1.3 Аксиомы статики и некоторые следствия из них

Изложение ньютоновских общих аксиом теоретической механики мы отложим до начала изложения динамики. Теперь же, приступая к изучению статики абсолютно твердого тела, ограничимся установлением частных аксиом, которые достаточны, чтобы обосновать на них статику, но недостаточны для обоснования всей теоретической механики. При этом в число аксиом статики войдет одна из ньютоновских общих аксиом, т. е. аксиома равенства действия и противодействия. С точки зрения логической строгости необходимо, чтобы число аксиом было минимальным, чтобы они были непротиворечивыми и независимыми. Таким образом, в основе статики лежит несколько аксиом, или истин, принимаемых без математических доказательств и подтверждаемых повседневным опытом. Все же остальные положения статики выводятся и строго доказываются, исходя из этих аксиом.

Аксиома I. Свободное абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия (рисунок 2).

Эта аксиома определяет простейшую уравновешенную систему сил. Опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, не может находиться в равновесии.

Аксиома II. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять систему сил, эквивалентную нулю.

Из этой аксиомы следует, что две системы сил отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие I. Не изменяя действия данной силы на абсолютно твердое тело, точку приложения этой силы можно переносить вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Доказывается это следствие на основании аксиом I и II. А именно, пусть дана сила , приложенная в точке А рассматриваемого абсолютно твердого тела (рисунок 3, а). Согласно аксиоме II можно в произвольной точке В, взятой в этом же теле на линии действия силы , приложить две равные по модулю и противоположно направленные по одной прямой силы и (рисунок 3, б). Подберем при этом силы итак, чтобы они подмодулю были равны заданной силе. Тогда согласно аксиоме I силы ибудут взаимно уравновешены. Согласно аксиомеII мы можем силы и отбросить. В результате остается одна сила , приложенная в точкеВ (рисунок 3, в) и эквивалентная (сила эквивалентна силе=>~– рисунок 3,в) прежней силе , которая была приложена в точке А. Таким образом, следствие доказано.

Так как точку приложения силы, действующей на твердое тело, можно помещать на линии действия где угодно, то точка приложения силы перестает быть характерным элементом силы, и поэтому говорят, что сила есть вектор скользящий.

Следовательно, сила, действующая на твердое тело, определяется ее модулем, линией действия и направлением вдоль линии действия.

Свобода переноса точки приложения силы вдоль линии ее действия является характерным свойством только абсолютно твердого тела. В деформируемом теле такой перенос силы недопустим. Например, если вдоль стержня к двум концам его приложить две равные по модулю и прямо противоположные по направлению силы и, направленные внутрь стержня, то деформируемый стержень будет сжиматься (рисунок 4,а). Если же перенести эти силы вдоль линии их действия (рисунок 4, б) в соответственно противоположные концы стержня, то в новом своем положении те же силы ибудут растягивать стержень. В этом случае говорят, что сила, приложенная к деформируемому телу, есть векторприложенный (неподвижный). Этот пример показывает, что системы сил, эквивалентные в статическом смысле, могут быть не эквивалентны с точки зрения механики деформируемых тел.

Следствие II. Равнодействующая и уравновешивающая силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Докажем это следствие. Предположим, что сила есть равнодействующая данной системы сил, , ,…,, действующих на абсолютно твердое тело (рисунок 5). Приложим к этому телу по линии действия равнодействующей равную ей по модулю, но направленную в противоположную сторону силу . Силыивзаимно уравновешиваются по аксиомеI.

Не нарушая механического состояния тела, мы можем заменить равнодействующую эквивалентной ей системой сил , , ,…,.А так как сила уравновешивает равнодействующую , то она будет уравновешивающей и для системы сил , , ,…,.

Поскольку по условию сила равна по модулю и направлена противоположно силе, то следствие II доказано.

Из этого следствия вытекает, что нахождение силы, уравновешивающей данную систему сил, можно свести к нахождению равнодействующей этой системы сил.

АксиомаIII. Равнодействующая двух сил, приложенных, к телу в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой диагонали (рисунок 6, а).

Параллелограмм, построенный на данных силах и, называется параллелограммом сил, а сам способ нахождения равнодействующей путем построения параллелограмма называетсяправилом параллелограмма сил.

Здесь же необходимо заметить, что при нахождении равнодействующей двух сил инет надобностистроить весь параллелограмм (рисунок 6, а). Достаточно выполнить лишь следующее построение: из конца вектора первой силы (рисунок 6, б) проводим вектор второй силы . Вектор, соединяющий начальную и конечную точки полученной ломаной линии, изобразит, очевидно, по модулю и направлению равнодействующую этих сил. Этот способ нахождения равнодействующей двух сил называется правилом треугольника сил.

Равнодействующая является геометрической (векторной) суммой сили. Поэтому на основании аксиомыIII имеем

, где знак "плюс" обозначает операцию геометрического (векторного) сложения сили, т. е. сложения этих сил по правилу параллелограмма (рисунок 6, а) или, что то же самое, по правилу треугольника (рисунок 6, б).

Аксиома III позволяет нам рассмотреть два метода для отыскания равнодействующей двух сил, приложенных в одной точке.

Первый из них, называемый графическим методом сложения сил, требует только точного и аккуратного выполнения чертежа. Построив параллелограмм сил (рисунок 6, а) или треугольник сил (рисунок 6, б) в определенном масштабе и измерив в этом масштабе длину диагонали параллелограмма или длину замыкающей треугольника, мы найдем модуль равнодействующей силы. При этом направление этой равнодействующей силы определяется путем измерения углов и, которые она образует с составляющими силамии.

Второй метод, называемый геометрическим, основан на применении правил геометрии и некоторых формул тригонометрии. Пользуясь этим методом, не следует стремиться точно построить чертеж, так как теперь он будет служить лишь для иллюстрации решения задачи о сложении двух сил, приложенных в одной точке. Из треугольника АВО согласно теореме косинусов найдем модуль равнодействующей

,где перед корнем берем знак "плюс", так как модуль вектора всегда число положительное.

Так как , то предыдущее равенство будет иметь вид

(1)где – угол междулиниями действия сил и.

Определим теперь направление равнодействующей. По теореме синусов из того же треугольника АВС будем иметь

.

Но, следовательно,

. (2) Формула (2) позволяет найти синусы углов между равнодействующей и составляющими силами, а следовательно, и сами эти углы.

Пользуясь I и III аксиомами, докажем теперь следующую теорему об уравновешивании двух сил, линии действия которых пересекаются в одной точке третьей силой: если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил обязательно пересекаются в одной точке.

Доказательство. Предположим, что данное абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием системы трех сил , , ,т. е. эта система сил эквивалентна нулю. Пусть дано, что линии действия сил и пересекаются в точке О, а линия действия силы неизвестна (рисунок 7). Перенесем точки приложения сил и по линиям действия этих сил в точку О. Построив на этих силах как на сторонах параллелограмм, заменим эти силы согласно аксиоме III одной равнодействующей (рисунок 8). В результате получим систему сил , ,эквивалентную прежней системе сил , , ,и находящуюся по условию в равновесии. Но, согласно аксиоме I, это возможно только в том случае, если силы и ,лежат на одной прямой, чем и доказывается теорема. Эта теорема будет иметь широкое применение при решении задач. Заметим, что данная теорема дает лишь необходимое условие равновесия, но недостаточное, ибо ясно, что не всякие три силы, линии действия которых пересекаются и лежат в одной плоскости, будут находиться в равновесии.

Аксиома IV. Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, всегда равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Эта аксиома называется законом равенства действия и противодействия. Смысл аксиомы IV состоит в том, что если тело А действует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело А с силой (рисунок 9). Одна из этих сил, например, получила название "действие", а другая – "противодействие". Нужно запомнить, что силыи не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены не к одному, а к двум разным телам.

Из этой аксиомы следует, что в природе не существует одностороннего действия силы.

Аксиома V. Если деформируемое тело находится под действием некоторой системы сил в равновесии, то равновесие не нарушится и в том случае, если это тело отвердеет (станет абсолютно твердым).

Эту аксиому называют принципом отвердевания. Из принципа отвердевания следует, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для абсолютно твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего деформируемого тела. (Достаточные условия равновесия деформируемых тел устанавливаются в курсах сопротивления материалов и теории упругости).

Например, твердый брусок (рисунок 10,а, б) находится в равновесии под действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль оси бруска друг к другу либо друг от друга, а нить, соответствующая этому бруску, находится в равновесии только под действием двух сил, равных по модулю и направленных вдоль нити друг от друга (рисунок 11). Очевидно, что под действием сил, направленных друг к другу, нить сомнется.

Принцип отвердевания широко используется в инженерных расчетах. Он устанавливает связь между статикой абсолютно твердого тела и статикой деформируемого тела. Этот принцип позволяет результаты, изложенные в статике абсолютно твердого тела, перенести затем не только на исследование равновесия деформируемых тел (сопротивление материалов) и целых инженерных сооружений (строительная механика), но и на равновесие жидкости (гидростатика).