4.3 Приведение произвольной плоской системы сил к равнодействующей

Предположим, что произвольная плоская система сил приводится к одной силе, равной главному вектору и приложенной к центру приведения, и к одной паре с моментом, равным главному моменту (рисунок 57, а). Докажем, что рассматриваемая произвольная плоская система сил приводится в этом общем случае к равнодействующей силе , линия действия которой проходит через точку А, отстоящую от выбранного центра приведения О на расстоянии . Для этого преобразуем пару с моментом так, чтобы силы и , составляющие эту пару, оказались равными по модулю главному вектору R'. При этом нужно подобрать плечо пары так, чтобы ее момент т оставался равным М₀ .Для этого плечо пары нужно, очевидно, находить из равенства

. (1)

Пользуясь тем, что пару всегда можно перемещать в ее плоскости действия как угодно, переместим пару так, чтобы ее сила оказалась приложенной в центре приведения О и противоположно направленной главному вектору (рисунок 57, б).

Рассматриваемая произвольная плоская система сил эквивалентна, таким образом, силе и паре . Отбрасывая силы и как уравновешенные, получим, что вся рассматриваемая система сил заменяется одной силой , являющейся, следовательно, равнодействующей. При этом линия действия равнодействующей будет проходить через точку А, положение которой относительно выбранного центра приведения определяется формулой (1).

Если же в результате приведения произвольной плоской системы сил окажется, что , а , то в этом частном случае эта система сил сразу заменяется одной силой, т. е. равнодействующей , линия действия которой проходит через выбранный центр приведения.

Задача 7. К точкам В и С тела соответственно приложены равные по модулю и взаимно перпендикулярные силы и , отстоящие от точки О тела на равных расстояниях . Привести эту систему сил к точке О (рисунок 58).

Решение. Перенесем силы ипараллельно самим себе в точкуО. В результате такого переноса получим (рисунок 58) силы и, приложенные в точке О, и присоединенные пары и, лежащие в одной плоскости с моментамии(силы, образующие эти пары отмечены на рисунке 58 черточками). От геометрического сложения сили, приложенных в точкеО, получим главный вектор данной системы сил

,

модуль которого, очевидно, равен

.

От сложения присоединенных пар получим равнодействующую пару, момент которой равен главному моменту данной системы сил относительно точкиО:

.

Следовательно, данная система двух сил иимеет равнодействующую

,

приложенную в точке А, которая отстоит от точки О на расстоянии

.

При этом

; ,

т. е. равнодействующая образует с обеими данными силами иравные углы по 45⁰.

Задача 8. На мостовую ферму (рисунок 59) действуют вертикальные силы т ит соответственно на расстоянии 10м и 40 м от левого конца фермы и горизонтальная сила т на уровне верхнего пояса фермы, высота фермы равна 6м. Привести систему сил ,ипростейшему виду.

Решение. Проводим оси координат так, как показано на рисунке 59, взяв начало координат в точке А. Найдем проекции главного вектора заданной системы сил на оси выбранной системы координат:

т, т,

откуда находим модуль главного вектора :

т .

Найдем теперь главный момент заданной системы сил относительно начала координат А:

т·м .

Следовательно, данная система сил имеет равнодействующую , модуль которойт.

Теперь найдем линию действия равнодействующей. Момент равнодействующей относительно начала координат А определится но формуле

,

где х и y — координаты точки, лежащей на линии действия равнодействующей. Так как т ит, то

.

С другой стороны, по теореме Вариньона о моменте равнодействующей (5, § 11) имеем

т·м.

Следовательно,

т·м,

или

.

Это и есть уравнение линии действия равнодействующей.

Полагая в этом уравнении , находим, что точка пересечения линии действия равнодействующейс верхним поясом фермы находится на расстояниим от левого конца фермы. Полагая же м, находим, что точка пересечения линии действия равнодействующей с нижнем поясом фермы находится на расстояниим от левого конца фермы. Соединения определенные таким образом точки пересечения линий действия равнодействующей с верхним и нижнем поясом фермы прямой линией, находим линию действия равнодействующей.