Задачи ЛП и методы их решения

59

Потенциалы:

U1 = 0,

V2 = C1,2 − U1 = 14,

V3 = C1,3 − U1 = 16,

V5 = C1,5 − U1 = 0,

U2 = C3,2 − V3 = 10,

U3 = C5,3 − V5 = 0,

V1 = C2,1 − U 2 = 9,

V4 = C3,4 − U3 = 39.

Определяем значения оценок, для всех свободных клеток:

Выделенные оценки не являются оптимальными, а именно:

Выберем из этих трех оценку S2,4 = −13, как максимальную по модулю.

Строим для этой клетки цикл, помечая клетки цикла знаками "плюс" и "минус".

План грузоперевозок

Перемещаем по циклу груз величиной в 30 единиц. В результате перемещения по циклу получим новый план.

60

Стоимость перевозок при этом = 15905.

Значение стоимости перевозок изменилось на 390 единиц, по сравнению с предыдущей стоимостью.

3 этап.

Полагая потенциал U1 = 0, определяем остальные потенциалы из соотношения

U j + Vi = Ci, j (i = 1..m, j = 1..n),

просматривая все занятые клетки. Потенциалы:

Определяем значения оценок, для всех свободных клеток:

Si, j = Ci, j − (V j − Ui ).

61

Выделенные оценки не являются оптимальными, а именно:

S1,4 = C1,4 − (V4 − U1 )= −11.

Выбираем оценку S1,4 = −11 .

Строим для этой клетки цикл, помечая клетки цикла знаками "плюс" и "минус".

План грузоперевозок

Перемещаем по циклу груз величиной в 10 единиц. В результате перемещения по циклу получим новый план.

62

Новый план грузоперевозок

Стоимость перевозок при этом = 15795.

Значение стоимости перевозок изменилось на 110 единиц, по сравнению с предыдущей стоимостью.

4 этап.

Полагая потенциал U1 = 0, определяем остальные потенциалы из соотношения

U j + Vi = Ci, j (i = 1..m, j = 1..n),

просматривая все занятые клетки. Потенциалы:

U1 = 0,

V2 = C1,2 − U1 = 14,

V3 = C1,3 − U1 = 16,

V4 = C1,4 − U1 = 28,

U2 = C4,2 − V4 = 8,

U3 = C4,3 − V4 = 11,

V1 = C2,1 − U 2 = 11,

V5 = C3,5 − U3 = −11.

Определяем значения оценок, для всех свободных клеток:

Si, j = Ci, j − (V j − Ui ).

63

Выделенные оценки не являются оптимальными, а именно:

S2,2 = C2,2 − (V2 − U 2 )= −5.

Выбираем оценку S2,2 = −5 .

Строим для этой клетки цикл, помечая клетки цикла знаками "плюс" и "минус".

План грузоперевозок

Перемещаем по циклу груз величиной в 30 единиц. В результате перемещения по циклу получим новый план.

Стоимость перевозок при этом = 15645.

64

Значение стоимости перевозок изменилось на 150 единиц, по сравнению с предыдущей

стоимостью.

5 этап.

Полагая потенциал U1 = 0, определяем остальные потенциалы из соотношения

U j + Vi = Ci, j (i = 1..m, j = 1..n),

просматривая все занятые клетки.

Потенциалы:

U2 = C2,2 − V2 = 3,

U3 = C4,3 − V3 = 11,

V1 = C2,1 − V2 = 16,

V5 = C3,5 − U3 = −11.

Определяем значения оценок, для всех свободных клеток:

Так как все оценки неотрицательны, то полученный план является оптимальным.

Транспортная задача решена.

65

Стоимость перевозок при этом = 15645.

145 единиц груза из хранилища A3 осталось нераспределенным.

Графически оптимальный план грузоперевозок можно представить в виде графа со значения перевозок на дугах.

145

66

5. ЗАДАЧА ОБ АРЕНДЕ ОБОРУДОВАНИЯ

5.1. Предварительные сведения. Бесконтурные сети

Сети являются частным случаем графов. Ограничимся случаем бесконтурных сетей, используемых в задачах контрольных заданий.

Граф является математическим, формальным представлением объектов, между которыми попарно установлены некоторые связи [9,18,19]. Объекты называются вершинами и графически изображаются кружками. Связи считаются установленными между некоторыми парами из различных вершин и считаются односторонними. Графически связь изображается линией со стрелкой, или дугой, соединяющей две вершины. Согласно направлению связи, т.е. направлению стрелки, соединяемые вершины являются началом и концом дуги, или, другими словами, начальной и конечной вершинами дуги.

Будем считать, что между двумя вершинами есть не более одной дуги (нет "параллельных" дуг). Формально этого можно добиться, разбив дугу на две с помощью промежуточной вершины. В дальнейшем дугу будем записать в виде упорядоченной пары (a, b), где a – начало дуги, b – конец дуги.

Путём из вершины v0 в вершину vk , или путём, начинающимся в v0 и заканчивающимся в vk , называется последовательность различных (возможен только случай v0 = vk ) вершин

(v0 ,v1,...,vk−1,vk ) , где пары (v0 ,v1) , (v1,v2 ) , …, (vk−1,vk ) различны и являются дугами. Графически путь представляет непрерывную направленную линию из дуг, согласованную с направлениями стрелок ("движения по стрелкам"). Если v0 = vk , т.е. если начало пути совпадает с концом пути, то путь называется контуром. Цепочкой из вершины v0 в вершину vk называется последовательность (v0 ,v1,...,vk−1,vk ) из различных вершин, в которой дугами являются (v0 ,v1) или (v1,v0 ) , (v1,v2 ) или (v2 ,v1) , и т.д. Таким образом, цепочка соответствует линии из v0 в vk без учёта направления стрелок. Замкнутая цепочка называется циклом.

Будем предполагать, что любые две вершины можно соединить цепочкой (соответствующий граф называется связным).

Определение. Конечная совокупность вершин и дуг (и их графическое изображение) называется сетью, если выполняются условия:

а) связности; б) отсутствия петель (начало и конец дуги различны);

в) отсутствие параллельных дуг. ♦

67

Определение. Сеть называется бесконтурной, или упорядоченной сетью, если в ней нет контуров. ♦

Замечание. В литературе встречается также термин ациклическая сеть.

Сеть на рис.1 не является бесконтурной, т.к. есть контур (b, d, f, c, b).

Н у м е р а ц и я вершин сети – это сопоставление вершинам номеров – натуральных чисел, при этом различным вершинам сопоставляются различные номера.

Определение. Нумерация называется правильной, если:

а) номера идут подряд: 1, 2, …, m, где m – число вершин;

б) номер начала дуги меньше номера конца дуги, т.е. все дуги записываются в виде (i, j) , где i < j . ♦

В сетях, имеющих контур, правильной нумерации не может быть, так как для вершины контура с номером n получаем противоречивое неравенство n < ... < n .

В бесконтурных сетях правильная нумерация возможна и может быть проставлена по следующей процедуре (алгоритм Форда).

1.Найдём вершину, которая не является началом никакой дуги, т.е. из которой дуги не выходят. Такая вершина легко может быть найдена, если, начиная с любой вершины, двигаться по стрелкам дуг, переходя из вершины в вершину.

2.Присвоим найденной вершине текущий номер. Первый раз таким номером является m – число вершин сети.

3.Уменьшим текущий номер на одну единицу. Вычеркнем или пометим как-либо дуги, заканчивающиеся в вершине, только что пронумерованной. В дальнейшем считаем, что этих дуг нет в сети. Возвращаемся к шагу 1, т.е. все повторяем с начала.

Замечание. 1. Если не удаётся найти вершину в шаге 1, то в сети есть контур и правильная нумерация невозможна, так что алгоритм Форда является также и проверкой, будет ли сеть бесконтурной.

2. Правильных нумераций в сети может быть несколько.

(1 и 2, 4 и 5 можно поменять местами)

5.2. Планы аренды. Постановка задачи

Некоторая фирма (пункт проката) предоставляет в аренду ценное оборудование. Предположим, что другая фирма планирует иметь это оборудование в течение времени [T нач ,T кон ] и может брать в аренду (оформлять аренду) в определенные моменты

t1 ,t2 ,…,tN ,tN+1 , где t1 =Tнач <t2 <…<tN <tN+1 =Tкон. Таким образом, имеются N отрезков времени [t1 ,t2 ],[t2 ,t3 ],…,[tN ,tN +1 ], в начале которых можно брать оборудование в аренду

68

(в другой трактовке – покупать новое оборудование), пользоваться им в течение некоторого целого числа отрезков, а в конце какого-либо отрезка возвращать (в другой трактовке – списывать). Отрезками времени могут быть месяцы, дни, недели, часы и т.п., причем один отрезок может состоять, например, из двух недель, другой – из целого квартала, третий – из

четырех дней и так далее. В дальнейшем отрезки [ti ,ti +1 ] для определенности будем

называть месяцами , а момент ti начала отрезка (начала i-го месяца) будем обозначать

просто через i . Таким образом, в аренду оборудование можно брать в моменты i=1,2,…,N и возвращать в моменты j=2,3,…,N+1.

Планом аренды называется последовательность очередных моментов оформления аренды (и возврата оборудования). В наших обозначениях – это возрастающая последовательность натуральных чисел (1,i1 ,i2 ,…,ik ,N +1). Общее количество планов аренды на N месяцев

совпадает с числом всех подмножеств {2, 3, ,N} и равно 2N - 1 . Примеры планов аренды:

1.(1,2,3,…,7) - план аренды на 6 месяцев, состоящий в том, аренда оформляется 6 раз – каждый раз на 1 месяц;

2.(1, 3, 5, 7) - план аренды на 6 месяцев, состоящий в том, аренда оформляется 3 раза – каждый раз на 2 месяца;

3.(1, 3, 7) - план аренды на 6 месяцев, состоящий в том, аренда оформляется 2 раза – первый раз на 2=3-1 месяца (первый и второй), второй раз на 4 месяца (третий, четвертый, пятый и шестой);

4.(1, 15) план аренды на 14 месяцев, состоящий в том, аренда оформляется 1 раз – с начала

1-го месяца на весь срок – до конца 14 -го месяца.

Предположим теперь , что фирма, предлагающая оборудование в аренду, установила заранее значения арендной платы (стоимости аренды) на все возможные отрезки времени. Пусть Cij

– стоимости аренды от начала i-го месяца до начала j-го месяца в некоторых единицах (у.е.), где 1 ≤ i < j ≤ N+1. Тогда несложно видеть, что число C1i1 + Ci1i2 +…+ Cik N+1 является суммарной арендной платой за весь период [T нач ,T кон ], то есть стоимостью плана аренды.

Простейшая задача об аренде (замене) оборудования состоит в нахождении при заданной таблице стоимостей аренды самого дешевого (самых дешевых, если их несколько) плана аренды, то есть оптимального плана аренды.

Пример. Пусть при N=3 cтоимости аренды Cij заданы в таблице

Из 4 планов аренды