Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сыктывкарский Государственный Университет им. Питирима Сорокина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UMP_FVP_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

2.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Интегрируя уравнения по толщине слоя, получаем систему усредненных выражений:

n E n E

i H;

(1.57)

n H n H

где

–

двумерный

оператор дифференцирования,

1 d

E dz , H

H dz – усредненные по толщине компоненты

d 0

электрического и магнитного полей,

E , H – касательные составля-

ющие полей у поверхности слоя при z d ,

E , H – тангенциаль-

ные компоненты полей при z 0 . Обозначим волновой вектор через


k k z0 , где		k – поперечная компонента волнового вектора, а

	k 2 k 2 – продольное волновое число, k
	k 2 k 2 – продольное волновое число, k			i	– волновое

число. Вектор k		используется в качестве переменной преобразова-
ния	Фурье,	определяемого	следующей		формулой:

F k F r exp ik r dxdy . Используя решения уравнения Гельм-

гольца [6, 59], можно получить соотношения, связывающие усредненные касательные составляющие электрического и магнитного полей с касательными компонентами полей на верхней и нижней границах поверхности:

~	f d (E E ),
E	f d (E E ),

~	f d (H H ),	(1.58)
H	f d (H H ),

где f d – некоторая функция, связывающая усредненные компоненты полей с полями на границе слоя. Исключая нормальные состав-

ляющие полей к поверхности [6, 59], из системы уравнений (1.57), получаем точные соотношения в диадной форме:

	_		2		k k	n H H ;
E E i d f d I		k			k k		(1.59)
E E i d f d I				2			(1.59)
			2	2
		k			k

		_		2		n k n k	E E ,(1.60)
n H n H d f d I			k			n k n k
n H n H d f d I					2
				2	2
			k			k
_
где I x0x0	y0y0	– двумерная единичная диада, а x0 , y0 – еди-

ничные вектора. Уравнения (1.59) и (1.60) могут быть использованы для описания полей вблизи слоев с произвольными толщинами и являются строгими соотношениями для Фурье образов, не содержащие каких-либо приближений. Основной проблемой вывода граничных условий для полей-оригиналов является то, что коэффициенты (1.59) и (1.60) не являются рациональными функциями. Поэтому приходится применять различные приближенные подходы, которые, в сущности, сводятся к аппроксимации функции f ( d ) рациональными функция-

ми k .

Рассмотрим частный случай, когда k k (это имеет место в

средах с большими значениями материальных параметров). В этом случае можно установить точный вид функции f ( d) f (kd) . Бе-

рем решение волнового уравнения Гельмгольца 2E - k 2E 0 в виде a eikz be ikz . В нем неизвестные векторные коэффициенты могут быть определены, через поля Ex, y на верхней границе слоя и Ex, y –

на нижней. Тогда составляющие, например, для электрического поля на границах слоя, будут иметь вид:

Ex, y E 0 a b;

(1.61)

Ex, y E d a eikd b e ikd .

Функция f (kd)	связывает усредненные компоненты полей с
полями на границах слоя
~				Ex, y );
Ex, y f (kd)(Ex, y				Ex, y );				(1.62)
~					H x, y ).			(1.62)
~
H x, y f (kd)(H x, y
Решая уравнение
f (kd) Ex, y	Ex, y	1	d a eikz			dz	1	d b e ikz dz ,
f (kd) Ex, y	Ex, y		d a eikz			dz	d	d b e ikz dz ,
		d					d
				0				0
								(1.63)
получаем явный вид функции f (kd) :
	f kd				tg kd 2 .			(1.64)
					kd

Точные граничные условия для этого случая запишутся в виде

[12-14]:

E y Ex H y H x

E y i df kd H x H x , (1.65)Ex i df kd H y H y ,

H y df kd Ex Ex ,

(1.66)

H x df kd E y E y .

Приближенные граничные условия для тонкого проводящего слоя

Если в электродинамических задачах можно ограничиться определением поля только по одну сторону от поверхности раздела сред,

то вместо точных граничных условий, используют приближенные граничные условия. Применим локальное квазистатическое прибли-

жение для тонких слоев. Пусть толщина слоя d мала по сравнению с длиной волны, распространяющейся в направлении нормали к слою и выполняется неравенство:

	d	1.	(1.67)

Неравенство (1.67) может соответствовать следующим ситуаци-
ям. Во-первых, соотношение (1.67) выполняется при				k d	1 и

kd 1 когда, например, толщина слоя мала по сравнению как с дли-

нами волн, распространяющихся вдоль границ слоя, так и с длинами собственных волн в среде, заполняющей слой. Во-вторых, (1.67) вы-

полняется при соблюдении приближенного равенства k k , что

может соответствовать случаю, когда волна распространяется вдоль многослойной структуры с материальными параметрами, мало отличающимися друг от друга, даже если толщины слоев будут не малы.

Разложим функцию f d в ряд Тейлора и пренебрежем членами второго порядка малости:

f d 1/ 2 O d 2 .

(1.68)

При выполнении (1.68) связь между усредненными поперечны-

~ ~

ми составляющими полей внутри слоя E , H и компонентами полей

на границах слоя, обозначенных индексами (+) и (–) для верхней и нижней поверхностей, соответственно, представляется соотношения-

ми [40]:

~		E		E
E					,
E					,
				2
				2			(1.69)
			H H				(1.69)
~			H H
H						.
H						.
				2
				2
	24

Тогда с учетом (1.69), точные выражения (1.59), (1.60) становятся приближенными граничными условиями. Теперь можно выполнить обратное преобразование Фурье и найти соотношения между векторами поля как функциями координат.

Рис. 1.3. Геометрия компонент полей в тонком проводящем слое толщиной d.

Перейдем от векторных и диадных обозначений величин к традиционным граничным условиям для проекций полей на оси х и у (рис. 1.3) для компонент электрического поля [12, 13]

Ex Ex	1 2		H x H x							1 2			H x	H x
							i								,
							i				2				,
d	x y	2							x		2			2
d	x y	2							x					2	(1.70)
Ey Ey		1 2			H x H x			1 2				H y H y
	i
	i			2
d		y		2		2		x y					2
d		y				2		x y					2

и касательных к поверхности составляющих магнитного поля

H x H x	1	2	Ex		Ex			1	2		Ey Ey
												,
										2		,
d	i x y				2			i x		2	2
d	i x y				2			i x			2	(1.71)
												(1.71)
H y H y		1 2				Ex	Ex	1	2		Ey Ey
													.
				2									.
d		i y		2			2	i x y			2
d		i y					2	i x y			2

Аналогичную систему граничных условий (1.70) – (1.71) можно получить, не используя диадного аппарата и двумерных операторов, исходя только из общих свойств уравнений электродинамики.

Для частного случая, описанного в п. 1.4.1 производными по касательным координатам можно пренебречь, тогда приближенные граничные условия запишутся в виде [12-14]:

H x

E y

i d

(1.72)

Ex Ex

i d

H y

(1.73)

H x H x

Точные и приближенные граничные условия для произвольного тонкого слоя

Рассмотрим среду с параметрами , μ классическая система уравнений электродинамики в которой в системе СИ имеет вид [34, 39, 43, 49]:

rotE 0 H		,	(1.74)
	t
rotH 0	E E ,		(1.75)
	t
26

где E и H - электрическое и магнитное поля, и - действительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, - проводимость среды, 0 и 0 - электрическая и магнитная постоянные в системе СИ, t - время. Предполагается, что среда однородна, то есть ,

и не зависят от координат, а также какие-либо заряды отсут-

ствуют. Остальные два уравнения системы описываются выражения-

ми (1.2).

Эта система уравнений при временной зависимости вида ei t и введении комплексной диэлектрической проницаемости проводящей среды

c i		(1.76)
c i	0	(1.76)
	0
принимает вид:
rotE i 0H ,		(1.77)
rotH i c 0E .		(1.78)
Для упрощения дальнейшей записи будем использовать для
обозначения комплексной диэлектрической проницаемости		вместо

символа c символ (то есть, опускаем индекс c ), не забывая, одна-

ко, что так обозначаемая диэлектрическая проницаемость является комплексной.

В соответствии с определением ротора, как математической функции, в декартовой системе координат имеем:

rotA i

где i, j, k - единичные векторы по осям Ox ,

и Oz декартовой си-

стемы координат.

Запишем координатные составляющие (1.77) и (1.78) в виде:

E y

i 0 H x

(1.79)

i 0 H y

(1.80)

E y

i 0 H z

(1.81)

H z

H y

i 0 Ex ,

(1.82)

H x

H z

i 0 E y ,

(1.83)

H y

H x

i 0 Ez .

(1.84)

Это - система шести уравнений с шестью неизвестными: Ex , E y , Ez , H x , H y , H z . При этом уравнения (1.74) и (1.75) удовле-

творяются тождественно.

Покажем, что из системы шести уравнений (1.79)-(1.84) можно выделить замкнутую часть из четырех уравнений, содержащую только

четыре неизвестных Ex , E y , H x , H y				[26].
Для этого выполним ряд параллельных подстановок: из (1.84)
выразим Ez :
	i		H y	H	x
Ez					x	,	(1.85)
Ez			x	y		,	(1.85)
		0	x	y
		0

и подставим сначала в (1.80):

	i	H y

	0
x	0		x

		H x
		H x	i 0 H y , (1.86)
		y	i 0 H y , (1.86)
		y

а затем в (1.79):

	i	H y		H	x	E y
					x		i 0 H x ;
	0		x	y		z	i 0 H x ;
y	0		x	y		z

после этого из (1.81) выразим H z :

	i		E y		E	x
H z						x	,
H z				x	y		,
		0		x	y
		0

и подставим сначала в (1.83):

E y

i 0 E y ,

а затем в (1.82):

E y

H y

i 0 Ex .

(1.87)

(1.88)

(1.89)

(1.90)

Далее, в каждом из выражений (1.85) - (1.90) слева оставим только производную по z , а все остальное перенесем в правую часть, где вынесем i за квадратную скобку, а внутри квадратных скобок сгруппируем слагаемые, содержащие x и y компоненты соответ-

ствующих полей и вынесем их за круглые скобки. Заменим также каждые две последовательные производные первого порядка одной производной второго порядка. В результате таких преобразований из

(1.86), (1.87), (1.89), (1.90) получим [26]:

Ex								1					2					1					2	H x
Ex								1										1						H x
			i 0														H y									,
	z		i 0					0									H y	0				x y				,
	z							0			x				2			0				x y
											x
	E y							1			2							1		2 H y

		z		i		0								2		H x					x y					,
		z							0	y									0		x y
									0	y									0


		H x						1						2				1					2		Ex
														2									2

							0									E y
		z			i		0	0							2	E y		0				x y				,
		z						0				x						0				x y
												x

(1.91)

(1.92)

(1.93)

H y		1	2			1	2 E y

	i 0				Ex			.(1.94)
z	i 0	0			Ex	0		.(1.94)
z		0	y	2		0	x y
			y

Это и есть искомая замкнутая система четырех уравнений с четырьмя неизвестными Ex , E y , H x , H y , которую можно решить

независимо. Компоненты полей Ez и H z после этого получаются из

выражений (1.85) и (1.88). Полученные выражения (1.91)-(1.94) справедливы во всем пространстве.

Предположим, что мы решаем задачу для плоскопараллельной пластины, плоскости которой перпендикулярны оси Oz (то есть, параллельны координатной плоскости Oxy ).

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Распределительные системы

#
29.03.20162.26 Mб46UMP_FVP_1.pdf
#
29.03.20161.87 Mб28UMP_FVP_2.pdf
#
29.03.20161.86 Mб31UMP_FVP_3.pdf