Глава 7. Центр тяжести

7.1 Приведение системы параллельных сил к равнодействующей. Центр параллельных сил

Если на тело действует пространственная система параллельных и в разные стороны направленных сил , , ..., (рисунок 114), то, выбрав координатные оси так, чтобы ось z была параллельна заданным силам, а плоскость хОу к ним перпендикулярна, по формулам (5, 8, §39) будем иметь

; ;

; ;

; .

По формулам (6, 9, §6.9) найдем модуль главного вектора и главного вектора-момента . При этом из формул (7, 10, §39) следует, что главный вектор при выбранном центре приведения в точке О расположен на оси z, а главный вектор-момент – в плоскости хОу (рисунок 114). Следовательно, главный вектор перпендикулярен к главному вектору-моменту , а поэтому пространственная система параллельных сил никогда не приводится к динаме. Она приводится к равнодействующей, если , или к паре, если , или взаимно уравновешивается, если и .

Рассмотрим теперь пространственную систему параллельных и одинаково направленных сил , , ..., (рисунок 115), приложенных к телу в точках , , …, . Очевидно, что эта система сил приводится к равнодействующей. Найдем эту равнодействующую.

Рассмотрим сначала силы и . В главе III, §12, было показано, что равнодействующая сил и по модулю равна , им параллельна и направлена в ту же сторону. При этом линия действии равнодействующей , проходит через точку , которая лежит на отрезке соединяющем точки приложения составляющих сил и , и делит этот отрезок на части, обратно пропорциональные составляющим силам:

. (1)

Из этого соотношения следует, что положение точки зависит только от модулей составляющих сил и расположения их точек приложения и не зависит от направления этих сил. Если силы и повернуть около их точек приложения и на один и тот же угол в одну и ту же сторону, то точка сохранит свое положение, и равнодействующая повернется вокруг нее на этот же угол.

Рассмотрим теперь силы и . Равнодействующая этих сил по модулю равна , им параллельна, направлена в ту же сторону и проходит через точку . При этом точка обладает таким же свойством, каким и точка .

Применив это рассуждение для равнодействующей и силы и т. д., придем к заключению, что равнодействующая пространственной системы параллельных сил , , ..., , направленных в одну сторону, равна по модулю сумме модулей этих сил, им параллельна и направлена в ту же сторону. При этом линия действия равнодействующей проходит через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам , , …, , т. е. к телу, будет неизменным.

Точка С, через которую проходит равнодействующая системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.

Найдем теперь координаты центра параллельных сил. Положение точки С по отношению к телу является неизменным и от выбора системы осей координат Охуz не зависит. Найдем сначала положение центра двух параллельных сил и (рисунок 116).

Пусть радиус-вектор определяет положение точки приложения силы , а радиус-вектор , – точки приложения силы . Линия действия равнодействующей этих сил пересекает отрезок в точке . Изменим направление сил и , повернув их на некоторый произвольный угол . При этом линия действия новой равнодействующей будет пересекать отрезок , также в точке . Следовательно, по определению, точка представляет собой центр параллельных сил и . Предположим, что радиус-вектор, определяющий положение точки , есть . Очевидно (рисунок 116), что

и .

Так как векторы и(рисунок 116) коллинеарны, то соотношение (1) можно записать в виде

, или

. (2)

Разрешая равенство (2) относительно , получаем

. (3)

Эта формула определяет положение центра двух параллельных сил и .

Для определения радиуса-вектора , определяющего положение центра трех параллельных сил:,и, можно воспользоваться формулой (3) и определить по ней положение центра двух параллельных сил: и . Пусть положение точки приложения силы, определяется радиусом-вектором. Тогда положение центратрех параллельных сил:,и– будет согласно формуле (3) определяться так:

. (4)

Аналогичным приемом мы получим и радиус-вектор , определяющий положение центраС системы n параллельных сил:

, или

, (5) или

, (6) где модуль равнодействующейпространственной системы параллельных сил,, …,,– радиус-вектор точки приложениясилы.

Проектируя векторное равенство (6) на оси координат, получим координаты центра параллельных сил в виде

; ; . (7)

Заметим, что формулы (6) и (7) будут справедливы и для параллельных сил, направленных в разные стороны, если в них считать величинами алгебраическими (для одного направления со знаком "плюс", для другого – "минус") и если при этом

Применим теперь формулы (6) и (7) к определению положения центра тяжести тел.