4.2. Оценивание параметров структурной модели

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы:

• метод инструментальных переменных (ИП);

• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

• двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Методы оценивания структурных уравнений различных видов

1. Точная идентифицируемость

Допустим, требуется оценить параметры уравнения функции потребления в простой модели Кейнса формирования доходов:

(3)

где — объем потребления, совокупный доход и инвестиции соответственно, а— случайный член.

Структурный коэффициент характеризует предельную склонность к потреблению.

В исходной модели — эндогенные переменные, а— экзогенная. Непосредственное оценивание параметров () в структурном уравнении функции потребления дает смещенные и несостоятельные оценки, так как объясняющая переменнаяявляется эндогенной.

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему:

(4)

В приведенной системе коэффициенты при переменной равныеи— это инвестиционные мультипликаторы потребления и дохода соответственно. Это значит, что если объем инвестиций возрастет на единицу, то объем потребления увеличится на, а совокупный доход — на.

Рассмотрим различные методы оценивания структурных коэффициентов .

Косвенный метод наименьших квадратов. Уравнение дляв приведенной форме можно также представить в виде:

(5)

где (6)

В этом уравнении экзогенная переменная некоррелирована со случайным членомпоэтому для оценки параметров (') можно использовать обычный МНК.

Замечание. Для удобства рассмотрения оценку параметра и сам параметр будем в дальнейшем обозначать одним символом (параметром).

Оцененное уравнение (5), полученное по выборочным данным с помощью МНК,

дает несмещенные и состоятельные оценки параметров.

Из выражения (6) получаем оценки структурных коэффициентов:

(7)

Поскольку получены единственные оценки структурных коэффициентов через оценки () приведенных коэффициентов, то структурное уравнение функции потребления является однозначно определенным (точно идентифицируемым).

Метод инструментальных переменных.Проблема коррелированности объясняющей переменной Y, со случайным членомв структурном уравнении (3) дляможет быть разрешена с помощью метода ИП.

Для применения метода ИП необходимо найти такую инструментальную переменную, которая обладает следующими свойствами:

1) коррелирует с неудачно объясняющей переменной ;

2) не коррелирует со случайным членом .

В данном случае модель сама предоставляет такую переменную. Величина коррелирует с, посколькузависит отв уравнении (4), ине коррелирует споскольку является экзогенной переменной.

Оценка с помощью инструментальной переменнойопределяется как

Полученная оценка эквивалентна, — оценкес помощью КМНК. Действительно, из соотношения (7) и учитывая, чторассчитывается как соv(I, C)/var(I), получим

посколькусоv(I, Y) = соv(I,I+ С) = var(I) + cov(I, С).

В общем случае, когда оценка, полученная косвенным методом, единственна, она совпадает с оценкой, полученной методом ИП, т.е. КМНК можно рассматривать как частный случай метода ИП.

Пример 1.Для некоторой страны имеются данные о совокупном доходеY, объеме потребленияСи инвестицияхI, полученные за 10 лет (усл. ед.):

	190	198	200	180	200	210	220	210	205	210
	10	20	30	20	10	20	30	20	15	30
	200	218	230	200	201	230	250	240	220	240

Построим функцию потребления, используя модель Кейнса

формирования доходов (3).

Непосредственное оценивание структурного уравнения функции потребления обычным МНК приводит к следующим результатам:

= 60,9 + 0,635Y,

т.е. оценки = 60,9,= 0,635.

Было показано, что исходная модель (3) точно идентифицируема, поэтому для оценки ее структурных коэффициентов используем КМНК.

Оценка для Св приведенной форме

= 188 + 0,695I,

т.е. =188,= 0,695.

Из выражения (7) получим оценки структурных коэффициентов:

= 188/(1 +0,695) = 110,9,= 0,695/(1 + 0,695) = 0,41,

т.е. = 110,9 + 0,41Y.

Оценки структурных коэффициентов функции потребления,

полученные КМНК, являются несмещенными и состоятельными.