Интерференция волн (общий случай).

Ранее мы полагали, что в точке встречи когерентных волн колебания инаправлены вдоль одной линии. Подобное предположение не должно создавать ложного представления о том, что якобы интерференция когерентных поли возможна только при одинаковой (вдоль одной линии) направленности колебаний. В случае суперпозиции двух когерентных волн с напряженностямии, направленными друг относительно друга произвольно, для средней интенсивности имеем

.

Отсюда видно, что суперпозиция интенсивностей () имеет место, если , т. е. среднее значение скалярного произведения векторов иравно нулю, другими словами, интерференция когерентных волн отсутствует, если во всей рассматриваемой части пространства и в каждый момент времени векторыиперпендикулярны друг другу. Следовательно, интерференция в рассматриваемой части пространства имеет место, если . Это является необходимым и достаточным условием интерференции когерентных волн. В случае линейно-поляризованных волн это условие имеет вид , т. е. две когерентные линейно-поляризованные волны интерферируют при встрече, если поляризации их таковы, что ивзаимно не перпендикулярны.

Замечание. При рассмотрении явления интерференции следует обратить внимание на важную деталь, имеющую отношение к закону сохранения энергии. Из формулы (5) следует, что т. е. в точках сложения колебаний результирующая интенсивность оказалась в два раза больше значения 2I₁, которое должно было бы следовать из закона сохранения энергии. Это кажущееся противоречие легко объясняется, если обратить внимание на то, что в точке экрана, соответствующей минимуму, результирующая интенсивность также равна не 2I₁ ,а нулю. Следовательно, происходит перераспределение энергии по экрану и явление интерференции находится в полном согласии с законом сохранения энергии.

Ширина интерференционных полос.

Пусть имеем два когерентных точечных источника S₁ и S₂, расположенных друг от друга на расстоянии l. Рассмотрим интерференцию волн, исходящих от этих источников, на экране Э, расположенном параллельно линии S₁S₂, и отстоящем от нее на расстоянии L, сильно превышающемl (т.е. L >> l). Световые пучки, исходящие от S₁ и S₂, дают интерференционную картину в области их перекрывания.

Рассмотрим произвольную точку А на экране Э (рис. 3), расположенную от центра экрана (точки пересечения с экраном перпендикуляра, опущенного из середины линии S₁S₂=l) расстоянии О₂А = y. Интенсивность в точке A определяется разностью хода лучей Dd=d₂-d₁,. Найдем Dd. Из треугольников S₂A₂A и S₁A₁A соответственно имеем:

Предположение L>> l оправдано, как увидим ниже, тем, что вследствие малого значения длины световой волны (порядка 10^-5 см) интерференция будет наблюдаться именно при l << L. При выполнении этого условия d₁+d₂=2L и . Так как, то .

Отсюда

(7)

В точке А будет наблюдаться максимум, если

(m = 0,1,2,3….), (8)

минимум, если

. (9)

Число m, определяемое соотношением

, (10)

называется порядком интерференции. Как следует из (7) и (9), интерференционная картина на экране состоит из светлых и темных полос, называемых интерференционными полосами. Светлым полосам соответствуют целые порядки 0,1,2,3,..., а темным полосам – дробные ... и т. д.;m-й порядок максимума и -й порядок минимума отстоят от центра экрана соответственно на расстояниях:

(11)

Из соображений симметрии следует, что интерференционная картина представляет собой совокупность параллельных полос, отстоящих на соответствующих расстояниях от центра экрана, определяемых выражением (11). В центре экрана находится глав­ный (нулевой) максимум. Вверх и вниз от него на равных расстоя­ниях друг от друга располагаются максимумы (и минимумы) пер­вого, второго порядков и т. д. Интерференционные полосы располо­жены под прямым углом к линии S₁S₂.

Расстояние между соседними максимумами (или минимумами) называется шириной интерференционной полосы и определяется как

(12)

Как следует из (12), ширина интерференционной полосы не зависит от порядка интерференции и является постоянной при дан­ных L, l и . При постоянных L и  уменьшение расстояния между источниками l приводит к уширению интерференционной полосы т.е. картина становится более отчетливой. Так как для видимого света ~10^-5 см, то четкая интерференционная картина, доступная визуальному наблюдению, будет иметь место при l << L. Поэтому во всех методах получения когерентных источников необходимо брать l как можно меньше.

Обозначив через I_макс ­и I_мин интенсивности светлых и темных полос, введем параметр определяющий видимость (или контрастность) интерференционной картины:

(13)

Если интенсивность темной полосы равна нулю, т.е. контрастность наибольшая. При равномерной освещенности I_макс = I_мин, следовательно, V = 0, т.е. контрастность наименьшая. Таким образом, возможные значения контрастности полос находятся в пределах .