- •Изучение колебаний математического маятника
- •Изучение колебаний математического маятника
- •Теоретические сведения к работе
- •4.1 Колебания тела на пружине. Уравнение малых колебаний
- •4.2 Гармонические колебания
- •4.3 Энергия гармонического осциллятора
- •4.4 Математический маятник
- •4.5 Методика измерений
- •Порядок выполнения работы
- •6 Содержание отчета
- •7 Контрольные вопросы и задания
- •8 Литература
4.5 Методика измерений
Период малых колебаний физического маятника равен
(23)
где I0 — момент инерции маятника относительно оси качаний ОO, m - масса маятника, а - расстояние от оси качаний маятника до его центра масс, g — ускорение свободного падения
В данной работе проводится экспериментальная проверка соотношения (23) в случае, когда маятник можно приближенно считать математическим, т. е. когда масса маятника сосредоточена в области, размеры которой малы по сравнению с а.
Исследуемый в лабораторной установке маятник схематически изображен на рисунке 2. Он представляет собой стальной шарик радиусом r на бифилярном подвесе: тонкая нить пропущена через центр шарика, концы нити закреплены на стойке. Длина подвеса может регулироваться в пределах от нескольких сантиметров до 1 м. Период колебаний с высокой (до 10-3 с) точностью измеряется с помощью электронного секундомера.
Рисунок 2 Принципиальная схема математического маятника
Момент инерции маятника складывается из момента инерции шарика и момента инерции нити подвеса. Пренебрегая моментом инерции нити, запишем момент инерции маятника относительно оси 00 в виде
(24)
Соотношение (24) следует из теоремы Гюйгенса—Штейнера, если учесть, что момент инерции однородного шара радиусом r и массой m относительно оси, проходящей через его центр, равен
IС=2/5mr2.
Рассмотрим случай, когда радиус шарика мал по сравнению с длиной подвеса: r << а. Тогда в (24) можно пренебречь слагаемым 2/5mr2, малым по сравнению с mа2, и положить
. (25)
В этом приближении I0 определяется, очевидно, с небольшой систематической погрешностью
(26)
которую в условиях опыта легко оценить. С учетом (25) период колебаний маятника можно записать в виде
(27)
Он, как и должно быть, совпадает с периодом колебаний математического маятника, длина подвеса которого а. Из (27) находим следующее выражение для ускорения свободного падения:
(28)
Соотношение (28) позволяет опытным путем определить ускорение свободного падения. Для этого, очевидно, необходимо измерить период колебаний маятника Т и длину подвеса а, затем рассчитать g по формуле (28).
Однако, прежде чем перейти к определению g, необходимо выяснить, применимо ли вообще соотношение (28) для лабораторной установки.
Дело в том, что выражение (23) для периода колебаний справедливо для идеализированной модели физического маятника. Следовательно, и соотношение (28)также справедливо только в рамках этой модели. При выводе соотношения (23) были сделаны следующие предположения :
1) маятник совершает колебания малой амплитуды, и поэтому период колебаний не зависит от амплитуды (изохронность колебаний);
2) затуханием колебаний можно пренебречь.
Непосредственным измерением легко проверить, что периоды колебаний маятника при малой (порядка 3—5°) и большой (30—45°) амплитудах заметно отличаются. Так как расчетная формула (28) применима только для малых амплитуд, то необходимо определить, в каком диапазоне амплитуд период колебаний остается постоянным с достаточно высокой точностью (например, с точностью до 0,5%). Это легко сделать, измеряя период колебаний маятника для различных значений амплитуды в пределах от 2—3° до 10—15°.
Обсудим теперь, как можно оценить влияние затухания на период колебаний маятника. Отклонив маятник из положения равновесия, легко проверить, что колебания его постепенно затухают. Количественную оценку величины поправки ΔТ к периоду можно получить, если учесть, что основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух.
В этом случае действующая на шарик сила трения пропорциональна скорости его движения:
Fтр= - bυ, b >0.
Период колебаний маятника несколько увеличивается, а частота колебаний уменьшается по сравнению с частотой маятника без трения. При этом частота колебаний
(29)
а их период
(30)
где .
Коэффициент затухания выражается через число колебаний N, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,78 ≈ 3 раза:
(31)
Из соотношений (29), (30) и (31) находим
(32)
(33)
Таким образом,
(34)
Видно, что уже при N ≈ 10 поправка (34) к периоду колебаний
меньше 0,1% и ею можно пренебречь.