6.9 Приведение произвольной пространственной системы сил к одной силе и к одной паре

Если линии действия сил данной системы расположены в разных плоскостях, не пересекаются в одной точке и непараллельны между собой (но некоторые из них могут пересекаться в одной точке и могут быть параллельны между собой), то такая система сил называется произвольной пространственной системой сил.

Задача о приведении произвольной пространственной системы сил к силе и паре, аналогичная задаче, рассмотренной в §18, решается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Предположим, что к твердому телу приложена произвольная пространственная система сил ,, …, (рисунок 102, а). Выберем произвольную точку О, принадлежащую телу, в качестве центра приведения. Приложим к нему две силы и (рисунок102, б). От приложения таких двух уравновешивающих друг друга сил состояние тела не нарушается. Систему сил , и можно рассматривать как силу , приложенную в центре приведения О, и пару сил (, ). Следовательно, вместо ранее имевшейся одной силы , приложенной в точке , имеем теперь силу , приложенную в центре приведения О, т. е. как бы силу , но перенесенную параллельно самой себе в центр приведения О, и присоединенную пару (, ) с вектором-моментом (заметим, что рисунок 102, б равносилен рисунок 102, в). При этом вектор-момент присоединенной пары (, ) равен вектору-моменту приложенной в точке силы относительно центра приведения О, т. е. .

Применяя аналогично теорему о параллельном переносе силы ко всем другим силам, вместо сил , , …, , приложенных в разных точках ,, …,тела, получим (рисунок 102,а) систему сходящихся сил:

,, …,., (1)приложенных в центре приведения О, и систему присоединенных пар (,), (,), …, (,), векторы-моменты которых будут равны

,, …,. (2)

Приложенные к центру приведения О силы , , ..., можно сложить по правилу силового многоугольника и, следовательно, заменить одной эквивалентной им силой , равной их геометрической сумме и приложенной в том же центре приведенияО. При этом

, или, согласно равенствам (1),

Так же как и для произвольной плоской системы, вектор , равный геометрической сумме всех сил произвольной пространственной системы сил, называется главным вектором этой системы. Говоря, что вектор есть главный вектор данной системы сил, , , ..., ,а не равнодействующей силой той же системы сил, мы подчеркиваем, что главный вектор не может заменить действие на тело системы сил , , ..., , т. е. он не эквивалентен этой системе сил. Главный вектор является равнодействующей системы сил , , ..., , а не заданной системы сил , , ..., .

Чтобы сложить все полученные присоединенные пары, надо геометрически сложить векторы-моменты этих пар. В результате система пар заменится одной парой, вектор-момент которой равен геометрической сумме векторов-моментов присоединенных пар:

,или, согласно равенствам (2),

, (4)где есть геометрическая сумма векторов-моментов сил данной системы , , ..., относительно центра приведенияО.

Вектор, равный геометрической сумме векторов-моментов всех сил произвольной пространственной системы сил относительно центра приведенияО, называется главным вектором-моментом этой системы сил относительно того же центра приведения О. Заметим, что так как силы данной системы , , ..., расположены в пространстве совершенно произвольно, то главный вектор-моментпо отношению к главному вектору может быть направлен под каким угодно углом (рисунок 103).

Таким образом, мы доказали следующую теорему: произвольную пространственную систему сил, действующих на твердое тело, в общем случае можно заменить одной силой, равной главному вектору системы и приложенной в произвольно выбранном центре приведения О, и одной парой с вектором-моментом, равным главному вектору-моменту системы относительно центра приведения О (рисунок 103).

Из доказанной теоремы следует, что две произвольные пространственные системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные векторы-моменты, эквивалентны. Следовательно, для задания произвольной пространственной системы сил, действующих на твердое тело, достаточно задать ее главный вектор и главный вектор-момент относительно данного центра приведения О.

Векторы и можно определить и аналитически. Примем за начало координат центр приведения О (рисунок 103). По теореме о проекциях геометрической суммы векторов на ось будем иметь следующие выражения для проекций главного вектора , на оси координат:

;;. (5)

Отсюда, согласно формулам (4, 5, §8), находим модуль и направление главного вектора:

; (6)

(7)

По той же теореме о проекциях геометрической суммы на ось получим проекции на оси координат и главного вектора-момента

;;

,или, согласно равенству (4, §37)

;;. (8)

Отсюда аналогично находим модуль и направление главного вектора-момента :

; (9)

(10)