Обобщенный метод наименьших квадратов при построении модели регрессии по временным рядам

Методы устранения автокорреляции в остатках могут быть разные. Они зависят от причин автокорреляции. Автокорреляция в остатках может быть следствием неправильной спецификации модели: не учтена важная объясняющая переменная, неправильно выбрана форма связи. В этом случае можно попытаться изменить математическую функцию регрессии (например, линейную на степенную), уточнить набор объясняющих переменных. Однако если эти попытки не увенчались успехом и автокорреляция в остатках имеет место, то для ее устранения можно применить обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК).

ОМНК можно использовать как для парной, так и для мно­жественной регрессии. Для простоты и уяснения сути пробле­мы рассмотрим регрессию двух временных рядов

y_t=a + bx_t+.(5.22)

Для периода времени (t -1) справедливо равенство

y_t-1=a + bx_t-1+.(5.23)

Если имеет место автокорреляция в остатках, т.е. последу­ющие по времени остатки зависят от предыдущих, то регрес­сия остатков может быть представлена как

(5.24)

где V_t— случайная ошибка для линейной регрессии остатков.

Но так как тои. Полагая, чтоимеемТогда регрессия остатков примет вид

(5.25)

Параметр dопределим по формуле

(5.26)

где

В результате получим, что . Предполагая, что, можно записать, что

, (5.26)

т.е. d— коэффициент автокорреляции остатков первого по­рядка. Обозначим его через ρ. Тогда регрессия остатков при­мет вид

(5.27)

где ρ — коэффициент автокорреляции остатков первого порядка; V_t— случайная ошибка, удовлетворяющая всем предпосылкам МНК.

Предполагая, что ρ известен, вычтем из уравнения (5.23) уравнение (5.22), умноженное на ρ:

(5.28)

Введём обозначения:

Тогда получим следующее уравнение

у* =а +bx*+,(5.29)

где V_t— независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение.

Так как ошибки V_tудовлетворяют предпосылкам МНК (они не содержат автокорреляцию), то оценкиибудут обла­дать свойствами несмещенных оценок и могут быть получе­ны обычным МНК.

Уравнение (9) возможно только при t> 1, так как приt= 1 отсутствует лаговая переменная. Чтобы не уменьшать чис­ло степеней свободы рекомендуется для первого периода вре­мени (t =1) использоватьпоправку Прайса—Уинстена

(5.30)

Таким образом, ОМНК предполагает, что вместо исходных переменных y_tиx_tиспользуются взвешенные переменныеи,

где P– веса. В матричном виде модель регрессии принимает видPY = PXB + P.

В ней матрица ве­сов Рсоставит

Иными словами, матрица исходных данных трансформи­руется

Для длинных динамических рядов поправка Прайса — Уинстена может не применяться. Тогда матрица весов не со­держит первую строку рассмотренной матрицы Р, и в расчетах используется (n-1) преобразованных наблюденийи.

К преобразованным переменным иприменяется традиционный МНК и оцениваются параметрыи.Далее из со­отношенияможно найти параметркак

(11)

ОМНК распространяется и на случай множественной рег­рессии

Если имеет место автокорреляция остатков и то

Или, исходя из прежней символики, строим модель вида

(5.31)

Применяя к переменным традиционный МНК, найдем оценки параметров. Свободный член модели определим какДалее можно написать искомую модель регрессииy_t =a + b_lx_lt + ...+b_px_pt,в которой устранена автокорреляция остатков.

Иными словами, применение ОМНК к регрессии с автокоррелированными остатками сводится к двухшаговой про­цедуре:

• преобразование исходных уровней динамических рядов с помощью известного значения коэффициента автокорреляции остатков первого порядка р;

• применение к преобразованным данным обычного МНК.