Модели с распределенными лагами

Интерпретация параметров модели с распределенными лагами

Модели с распределенными лагами бывают двух типов:

— с конечным числом лагов

(5.38)

— с бесконечным числом лагов

(5.39)

Практическое применение чаще имеют модели с конечным числом лагов, т.е. модели, в которых число лагов экспериментально определено.

Предположим, рассматривается модель, в которой k= 4, т.е.Данная модель означает, что изменение во времениtобъясняющей переменнойхбудет влиять на значения результативного признака в течение 4-х следующих моментов времени.

Коэффициент b0 называют краткосрочным мультипликатором, так как он характеризует среднее изменение результата упри изменении на 1 ед. своего измерения в фиксированный момент времениt.

В момент времени () воздействие объясняющей переменнойхна результату составит () единиц, а в момент времени (t+ 2) общее изменение составитединиц.

Любую сумму коэффициентов , гдеh<kназываютпромежуточным мультипликатором, а сумму всех коэффициентов регрессии—долгосрочным мультиплипликатором, который характеризует общее изменениеучерезkинтервалов времени под воздействием измененияхв моментtна 1 ед.

При k = 4долгосрочный мультипликатор составит (. Он характеризует общее среднее изменениеучерез четыре временных интервала при увеличениихв момент времениt на 1 ед., а промежуточные мультипликаторы

() — изменение в момент времени (t+ 1);

— изменение в момент времени (t+ 2);

— изменение в момент времени (t+ 3).

Если все коэффициенты регрессии имеют одинаковые знаки, т.е. характеризуются однонаправленным изменением yв исследуемыеkмоментов времени, то можно определить относительные коэффициенты модели, т.е., гдеaИными словами,характеризует долю общего измененияyв момент времени (t + j).

Предположим, что регрессия основных производственных фондов (у — в млн. руб.) в зависимости от размера инвестиций (х — в млн. руб.) характеризуется уравнением , где t — года.

Анализ уравнения показывает, что рост инвестиций на 1 млн руб. в текущем периоде приводит к росту основных производственных фондов:

— в том же периоде — на 0,7 млн. руб. (краткосрочный мультипликатор);

— через 1 год — на 0,7 + 1 = 1,7 млн. руб.;

— через 2 года — на 0,7 + 1 + 1,5 = 3,2 млн. руб.;

— через 3 года — на 3,8 млн. руб. (промежуточный, как и предыдущие два, мультипликатор);

— через 4 года — на 4 млн. руб. (долгосрочный мультипликатор).

Относительные коэффициенты модели составят

= 0,7/4 = 0,175;

= 1/4 = 0,25;

= 1,5/4 = 0,375;

= 0,6/4 = 0,15;

= 0,2/4 = 0,05.

Следовательно, в текущем году реализуется 17,5% воздействия увеличения инвестиций на рост основных производственных фондов, а через год — еще 25%. Через 2 года — еще 37,5%, через 3 года — еще 15% и через 4 года — еще 5%.

Относительные коэффициенты модели можно использовать как весовые коэффициенты для расчета средней величины лага по средней арифметической:

где j— величина лага.

Величина показывает средний интервал времени, в течение которого будет происходить изменение зависимой переменнойупод воздействием изменения объясняющей переменнойхв момент времениt. Чем меньше величина среднего лага, тем быстрее реагирует результатуна изменениех. И наоборот, высокое значение среднего лага показывает, что воздействие объясняющей переменной на результат будет сказываться с течением длительного промежутка времени. В рассматриваемом примере величина среднего лага составит

= 00,175 + 10,25 + 20,375 + 30,15 + 40,05 = 1,65 года.

Следовательно, основная часть эффекта увеличения инвестиций проявляется через 1,65 года. Кроме среднего лага можно рассчитывать медианный лаг , т.е. тот период времени, в течение которого с момента времениtбудет реализована половина общего эффекта воздействия объясняющей переменнойхна результату. Для медианного лага справедливо равенство

В нашем примере медианный лаг составляет 2 года, т.е. увеличение инвестиций в период времени t на 1 млн. руб. приводит к росту размера основных производственных фондов через 2 года на величину, составляющую половину долгосрочного мультипликатора, т.е. на 2 млн руб. Наибольший аналитический интерес представляет расчет величины медианного лага для моделей с большим числом лаговых переменных.

Оценка параметров моделей с распределенными лагами

Модель с конечным числом лагов при правильной ее спецификации может быть оценена обычным МНК. В этом случае в уравнении

(5.40)

переменные рассматриваются как объясняющие переменные обычной множественной регрессии.

Вместе с тем применение МНК к моделям с конечным числом лагов может быть реально затруднено ввиду следующих причин:

1) при наличии тенденции переменные тесно связаны между собой, что вызывает мультиколлинеарность факторов, которая может привести к не интерпретируемым знакам у коэффициентов регрессии и к снижению их точности;

2) возможна автокорреляция остатков, так как МНК применяется к временным рядам с тенденцией.

Поэтому нередко для оценки параметров модели с распределенным конечным числом лагов используются специальные методы преобразования, как и для модели с бесконечным числом лагов. Разработаны разные методы оценивания параметров моделей с распределенными лагами, которые учитывают характер распределения коэффициентов регрессии при лаговых объясняющих переменных. Иными словами, методы оценивания параметров модели с распределенными лагами основаны на изучении структуры лага. Так, предполагая полиномиальное распределение лаговых коэффициентов, используют метод Алмон, а при гипотезе геометрической прогрессии для лаговых коэффициентов применяется преобразование Койка.

Полиномиально распределенные лаги Алмон

В 1965 г. III. Алмон предложила способ оценки параметров модели с распределенными лагами на основе гипотезы о том, что лаговые коэффициенты регрессии аппроксимируются полиномом соответствующей степени от величины лага. Это значит, что в модели параметррассматривается как функция:При этом априори выдвигается предположение о степени полинома. Как правило, используется многочлен невысокой степени (m≤ 4).

Предположим, что имеет распределение в виде параболы второй степени, т.е.Тогда каждый из коэффициентовможно представить в виде

Подставим эти соотношения дляв модель с распределенными лагами и перегруппируем слагаемые с одинаковыми значениями с:

Будем рассматривать слагаемые в скобках при,икак новые переменныеz, т.е. модель с распределенными лагами примет вид

где ,иопределяются как

Оценка параметров при преобразованных переменных z реализуется традиционным МНК. При этом случайные отклонения удовлетворяют предпосылкам МНК. Далее на основе параметров,ипереходим к оценке параметров, используя выражения коэффициентовчерез коэффициенты полинома:

В матричном виде можно записать, что b = Hc, где

- матрица весов при лаговых коэффициентах; с — вектор коэффициентов при переменных z.

Тогда модель в целом принимает вид у = ХНс + = Zc +.

Стандартная ошибка коэффициентов регрессии при лаговых переменных определится как

Далее через t-критерий Стьюдента оценивается значимость коэффициентов .

Качество модели оценивается через коэффициент детерминации для уравнения регрессииот преобразованных переменныхz, т.е. по модели

у = Zc +.

Таким образом, применение метода Алмон включает в себя следующие этапы работы:

1) определение максимальной величины лага k;

2) определение степени полинома m, описывающего распределение коэффициентов регрессиив зависимости от величины лага;

3) расчет преобразованных переменных z;

4) расчет параметров линейной регрессии уот преобразованных переменныхz, т.е. оценка;

5) переход к исходным параметрам модели с распределенными лагами.

Теоретически достаточно сложно определить максимальную величину лага к. В основном для этой цели используется экспериментальный путь: строится уравнение с большим числом последовательных лагов и с постепенным его уменьшением изучается значимость коэффициентов регрессии при лаговых объясняющих переменных. Останавливаются на варианте, для которого все коэффициенты регрессии статистически значимы.

Степень полинома задается исследователем, исходя из соответствующих теоретических соображений и результатов предыдущих исследований.

Пример 5.6

По данным за 32 квартала об объеме продукции (у — в млн. руб.) и инвестициях в основной капитал (х — в млн. руб.) строится модель с распределенными лагами

(5.41)

Объем продукции и инвестиции в основной капитал

Таблица 5.13.

Номер квартала
1	5,2	0,87
2	5,6	0,9	0,87
3	6,5	1,05	0,9	0,87
4	6,4	1,04	1,05	0,9	0,87	—	—	—	—
5	6,5	1,05	1,04	1,05	0,9	0,87	4,91	9,32	27,26
6	7	1,08	1,05	1,04	1,05	0,9	5,12	9,88	29,06
7	7,4	1,12	1,08	1,05	1,04	1,05	5,34	1,05	31,44
8	7,8	1,16	1,12	1,08	1,05	1,04	5,45	10,59	31,53
9	8,1	1,17	1,16	1,12	1,08	1,05	5,58	10,84	32,16
10	8	1,14	1,17	1,16	1,12	1,08	5,67	11,17	33,17
11	8,5	1,17	1,14	1,17	1,16	1,12	5,76	11,44	34,18
12	8,6	1,2	1,17	1,14	1,17	1,16	5,84	11,6	34,82
13	8,8	1,2	1,2	1,17	1,14	1,17	5,88	11,64	34,86
14	8,9	1,24	1,2	1,2	1,17	1,14	5,95	11,67	34,77
15	8,9	1,22	1,24	1,2	1,2	1,17	6,03	11,92	35,56
16	9,3	1,26	1,22	1,24	1,2	1,2	6,12	12,1	36,18
17	9,4	1,23	1,26	1,22	1,24	1,2	6,15	12,22	36,5
18	9,3	1,23	1,23	1,26	1,22	1,24	6,18	12,37	37,09
19	9,6	1,26	1,23	1,23	1,26	1,22	6,2	12,35	37,01
20	9,7	1,28	1,26	1,23	1,23	1,26	6,26	12,45	37,41
21	9,7	1,3	1,28	1,26	1,23	1,23	6,3	12,41	37,07
22	9,8	1,32	1,3	1,28	1,26	1,23	6,39	12,56	37,44
23	10	1,32	1,32	1,3	1,28	1,26	6,48	12,8	38,2
24	10,2	1,33	1,32	1,32	1,3	1,28	6,55	12,98	38,78
25	10,3	1,33	1,33	1,32	1,32	1,3	6,6	13,13	39,29
26	10,4	1,35	1,33	1,33	1,32	1,32	6,65	13,23	39,65
27	10,5	1,35	1,35	1,33	1,33	1,32	6,68	13,28	39,76
28	10,6	1,36	1,35	1,35	1,33	1,33	6,72	13,36	40
29	10,5	1,32	1,36	1,35	1,35	1,33	6,71	13,43	40,19
30	10,6	1,35	1,32	1,36	1,35	1,35	6,73	13,49	40,51
31	10,7	1,38	1,35	1,32	1,36	1,35	6,76	13,47	40,47
32	11	1,4	1,38	1,35	1,32	1,36	6,81	13,48	40,42

Предполагая квадратичную зависимость от величины лагаимеем соотношения

(5.42)

Соответственно модель с распределенными лагами примет вид

Расчет преобразованных переменных z,- представлен в табл., где

Применяя к преобразованным данным обычный МНК, получим следующее уравнение:

Все параметры уравнения статистически значимы (;df= 26).= 0,9955 указывает на хорошее качество модели.

Далее найдем коэффициенты регрессии исходной модели, т.е. , используя выражения (5.42):

=3,7713;

= 3,7713 + (-2,2668) + 0,5065 = 2,011;

= 3,7713 - 2 • 2.2668 + 4 • 0,5065 = 1,2637;

= 3,7713 - 3 • 2,2668 + 9 • 0,5065 = 1,5294;

= 3,7713 - 4 • 2,2668 +16 • 0,5065 = 2,8081.

Модель регрессии с распределенными лагами примет вид

= 0,9955.

Для свободного члена астандартная ошибка составила 0,313. Соответственно по t-критерию Стьюдента все параметры оказались статистически значимыми.

Модель показывает, что рост инвестиций в текущем периоде на 100 тыс. руб. способствует росту объема продукции в том же периоде в среднем на 377 тыс. руб., а через квартал — на 578 тыс. руб. В целом же через год прирост объема продукции за счет роста инвестиций на 100 тыс. руб. ожидается в размере 1,138 млн руб. (3,771 + 2,011 + 1,264 + 1,529 + 2,808 = 11,383).

Определив относительные коэффициенты регрессииувидим, что половина воздействия фактора на результат реализуется с лагом в один квартал: