2 курс / Численные методы / числ_методы / Занятие2

Занятие 2

Задание:

1)найти корень уравнения методом половинного деления на отрезке [0, 2] с точностью ε1=10-3 и уточнить его методом секущих с погрешностью ε2=10-8.

2)найти корень уравнения методом половинного деления на отрезке [0, 2] с точностью ε1=10-3 и уточнить его методом Ньютона с погрешностью ε2=10-10.

3)Применить к решению уравнения стандартную процедуру fsolve программы SciLab, описанную в главе 6 учебника по

Scilab.

4x3 −6x2 + x − 7 = 0

Информация по методу половинного деления, методу Ньютона и методу секущих.

Пусть f - полином или другая функция одного переменного. Задача состоит в том, чтобы найти один или более нулей f, т.е. решений уравнения f (х)=0. Чтобы начать поиск нуля f (х), предположим, что можно найти интервал [a, b], на котором f (х) меняет знак. Такой интервал всегда можно найти, и можно сузить его настолько, насколько позволяет система чисел с плавающей точкой, т. е. так, чтобы концевыми точками были два соседних числа этой системы. Таким образом, мы можем найти корень уравнения с заданной погрешностью, которая будет равна величине интервала.

Если о функции f ничего не известно, то наиболее надежным алгоритмом является метод бисекции или половинного деления. При заданной точности ε метод состоит из таких шагов:

1. Положить α=а и β=b. Вычислить f(α) и f(β). 2. Положить γ=(α+β)/2. Вычислить f(γ).

3. Если sign(f(γ))=sign(f(α)), то заменить α на γ; в противном случае заменить β на γ.

4. Если β−α>ε, то перейти к шагу 2; в противном случае остановка работы программы.

Алгоритм бисекции довольно медлителен, но зато застрахован от неудачи. Если каждое вычисление f(х) несложно, то обычно нет серьезных причин, чтобы отвергнуть этот метод.

Если математическая функция f достаточно гладкая (имеет одну или две непрерывные производные) то часто есть возможность значительно сократить число вычислений функции по сравнению с методом бисекции.

В методе Ньютона нуль функции f находится как предел последовательности чисел {xk}. Последовательность следующая:

Каждое новое приближение xk+1 вычисляется как единственный нуль касательной прямой к функции y=f(x) в точке хk, т. е. путем локальной линеаризации f около xk.

При нахождении нулей функции f, для которой вычисление f ′(x)

затруднено, метод секущих является часто лучшим, чем метод Ньютона. В этом алгоритме начинают с двумя исходными числами x1 и x2. На каждом шаге xk+1 получают из xk и xk-l как единственный нуль линейной функции, принимающей значения f (xk) в xk и f (xk-l) в xk-l. Эта линейная функция представляет секущую к кривой у=f(x), проходящую через ее точки с абсциссами xk и xk-1 - отсюда название метод секущих.

Последовательность метода следующая:

xk+1 = xk − ( fk−1 − fk )fk(xk−1 −xk ) ,

где fk = f (xk ) .