11. Формула ньютона-лейбница (основная формула интегрального исчисления (!) )

Если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], и F(x) - некоторая первообразная функции f(x), То:

Формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так:

12. Методы интегрирования определенного интеграла

1) Метод замены переменной. Пусть функция x=φ(t) имеет производную во всех точках отрезка [α;β] и отображает этот отрезок на отрезке [a,b] таким образом, что a= φ(α) и b=φ(β). Тогда

2) Интегрирование по частям

Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные во всех точках отрезка [a,b]. Тогда:

3) Метод непосредственного интегрирования. С помощью тождественных преобразований подынтегральной функции интеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.

4) Интегрирование дробей. Элементарными дробями называются дроби следующих 4-ёх типов:

1) ; 2); 3); 4), гдеm, n–натуральные числа (m≥2, n≥2, b²-4ac<0)

Дробь - правильная, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной.

Если – правильная рациональная дробь, знаменательP(x) которой представлен в виде линейных и квадратичных множителей P(x)=, то эта дробь может быть разложена на элементарные дроби по схеме:

=+…+…+++…++++…+,где A1…Ak, B1 … Bp, M1…Me, N1…Nl – некоторые действительные числа. Коэффициенты А_i, B_i, M_i, N_i находят методом неопределенных коэффициентов или методом частных значений. Для этого необходимо привести равенства к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициент и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольное числовое значение.

5)Интегрирование тригонометрических функций: универсальная тригонометрическая подстановка.

Интеграла вида , гдеR – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки: tg=t

В результате подстановки: sinx==cosx==x=2arctg(t) dx=

Интегралы вида

1) Один из показателей m или n – нечетное положительное число.

Если n - нечетное положительное число, то подстановка sin x=t

Если m - нечетное положительное число, то подстановка cos x=t

2) Оба показателя степени m и n – четные положительные числа. Надо преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул:

sinx*cosx=½sin(2x)

Интегралы вида ,,. Подынтегральную функцию преобразовываем с помощью тригонометрических формул:

13) Геометрические приложения определенного интеграла

а) Пусть f(x) положительна и непрерывна на [a;b]. Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f(x) выражается определенным интегралом: (выше оси Ox)

б) Пусть функция y=f(x) отрицательна и непрерывна на [a;b], т.е. кривая y=f(x) и криволинейная трапеция лежат под осью Ох. Тогда:

в) Общий случай, когда некоторые части кривой лежат над осью Ох, а другие – под осью Ох. Площадь криволинейной трапеции - алгебраическая сумма площадей тех частей фигуры, которые расположены над Ох, и тех ее частей, которые под Ох, причем первые входят в сумму с «+», а вторые – с «-».

Тогда:

г) Пусть фигура ограничена сверху и снизу кривыми y₁=f₁(x), y₂=f₂(x) и f₁(x)≤f₂(x), a≤x≥b, где f₁(x), f₂(x) – непрерывные функции. Тогда:

f₁(x), f₂(x) – отрицательные значения

Объем тела вращения:

y=f(x), f(x) – непрерывна на [a;b]. Если соответственно ей криволинейную трапецию вращать вокруг оси Ох, то получим тело вращения. Каждое сечение тела плоскостью х=const – это круг радиуса R=│y(x)│

V_x=π

Если криволинейную трапецию вращать вокруг оси Оy, то объем тела вращения по формуле:

Vy=π