Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сыктывкарский Государственный Университет им. Питирима Сорокина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задачи ЛП и методы их решения

.pdf

Скачиваний:

161

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

7.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 285 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

			39
			Задача открытая. Имеет место нехватка
			продукции в количестве 240 - 190 = 50
120		60	ед. Вводим		фиктивного		поставщика с
			таким запасом. Проводим от него
			фиктивные		коммуникации			ко	всем
120		100	потребителям и устанавливаем на них
120			нулевые цены. ТЗ становится закрытой.


	0		Аналогично,		при	излишке		запасов
	0		Аналогично,		при	излишке		запасов
	0		вводится	фиктивный			потребитель,
50		80	вводится	фиктивный			потребитель,
	0	80	имеющий потребность, равную						этому
			имеющий потребность, равную						этому
Это	Это его		излишку.		Цены	на	фиктивных
Это	Это его		коммуникациях, идущих к нему от всех
фиктивный	коммуникации		коммуникациях, идущих к нему от всех
фиктивный	коммуникации
поставщик			поставщиков,			устанавливаются
			равными нулю.
			Несколько слов об истолковании
решения открытой ТЗ. Пусть в оптимальном плане перевозок потребитель получает часть
продукции от “настоящих” поставщиков, а часть от фиктивного. Тогда последняя
представляет собой ту часть его потребностей, которая не удовлетворяется (недопоставка
продукции). В задаче же с излишком запасов та часть продукции, которая вывозится к
фиктивному потребителю, есть ни что иное, как продукция, остающаяся у поставщика
невывезенной
В дальнейшем будем рассматривать только закрытые ТЗ.
Построим математическую модель ТЗ в виде задачи линейного программирования.
Исходя из того, что план перевозок определяется указанием количества перевозимого груза
по каждой коммуникации (нулевое количество, если продукция по коммуникации не
перевозится), обозначим через		неизвестные xij количество перевозимой продукции от
поставщика с номером i к потребителю с номером j (объем перевозки). В нашем примере
таких неизвестных будет 3х3=9 ( x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 , x31 , x32 , x33 ). В общем случае
количество неизвестных будет равно m x n, где m - количество поставщиков, n - количество
потребителей.
Выразим через введенные неизвестные суммарную стоимость перевозок в виде
линейной функции. Для этого необходимо объем перевозки на каждой коммуникации
умножить на цену перевозки и просуммировать полученные величины по всем
коммуникациям. Для нашего примера имеем
f = 5x11	+ 10x12 + 12x13	+ 8x21 + 6x22	+ 4x23 + 0x31 + 0x32	+ 0x33 → min
или, используя знаки суммирования,

3	3
f = ∑∑cij xij → min
i=1	j=1

(цель задачи - найти минимум суммарной стоимости перевозок). Здесь cij - элементы матрицы стоимостей С

	5	10	12
C =	8	6	4

		0	0
	0	0	0

(При суммировании сначала изменяются индексы (номера) у внутренней суммы при фиксированном индексе у внешней суммы, затем изменяется на единицу индекс внешней суммы).

Перейдем к формулировке ограничений. Как видно из экономической постановки, ограничения делятся на 2 следующие группы:

1)Условия полного вывоза продукции от каждого поставщика. (Таких условий будет столько, сколько имеется поставщиков. У нас - 3).

2)Условия полного удовлетворения потребностей каждого потребителя. (Число условий равно числу потребителей (У нас - 3). Таким образом, в ТЗ будет (m+n) ограничений (в нашем примере 3+3=6). Запишем ограничения первой группы. Они будут иметь структуру

вывоз продукции от поставщика = запас

Для первого поставщика имеем (см. рисунок)
x11 + x12 + x13	- вывоз продукции ко всем
поставщикам. Его запас равен 120
единиц. Условие полного вывоза имеет				120	X11	1
вид
x11 + x12 + x13 =120					X12
x11 + x12 + x13 =120
Аналогично	выглядят		ограничения по		X13	2
вывозу для второго и третьего					X13
вывозу для второго и третьего
поставщиков				Это обьем
x21	+ x22	+ x23	= 70	Это обьем		3
				вывоза		3


x31	+ x32	+ x33	= 50	продукции от 1-го
x31	+ x32	+ x33	= 50	поставщика
				поставщика

Ограничения второй группы можно сформулировать в виде

привоз продукции к потребителю = потребность

X11	60

X21

X31

Это все,

что получает

1-й

потребитель

Привоз продукции к первому потребителю составит

x11 + x21 + x31

и ограничение примет вид

x11 + x21 + x31 = 60

Аналогично для второго и третьего потребителей

x12 + x22 + x32 =100 x13 + x23 + x33 = 80

Окончательно, учитывая ограничения неотрицательности

xij ≥ 0, i =1,2,3, j =1,2,3

запишем математическую постановку ТЗ в виде задачи линейного программирования:

f = 5x11 + 10x12 + 12x13 + 8x21 + 6x22 + 4x23 + 0x31 + 0x32 + 0x33 → min

x		+	x	+	x						=120
	11		12		13
					x21 +	x22 +	x23				= 70
								x31 + x32 +	x33		= 50
					+ x21			+ x31			= 60
x11					+ x21			+ x31			= 60
			x12		+ x22			+ x32			=100
						+ x			+ x		= 80
					x	+ x		23	+ x	33	= 80
					13			23		33
					xij ≥ 0,	i = 1,2,3, j = 1,2,3
Или, используя обозначения:
cij	- для цен перевозок,
xij - для объемов перевозок,
ai - для запасов (а1 =120, а2 = 70, a3=50),
bj - для потребностей (b1 =60, b2 =100, b3 =80)
m,n - для числа поставщиков и потребителей,
приведем постановку ТЗ в виде
					m n
					f = ∑∑cij xij		→ min
					i=1 j=1
					n
					∑xij = ai		,i 1: m

					j=1
					m
					∑xij = bj		, j 1: n

					i=1

								xij ≥ 0,			i 1: m,	j 1: n
			4.2. Метод потенциалов для решения ТЗ
							неизвестные				Коль		скоро		ТЗ	сформулирована						в	виде
							неизвестные
											задачи		линейного			программирования,						сразу
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	появляется мысль решать ее симплекс-методом.
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	В принципе, делать это можно, но не нужно.
											В принципе, делать это можно, но не нужно.
	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	Чтобы	пояснить			почему,			выпишем			матрицу
											Чтобы	пояснить			почему,			выпишем			матрицу
	2	0	0	0	1	1	1	0	0	0	коэффициентов				системы			ограничений					в
	3	0	0	0	0	0	0	1	1	1	рассматриваемом				примере.			В	этой		матрице
											преобладают			нулевые			элементы,				поэтому
	4	1	0	0	1	0	0	1	0	0	большинство			операций			при решении					задачи
											большинство			операций			при решении					задачи
ограничения	5	0	1	0	0	1	0	0	1	0	симплекс-методом					ЭВМ		будет		выполнять
											симплекс-методом					ЭВМ		будет		выполнять
	6	0	0	1	0	0	1	0	0	1	впустую,			“пережевывая”					нули.			Далее,
											впустую,			“пережевывая”					нули.			Далее,

подсчитаем как будет расти размерность симплекс-таблицы в зависимости от числа поставщиков и потребителей. Возьмем среднюю по размерам ТЗ с 20 поставщиками и 20 потребителями. Тогда ЗЛП будет содержать 20х 20=400 переменных и 20+20=40 ограничений, т.е. симплекс-таблица будет содержать около 40х400=16000 чисел. В то же время таблица для решения ТЗ методом потенциалов, который будет описан ниже, содержит всего m+n=400 чисел, что в 40 раз меньше, чем при решении симплекс-методом.

Метод потенциалов представляет из себя модификацию симплекс-метода, учитывающую специфику транспортной задачи, поэтому его алгоритм не отличается от алгоритма симплекс-метода, за исключением шага проверки целевой функции на неограниченность на

множестве решений. Отсутствие указанного шага в методе потенциалов обусловлено теоремой о том, что закрытая ТЗ всегда разрешима. Итак, алгоритм метода потенциалов

для решения ТЗ состоит из следующих шагов:

ШАГ 1. Построение начального плана перевозок. ШАГ 2. Проверка текущего плана на оптимальность.

Если план оптимален, то алгоритм завершен. ШАГ 3. Улучшение плана перевозок. Переход к шагу 1.

Опишем алгоритм по шагам, иллюстрируя каждый шаг на примере ТЗ, сформулированной выше.

ШАГ 0. Построение начального плана перевозок.

Построение начального решения (как и последующие расчеты) проводят в таблице, имеющей следующий вид:

Цены перевозок

n - столбцов

1	5	10	12
	120


	8	6	4
2	70


	0	0	0

3	50
	60	100	80
запасы	1	2	3
	1	2	3
		потребности

строк - m

Клетка ( i , j ) таблицы соответствует коммуникации, связывающей i-го поставщика с j-м потребителем.

Построить начальный план перевозок означает - назначить объемы перевозок в клетки таблицы таким образом, чтобы:

а) число заполненных клеток было (m+n-1). (Тогда план перевозок будет отвечать базисному решению ЗЛП); б) сумма перевозок в любой строке должна быть равна запасу соответствующего

поставщика, а сумма перевозок в каждом столбце равна потребности потребителя. (Условия выполнения ограничений ТЗ).

Существует несколько способов нахождения начального решения, которые отличаются

только выбором клетки, в которую назначается очередная перевозка. Так, в способе северозападного угла (СЗУ) для очередного назначения перевозки выбирается левая верхняя клетка таблицы (при этом никак не учитываются цены перевозок). Наоборот, в способе минимальной стоимости (МС) для заполнения выбирается клетка текущей таблицы с

минимальной ценой перевозки, что в большинстве случаев (но не всегда) приводит к более дешевому (а значит и более близкому к оптимальному) начальному плану перевозок. Изложим теперь алгоритм нахождения начального решения.

ШАГ 1. Определенным способом (СЗУ, МС или каким-либо другим) выбираем клетку в текущей таблице. Пусть она имеет индексы (i, j) (i - номер поставщика, j - номер потребителя).

ШАГ 2. В качестве перевозки в эту клетку назначаем наименьшую из величин запаса ai и

потребности bj , т.е.

xij = min{ai ,bj }

ШАГ 3. Уменьшим запас ai и потребность bj на величину перевозки xij , т.е.

ai' = ai − xij ,

b'j = bj − xij

ШАГ 4. При исчерпании запаса (ai' = 0) запрещаем к перевозке оставшиеся свободные клетки i-ой строки, а при исчерпании потребности (b'j = 0 ) запрещаем такие же клетки в j-ом столбце.

В случае одновременного исчерпания запасов и потребностей (ai' = b'j = 0) запрещаем

перевозки или в строке (тогда считаем, что у потребителя осталась потребность в количестве равном нулю, которую необходимо удовлетворить), или в столбце (в этом случае считаем, что у поставщика остается запас равный нулю, который необходимо вывезти). Это делается для того, чтобы при одновременном запрещении перевозок в строке и столбце количество заполненных клеток таблицы не стало меньшим, чем m+n-1

Получим новую текущую таблицу, в которую не входят заполненные и запрещенные клетки. Если таблица не пуста, переходим к шагу 1. (При исчерпании таблицы - конец).

								44
				сзу				В	способе		СЗУ строится начальный план
				сзу				перевозок			в	виде		“лесенки”.			Т.е.
								перевозок			в	виде		“лесенки”.			Т.е.
								последовательно				распределяются				запасы
1								очередного поставщика до их исчерпания, без
1
			--	--	--	--
		8	6					учета		того,	какова			цена	перевозок		на
	--	8	6					коммуникациях.				В	способе		МС	выбор
2	--					--		коммуникациях.				В	способе		МС	выбор
2						--
			0			0				МС
3	--		--												min Cij
															min Cij
4	--		--	--	--	80
	1		2	3	4	5			1		--		--	--	--
											--		--	--	--
											8	6
перевозки между поставщиком и потребителем									2	--				--	--
перевозки между поставщиком и потребителем
определяется		самой		дешевой		(на		данный	3	--	--		--		--
момент) коммуникацией									4	--	--		--	--	--
Найдем	теперь		начальные		планы		в	нашем	4	--	--		--	--	--
Найдем	теперь		начальные		планы		в	нашем		1	2		3	4	5
примере способами СЗУ и МС.										1	2		3	4	5
примере способами СЗУ и МС.

Способ северо-западного угла.

120

1. Выбираем С-З клетку (1,1)

5		10	12
5		10	12
	●

8		6	4

0		0	0

100

2. Назначаем перевозку

x11 = min{120,60} = 60

		1	2	3
1	120	60
2	70
	70
3	50
	50
		60	100	80

		1	2	3
1	60	60
2
	70
3
	50
		R	100	80
		1	2	3
1	60	60
2

70 -

R 100 80

1.С-З клетка ~ (1 , 2)

2.x12 = min{60,100} = 60

3. a'	= 60 − 60 = 0,	b'	=100 − 60 = 40
1		2

1 2 3

3. Уменьшаем запасы 1-го поставщика и потребности 1-го потребителя на величину перевозки.

4. Исчерпана потребность у 1-го потребителя (ему больше ничего не надо) - запрещаем перевозки в свободных клетках 1-го столбца и получаем новую текущую таблицу (без 1-го столбца). Далее (опуская пояснения) выполняем с шага 1.

		1	2	3
1	х	60	60	-
1
2	70	-
	70	-
3	50	-
	50	-
		х	40	80

1					4. Исчерпывается запас - запрещаем 1-ю строку.
	х	60	60	-

					Текущая таблица не содержит 1-й строки и 1-го
					Текущая таблица не содержит 1-й строки и 1-го
2					столбца
2					столбца

	70	-
3
	50	-
							1	2	3
		х	40	80			60	60	-
					1	R	60	60	-
1. С-З клетка ~ (2 , 2)					2	30	-	40
1. С-З клетка ~ (2 , 2)						30	-	40
2.	x22 = min{70,40} = 40					50	-	-
3. a2' = 70 − 40 = 0, b2' = 40 − 40 = 0					3	50	-	-
							R	R	80

							46
						4. Запрещаем перевозки во 2-м столбце
		1	2	3
1	R	60	60	-	1. С-З клетка ~ (2 , 3)
	R	60	60	-	2. x23		= min{30,80}		= 30
2					2. x23		= min{30,80}		= 30
2					3.	a'	= 30 − 30 = 0,		b' = 80 − 30 = 50
					3.	a'	= 30 − 30 = 0,		b' = 80 − 30 = 50
	R	-	40	30		2			3
	R	-	40	30	4. Нужно запретить перевозки в строке 2, но там уже
3					4. Нужно запретить перевозки в строке 2, но там уже
3					все клетки либо заполнены, либо запрещены
	50	-	-		все клетки либо заполнены, либо запрещены
	50	-	-
		R	R	50					1	2	3
		R	R	50
							1	R	60	60	-
	1. С-З клетка ~ (3 , 2)						2
	1. С-З клетка ~ (3 , 2)							R	-	40	30
	2. x33 = min{50,50} = 50							R	-	40	30
	2. x33 = min{50,50} = 50						3
	3. a3' = b3' = 0						3
	3. a3' = b3' = 0							R	-	-	50
	4. Таблица исчерпана. Конец.

R R R

Подсчитаем стоимость полученного плана. Для этого умножим объем перевозок в заполненных клетках на цены перевозок в них:

		f СЗУ	= 60 5+ 60 10 + 40 6 + 30 4 + 50 0 =1260
		0
				Способ минимальной стоимости.
		1	2		3
						1.	Клетки с минимальной ценой (3,1), (3,2) и (3,3).

	5	10		12

						Выбираем, например, (3,2). (Далее все шаги, как в
1	120					Выбираем, например, (3,2). (Далее все шаги, как в
	120					предыдущем способе).
						предыдущем способе).
	8	6		4		2.	x32	= min{50,100} = 50
2	70					2.	x32	= min{50,100} = 50
2								= 50 −50 = 0, b2' =100 − 50 = 50
						3.	a3'
						3.	a3'

3	0	0	0	4. Запрещаем строку 3.
3				4. Запрещаем строку 3.
R	-	50		-	2	3
				1	2	3

			60	50	80
							1	120	5	10	12
									5	10	12



						2			8	6	4
									8	6	4
1.	Клетка с min ценой ~ (2,3)							R	-	-	70
								R	-	-	70

2.	x23	= min{70,80} = 70				3			0	0	0
									0	0	0
								R	-	50	-
3.	a'	= 70 − 70 = 0,		b' = 80 − 70 = 10				R	-	50	-
	2			3
4. Запрещаем строку 2.									60	50	10
									60	50	10

							47
			1	2	3	1. Клетка с min ценой ~ (1,1)
1		5	60 1	10	12	2. x11 = min{120,60} = 60
1	60		60 1			3.	a1' =120 − 60 = 60,		b1' = 0
2		8	2	6	4	4.	В первом столбце запрещать уже нечего. Текущая
		8	2	6	4	4.	В первом столбце запрещать уже нечего. Текущая
	R		-	-	70	таблица содержит две клетки (1,2) и (1,3).
3		0	3	0	0
		0	3	0	0
	R		-	50	-				1	2	3
									5	10	12
			R	50	10		1	10	60	50
							2		8	6	4
							2
1. Выбираем клетку (1,2)								R	-	-	70
2. x12		= min{60,50} = 50					3		0	0	0
									0	0	0
3.	a1'	= 60− 50 =10,		b2' = 0				R	-	50	-
4. Текущая таблица содержит одну клетку (1,3).									R	R	10
									R	R	10

		1	2	3


		5	10	12
1	R	60	50	10
	R	60	50	10
2
2		8	6	4
	R	-	-	70
3
3		0	0	0

R	-	50	-
	R	R	R

1.Выбираем последнюю клетку (1,3)

2.x13 = min{10,10}=10

3.a1' = b3' = 0

4.Таблица исчерпана. Конец.

Стоимость полученного плана составит

f0МС = 60 5+ 50 10 +10 12 + 70 4 + 50 0 =1200

Это на 60 единиц меньше стоимости начального плана, найденного способом СЗУ. Однако, если выбрать на первом шаге вместо клетки (3,2), клетку (3,1), это приведет к более дорогому начальному плану, чем в способе СЗУ. Предлагаем убедиться в этом самостоятельно.

Отдельно разберем пример нахождения начального плана перевозок в задаче, где имеет место вырожденный случай (одновременное исчерпание запасов и потребностей на некотором шаге). Пусть исходные данные транспортной задачи, записанные в таблицу, имеют следующий вид:

	1	2	3
1	7	4	8
1	100
	100
2	9	12	6
	80
3	2	6	11
	2	6	11
	90
	100	120	50

Воспользуемся, например, способом СЗУ

1.С-З клетка ~(1,1)

2.x11 = min{100,100}=100

	48
	1			2		3


			7		4		8
			7		4		8
1		100

			9		12		6

2	80
	80
3	2	6	11
3	90
	90
	100	120	50

3. a'	=	b'	= 0
1		1

Одновременно исчерпались запасы и потребности

R 100 -

80	-
90	-
	R	120	50


R	100	-	-
R	100	-	-

R - 80 -

R	-	40	50
	R	R	R

Легко убедиться в том, что, если запретить перевозки одновременно в свободных клетках 1-ой строки и 1-го столбца, то придем к плану перевозок, содержащему менее чем m+n-1=5 заполненных клеток (см. Таблицу справа). Поэтому будем, для определенности, считать, что у первого потребителя вся потребность удовлетворена (и запретим перевозки в 1-м столбце), а у первого поставщика имеется запас в количестве равном нулю. Тогда придем к таблице:

	1	0	100
Далее, действуя как обычно,
распределяем перевозку равную нулю	2	80	-
в С-З клетку (1,2) и окончательно получим	2	80	-
в С-З клетку (1,2) и окончательно получим
	3	90	-
	3
			R	120	50

R	100	0	-	R
R	-	80		80
R	-	40	50	90
	R	R	R

100 0 -

R R R

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 285 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.2016470.27 Кб27Задания для самостоятельной работы.pdf
#
28.03.201646.84 Кб29Задания о выпуске продукции при ограниченных ресурсах.docx
#
01.05.202561.67 Кб0Задача инвестиции 5 вариант.docx
#
01.07.202563.09 Кб0задачи и тесты для студентов.docx
#
28.03.2016152.06 Кб17Задачи к экзамену.doc
#
29.03.20167.64 Mб161Задачи ЛП и методы их решения .pdf
#
01.05.202585.72 Кб4Задачи по пропедевтике.docx
#
23.11.2018455.17 Кб11ЗАДАЧИ СОКОЛОВ!!!.doc
#
28.03.201697.79 Кб6задачи.doc
#
28.03.2016692.22 Кб17Задачник по статистике (соц.-эконом. стат-ка).doc
#
29.03.201620.99 Mб31Закон Божий. Руководство для семьи и школы.pdf