37

Лабораторная работа № 9 Крутильный маятник

Цель работы: Изучение крутильных колебаний и определение методом крутильных колебаний моментов инерции твердых тел.

Оборудование: лабораторная установка, электронный секундомер.

Материал для изучения:

Момент инерции.

Оценка погрешностей измерений.

Теоретическое введение

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:

I = mr²

Если тело не является материальной точкой, то моментом инерции тела будет сумма моментов инерций всех материальных точек, из которых состоит тело:

Момент инерции – мера инертности тела при его вращательном движении (аналогично массе тела – меры инертности тела при поступательном движении).

В системе единиц СИ момент инерции измеряется в кгм², зависит от массы тела, его формы, распределения плотности в объеме тела, а также от того, относительно какой оси вращения вычисляется момент инерции.

В работе проверяется соотношение

I(n) = I_xcos² + I_ycos² + I_zcos² (1)

для однородных симметричных твердых тел (куб, прямоугольный параллелепипед). Главные оси таких тел являются осями симметрии. Они перпендикулярны граням и проходят через геометрический центр тела (рис. 1).

Z z n



c   y

y O

a x

x

Рис. 1. Рис. 2.

Для измерения моментов инерции твердого тела относительно оси, определяемой единичным вектором n

n = cos, cos, cos

n² = cos² + cos² + cos² = 1 (2)

где ,  и  - углы между направлениями вектора n и осями координат ОХ, ОУ и ОZ (рис. 2), применяется метод крутильных колебаний.

Исследуемое твердое тело жестко закрепляется в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке. Если вывести маятник из положения равновесия, то он будет совершать крутильные колебания. Период этих колебаний равен

(3)

где I_м – момент инерции маятника относительно выбранной оси вращения, D – постоянная момента упругих сил, возникающих в закрученной проволоке.

Момент инерции маятника равен сумме момента инерции I_o рамки и момента инерции I исследуемого тела: I_м = I_o + I . Поэтому период колебаний маятника

(4)

Если колеблется свободная рамка без тела, то ее период колебаний, очевидно, равен

(5)

Из этих уравнений можно исключить неизвестную величину D. В результате находим:

I = I_o(T² – T_o²) / T_o² (6)

Соотношение (6) позволяет выразить момент инерции I тела относительно оси маятника через момент инерции I_o свободной рамки. Для этого нужно измерить периоды колебаний Т_о и Т соответственно для свободной рамки и для рамки с телом. Период колебаний Т, так же как и момент инерции тела I , зависит от ориентации тела по отношению к оси маятника. Запишем (6) в виде

I(n) = I_o(T²(n) – T_o²) / T_o² (7)

где n – единичный вектор, направленный вдоль оси маятника. В лабораторной установке ось маятника (она же ось вращения тела) направлена по вертикали. Поэтому во всех опытах следует считать, что единичный вектор n направлен вертикально вверх. Момент инерции тела относительно вертикальной оси, т.е. I(n) , изменяют, поворачивая тело и закрепляя его в различных положениях по отношению к этой оси (рис. 3).

Н аправив оси ОХ, ОУ и ОZ n

в доль главных осей тела, мы

в ыбрали систему координат Y

ОХУZ , жестко связанную с Z

телом. Поворачивая тело, мы

изменяем направления вектора

n в жестко связанной с телом O

системе координат ОХУZ.

Закрепим тело в рамке

так, чтобы ось вращения n сов-

падала с какой-либо его главной X

осью ОХ, ОУ или ОZ . Тогда из

(7) получим: Рис. 3.

I_x = I_o(T_x² – T_o²) / T_o² , I_y = I_o(T_y² – T_o²) / T_o² , I_z = I_o(T_z² – T_o²) / T_o² (8)

где T_x , T_у и T_z – соответственно, периоды колебаний маятника, когда ось его вращения n совпадает с одной из главных осей ОХ, ОУ или ОZ .

Подставив (7) и (8) в исходное соотношение (1), получим:

T ²(n) = T_x²cos² + T_y²cos² + T_z²cos² (9)

Таким образом, существует простая связь между периодами крутильных колебаний тела T_x , T_у и T_z относительно его осей симметрии ОХ, ОУ и ОZ и периодом колебаний этого же тела относительно оси n с направляющими косинусами (cos, cos , cos) .

Выражение (9), так же как и формула (3) для периода крутильных колебаний, справедливо, если затухание мало. Практически достаточно, чтобы число колебаний N, за которое амплитуда уменьшается в 2 – 3 раза, удовлетворяло неравенству N  10 (подробнее см. описание работы № 6). Если это неравенство выполняется, то проверка соотношения (1) сводится к проверке равенства (9). Оно удобно тем, что все входящие в него величины в условиях опыта могут быть измерены непосредственно.