (x / 4)

lim

4x −arctg x

;

x→0

4x + arctg x

lim

ln2 (1+2x)

;

sin2 6x

x→0

11) lim

sin2 2x3

;

x2arctg2 4x2

x→0

ln(1 +8x)sin2

13) lim

;

x→0

tg2

sin 6x

15) lim

2(eπx −1)

;

x→0 3(3 1+ x −1)

17) lim			arctg (x2 − 2x)						;

	x→2			sin 3π x
19)	lim			1 − 2 cos x			;
	x→π	/ 3		π −3x
21) lim		1−e−2 x			ctg		x	;
				3			4
	x→0
23)	lim			ln tgx		;

	x→π	/ 4 cos2x

lim

sin2 3x

;

1−cos5x

x→0

lim

arctg2 5x

;

xsin 2x

x→0

lim

arcsin

;

x→0

lim ln(1+αx)

;

x→0

βx

10) lim

tg5x

;

2x − x2

x→∞

12) lim

arcsin

;

1 6 tg x

x→0 3 ex −

arcsin 9x2 tg

14) lim

;

x→0

sin3 x

e4 −

16) lim

eπ

− ex

;

sin 5x −sin 3x

x→π

18) lim

ln (9 − 2x2 )

;

x→2

sin 2π x

20) lim

cos(π x / 2)

;

x→1

1 −

22) lim

13 7 +3x −

40 2x +5

;

x2 − 4x −12

x→2

24) lim

x2 −(a +1)x + a

;

x3 −a3

x→a

;

26) lim

− cos x

;

25) lim x

− arcsin

−cos

x2 +1

x→∞

x→0

27) lim

23x −32 x

;

28) lim

3 27 − x −

9 + x

;

sin(ax) +arctg(bx)

x + 2 4

x→0

29) lim

aax −axa

;

30) lim

13 1 +3x −

40 1 − 2x

;

− x

+ x + 4x

x→0

x→a

31) lim

1+3x − 5 1−7x

;

32) lim

ln (1+ xex )

;

)

x→0

ln (x3 +e−2 x )

x→0 ln (x + 1+ x2

ctg

1−sin

33) lim

;

34) lim

;

cos

x→∞

x→π

cos

−sin

cos

35) lim

(

x + ex

)

;

36) lim

m ln(e

+1)

x→0

cos

;

(

)

x→∞

(

)

x→0

ctg x ;

x→0

37) lim

+sin x

38) lim

x2 +ex+1

ctg x ;

39) lim

(

−

x +8

)

π x

;

40) lim cos

(sin x)

;

arcsin2 x

x→1

x→0

41) lim

(th x)sh 2 x ;

42) lim (th x)sh 2 x ;

x→0

x→+∞

43) lim

1+ cos x

;

44) lim

ex2 −1

;

x −π

x→π +

x→0+ arcsin x

45) lim

ex2 cos x −chx

;

46) lim

ex2 cos x −chx + x5

x→0

x5 + x3 sin3 x

x→0

x6 + x2 sin3 x

5.12. Определить λ и μ таким образом, чтобы имело место равенство limx→∞(3 1− x3 −λx − μ)= 0 .

5.13. Вычислить lim x3 1 − x +sin x .

x→0

§6. Непрерывность и точки разрыва функции

Функция	y = f (x)	называется непрерывной в точке x = a , если
lim f (x)= f	(a) (или lim f (a + h)− f (a) = 0 ).
x→a	h→0

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва. Точки разрыва первого рода, если односторонние пределы слева и справа существуют и конечны, в остальных случаях точка разрыва второго рода.

6.1.Используя определение непрерывности, показать, что данные функции непрерывны во всей своей области определения:

1)	y = x2 −2x ;				2)	y =1 − x3 ;
3)	y =		1	;	4)	y = ex ;
		x2	+1

5)	y = cos3x ;				6)	y = ln (1 + 2x).

6.2.Для каждой из заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер:

y =

;

y =

;

− x

(x + 5)

y =

;

y =

;

4x − x2 −3

2x −1

y =

sin x

;

y =arctg

;

y = lg

x −3

;

y =3

x+4

6.3.Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва и построить графики:

1)y = x3 −1 .

x−1

1 − 2x , x ≤ 0,

3)y = 2sin x, 0 < x <π,

4 − x, x ≥π.

x−1

2)y = x −1 .

1 − x , x ≤ 0, 4) y = 0 , 0 < x ≤ 2,

x − 2 , x > 2.

	−x −1 , x ≤ −1,
5)		0 , −1 < x < 0,
5)	y =	0 , −1 < x < 0,
		x,	x ≥ 0.
		x,	x ≥ 0.
		x3 , x < 0,
		x3 , x < 0,
						π
7)						π		,
7)	y = 2x, 0 ≤ x ≤					2		,
				π		2
			>	π		.
	tg x, x		>	2		.
				2
		2 − x, x ≤ 0,
		2 − x, x ≤ 0,
								π
9)							<	π	,
9)	y = cos x, 0 < x						<	2	,
					π			2
		0,	x	≥	π		.
		0,	x	≥	2		.
					2

−x, x ≤ 0,

6)y = x3 , 0 < x ≤ 2,x + 4 , x > 2.

2−x+1, x ≤1, 8) y = 2 − x,1 < x ≤3,

tg πx , x >3.

	1		, x < 0,

		x
						π
			0 ≤ x <			π	,
10) y = sin x,			0 ≤ x <			2	,
				π		2
	0 ,		x ≥	π	.
	0 ,		x ≥	2	.
				2

6.4. Исследовать на непрерывность следующие функции:

y = x 1

;

y = lim

;

n→∞

1+(2sin x)

))

y =[x]sin π x ;

n→∞

(

xarctg

(

n ctg x

;

y = lim

y = lim(xn +3) при 0 ≤ x ≤1 ;

y = lim

(xn + x) при 0 ≤ x ≤1.

n→∞

6.5. Возможно ли доопределить функции:

f (x)= xsin x

;

2) f (x)= arctg x

;

f (x)= tg

2 − x

в точке x = 0 так, чтобы они стали непрерывными в этой точке?

6.6. Исследовать на

непрерывность

функции

f (g (x))

g (f (x)), где

f (x)=sgn x , g (x)=1+ x −[x].

§7. Дифференцирование функций

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента в некоторой точке при стремлении приращения аргумента к нулю называется производ-

ной функции в этой точке и обозначается

′

= lim

y =

x→0

Таблица производных основных функций

′

= 0 ;

′

u′

10)

=−1+u2

;

(arcсtgu)

(un )′ = nun−1 u′;

11)

(au )′ =u′au ln a ;

(sin u)′ =u′cosu ;

12)

(eu )′ =u′eu ;

(cosu)′ =−u′sin u ;

13)

(loga u)′ =

u′

;

u ln a

u′

(tgu)′ =

;

14)

′

u′

;

cos

(ln u)

u′

(сtgu)′ =−

;

15)

′

sin2 u

(sh u)

=u ch u ;

′

u′

′

(arcsin u) =

1 −u2

;

16)

(сh u)

shu ;

u′

′

u′

(arccosu)′ =−

;

17)

(thu)

;

1 −u

(arctgu)′ =

u′

;

18)

(сthu)′ = −

u′

sh2 u

Основные правила дифференцирования

′

;

(u ±v) =u

±v

;

2) (Cu)

=Cu

′

u v

−uv

(uv) =u v +uv

;

Производная сложной функции y = f (u(x)) определяется так:

y′ = yu′ u′x .

Дифференциалом функции y (x) называется выражение dy = y′dx .

7.1. Найти по определению производную функции:

y = x2 ;

y = x3 ;

y = x ;

y = x x ;

y =

;

y =

;

y =sin

;

y = cos

;

y = 1 +3x ;

10) y =

1+ x2 .

7.2.Используя таблицу производных основных элементарных функций и правила дифференцирования, найти производные указанных функций:

1) y = x4 +3x2 −2x +1;

3) y = 3 x + 1x − x32 +4 ;

5) y = 4x5 −3sin x +5ctg x ; 7) y = log2 x + 3log3 x ;

9) y = ex − tgx + x4 ;

11)y = tg x − ctg x ;

13) y = xsin x ;

15) y = 7 x ln x ;

17) y = 3 x arcctg x ;

19)y = x2 −1 ;

x2 +1

21) y =1+cos2sinx x ; 23) y = ctgxx ;

25) y =1+ex ;

1−ex

2) y = 7x7 +3x2 −4x −1;

4)	y = 4 x3 +	5	−	3	+ 2;
		x2
				x3
6)	y = 3 x + 4cos x − 2tg x ;
8)	y = 4ex + arctgx + arcsin x ;

10)y =5x + 6x + 1 x ;

12) y = arctg x − arcctg x ;

14) y = x2 tg x ;

16) y = xarccos x ;

18)	y = x2 log3 x ;
20)	y =		ln x	+ xctg x ;
			sin x

22)	y =		x			;
			x +
				1
24)	y =		x tg x		;

		1+ x2
26)	y =	1−10x
				.
		1+10x

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.06.2015256 Кб23СамГУ Контрольная Экон. теория 2 семестр ГМУ.doc
#
16.03.2015257 Кб24Самостоятельная работа.pdf
#
19.12.20188 Мб2Саша! САШАКАН!!!.doc
#
12.06.201561 Кб120Сборка.docx
#
16.03.2015179 Кб26Сборник заданий.doc
#
29.03.20161 Мб283Сборник задач-Пономаренко ВН.pdf
#
07.06.20151 Мб30сборник кон 22 июня.pdf
#
20.08.20197 Мб31Сборник лаб. работ по ТТИ.docx
#
01.07.20254 Мб0Сборник сх и алг 1.doc
#
22.11.20193 Мб85Сборник_1.doc
#
16.03.201512 Кб34СВАРКА Реком. литература.docx