Модели с лаговыми переменными

Общая характеристика

До сих пор рассматривались модели по временным рядам, в которых . Между тем в моделях временных рядов зависимая переменнаяможет быть связана не только со значениями объясняющих переменныххв момент времениt, но и с их значениями в предыдущие моменты времени. Так, например, потребление товаров длительного пользования зачастую зависит от доходов не только текущего, но и предыдущих периодов. Аналогично величина основных производственных фондов зависит от размера инвестиций не только текущего года, но и предыдущих лет. В этом случае строятся модели с лаговыми объясняющими переменными. Например,

, (5.32)

где — потребление в период времениt;— доход в период времениt;— доход в предыдущий периодt - 1.

В данной модели лаговой является переменная , т.е. доход за предыдущий период времени. Возможна ситуация, когда объясняющая переменнаяхвлияет на результатуне сразу же, а с определенным запаздыванием во времени, превышающем один временной интервал. Так, выпуск специалистов высшей квалификации зависит от приема в вузы четырех- или пятилетней давности.

Объясняющие переменные, взятые в модели регрессии с запаздыванием во времени, называются лаговыми переменными. Величина интервала запаздывания называется лагом. Так, в модели , лаговая переменнаяхвзята с лагом, равным четыре.

Вместе с тем в правой части модели лаговой переменной может быть и зависимая переменная. Например, спрос на товар может зависеть не только от дохода, но и от достигнутого спроса на него в предыдущий период времени. Или ставка банковского кредита может зависеть не только от объема денежной массы в наличии, но и от достигнутого ранее процента банковского кредита. В этом случае строятся модели с лаговой зависимой переменной. Например,

, (5.33)

где — потребление в период времениt;— доход в период времени t;

— потребление в предыдущий период времениt - 1.

Модели регрессии по временным рядам с лаговыми переменными принято называть динамическими моделями. Их можно подразделить на три класса

1. Модели с лаговыми объясняющими переменными — модели с распределенными лагами

(5.34)

2. Модели с лаговыми зависимыми переменными — модели авторегрессии

5.35)

3. Модели с лаговыми зависимыми и независимыми переменными — авторегрессионные модели с распределенными лагами

(5.36)

Центральным вопросом при построении моделей с лаговыми переменными является выбор величины лага и числа лаговых переменных. Теоретически трудно определить величину лага. Определенную помощь может оказать взаимная корреляционная функция: рассчитывается множество коэффициентов корреляции между уровнями временных рядов и, сдвинутыми относительно друг друга на последовательно увеличивающиеся интервалы времени. Величина лага определяется по максимальному значению коэффициента корреляции. Например, продажа товара за две декады двумя филиалами фирмы характеризуется данными, представленными в таблице (тыс. ден. ед.).

Числа месяца	Филиал № 1	Филиал № 2	Числа месяца	Филиал № 1	Филиал № 2
1	5	9	11	9,5	13
2	4,5	10,8	12	8	14
3	4	13,5	13	7,6	15
4	4,1	14,5	14	7,5	20
5	5	16	15	7,6	24
6	7	14,7	16	10	25
7	8	14	17	12,2	26
8	9,7	12	18	15	26,3
9	10	11,9	19	15,6	26,4
10	11	12	20	16	27,1

Примем объем продаж филиалом № 1 за , а филиалом № 2 — за. Если прокоррелироватьи, то коэффициент корреляции между ними составит 0,6912. При последовательном сдвиге уровней рядана один временной интервал получатся коэффициенты корреляции, представленные в следующей таблице.

		Величина лага
1	2	3	4		5	6	7
0,7738	0,867	0,9445	0,9553		0,8562	0,5977	0,0724

Следовательно, объем продаж филиалом № 1 в наибольшей мере коррелирует с объемом продаж по филиалу № 2 с интервалом в 4 дня. Уравнение регрессии принимает видчто статистически значимо. Оно позволяет по данным филиала № 2, взятым на четыре дня раньше, предсказывать объем продаж по филиалу № 1. Так, например, при объеме продаж за 2-е число в 10,8 тыс. ден. ед. по филиалу № 2 объем продаж по филиалу № 1 составит 6-го числа 7,1 тыс. ден. ед. Соответственно подставляя в уравнение регрессии информацию об объеме продаж филиалом № 2 за 3—16-е числа, получим объем продаж по филиалу № 1 на 7—20-е числа.

Выбор величины лага и количества лагов проводится обычно экспериментально: строятся модели с разным числом лагов и их величиной и изучается значимость коэффициентов регрессии при лаговых переменных; останавливаются на модели, для которой все коэффициенты регрессии при лаговых переменных будут статистически значимыми по t-критерию Стьюдента.

Построение моделей с лаговыми переменными имеет свою специфику. Дело не только в выборе величины лага и их числа. Во многих случаях оценка параметров моделей с лаговыми переменными не может быть проведена с помощью традиционного МНК ввиду нарушения ряда его предпосылок и требует специальных методов оценивания. При наличии двух и более лаговых переменных возникает проблема мультиколлинеарности факторов, ибо, как правило, илисвязаны между собой, особенно при наличии тенденции в рядах динамики. Это снижает точность оценок коэффициентов при лаговых переменных и требует видоизменять приемы оценивания.